Реферат: Математическое программирование
Математическое программирование
Общая задача линейного программирования (ЗЛП):
Здесь (1) называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r (
n, (2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х10,
x20, ... , xn0) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП.
Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую
функцию (2) в min или max (оптимум).
Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее
привести к определенной (симплексной) форме:
(2`) f+cr+1xr+1 + ... + csxs + ... + cnxn = b0 ( min
Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений),
случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное
решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.
В системе (1`) неизвестные х1, х2, ... , хr называются базисными
(каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом
+1), остальные хr+1, ... , xn - свободными. Допустимое решение (1`)
называется базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные
равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции f(x10, ... ,
xr0,0, ... ,0) называется базисным.
В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:
а) система (1`) удовлетворяет условиям :
все ограничения - в виде уравнений;
все свободные члены неотрицательны, т.е. bi ( 0;
имеет базисные неизвестные;
б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :
содержит только свободные неизвестные;
все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0;
обязательна минимизация (случай max сводится к min по формуле max
f = - min(-f)).
Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует
симплекс - матрица
1 0 ... 0 ... 0 a1,r+1 ... a1s ... a1n b1
0 1 ... 0 ... 0 a2,r+1 ... a2s ... a2n b2
-------------------------------------------------
0 0 ... 1 ... 0 ai,r+1 ... ais ... ain bi
-------------------------------------------------
0 0 ... 0 ... 1 ar,r+1 ... ars ... arn br
________________________________
0 0 ... 0 ... 0 cr+1 ... cs ... cn b0
Заметим, что каждому базису (системе базисных неизвестных) соответствует
своя симплекс-матрица, базисное решение х = (b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0)
и базисное значение целевой функции f(b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) = = b0
(см. Последний столбец !).
Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке
симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0,
то соответствующий этой матрице план оптимален,
т.е. сj ( 0 (j = r+1, n) => min f (b1, ... ,b2,0, ... ,0) = b0.
Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется
столбец (S-й), в котором последний элемент сs > 0, a все остальные
элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. сs >
0, ais ( 0 (i=1,r) => min f = -(.
Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках
оптимума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого
элемента ais > 0 и следующих преобразований (симплексных):
все i-й строки делим на элемент ais+;
все элементы S-го столбца, кроме ais=1, заменяем нулями;
все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника,
что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах:
----------------------------
... akl ... aks ... bk
----------------------------
... ail ... ais ... bi
----------------------------
... cl ... cs ... b0
akl` = akbais - ailaks = akl - ailaks;
ais ais
bk` = bkais - biaks; cl` = clais - csail
ais ais
Определение. Элемент ais+ называется разрешающим, если преобразование
матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значения,
целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится
разрешающий элемент, также называются разрешающими.
Критерий выбора разрешающего элемента. Если элемент ais+ удовлетворяет
условию
bi = min bk
ais0 aks0+
где s0 - номер выбранного разрешающего столбца, то он является
разрешающим.
Алгоритм симплекс-метода (по минимизации).
систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме;
составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в
симплексной форме;
проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности; если он
выполняется, то решение закончено;
при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия
отсутствия оптимальности; в случае выполнения последнего решение
закончено - нет оптимального плана;
в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для
перехода к следующей матрице, для чего :
а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи
тельных элементов целевой
строки;
б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего
элемента; на их пересечении находится разрешающий элемент;
c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к
следующей матрице;
вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом (см.
п. 3)
Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП
или его отсутствие
Замечания.
Если в разрешающей строке (столбце) имеется нуль, то в соответствующем
ему столбце (строке) элементы остаются без изменения при
симплекс-преобразованиях.
преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки; если при
этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно
ограничиться вычислением элементов последнего столбца.
при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений
остаются неотрицательными; появление отрицатель ного члена сигнализирует
о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях.
правильность полученного ответа - оптимального плана - проверяется путем
подстановки значений базисных неизвестных в целевую функцию; ответы
должны совпасть.
5. Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения (при
двух неизвестных)
Система ограничений ЗЛП геометрически представляет собой многоугольник
или многоугольную область как пересечение полуплоскостей -
геометрических образов неравенств системы. Целевая функция f = c1x1 +
c2x2 геометрически изображает семейство параллельных прямых,
перпендикулярных вектору n (с1,с2).
Теорема. При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n
значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении -
убывают.
На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП.
Алгоритм графического метода решения ЗЛП.
В системе координат построить прямые по уравнениям, соответствующим
каждому неравенству системы ограничений;
найти полуплоскости решения каждого неравенства системы (обозначить
стрелками);
найти многоугольник (многоугольную область) решений системы ограничений
как пересечение полуплоскостей;
построить вектор n (с1,с2) по коэффициентам целевой функции f = c1x1 +
c2x2;
в семействе параллельных прямых целевой функции выделить одну, например,
через начало координат;
перемещать прямую целевой функции параллельно самой себе по области
решения, достигая max f при движении вектора n и min f при движении в
противоположном направлении.
найти координаты точек max и min по чертежу и вычислить значения функции
в этих точках (ответы).
Постановка транспортной задачи.
Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию
стоимости:
Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А1,
А2, ..., Аm соответственно в количествах а1, а2, ..., аm единиц,
требуется доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В1,
В2, ..., Вn соответственно в количествах b1, b2, ..., bn единиц.
Стоимость перевозки (тариф) единицы продукта из Ai в Bj известна для
всех маршрутов AiBj и равна Cij (i=1,m; j=1,n). Требуется составить
такой план перевозок, при котором весь груз из пунктов отправления
вывозиться и запросы всех пунктов потребления удовлетворяются (закрытая
модель), а суммарные транспортные расходы минимальны.
Условия задачи удобно располагать в таблицу, вписывая в клетки
количество перевозимого груза из Ai в Bj груза Xij > 0, а в маленькие
клетки - соответствующие тарифы Cij:
Математическая модель транспортной задачи.
Число r = m + n - 1, равное рангу системы (1), называется рангом
транспортной задачи. Если число заполненных клеток (Xij № 0) в таблице
равно r, то план называется невырожденным, а если это число меньше r, то
план вырожденный - в этом случае в некоторые клетки вписывается столько
нулей (условно заполненные клетки), чтобы общее число заполненных клеток
было равно r.
Случай открытой модели даi № дbj легко сводится к закрытой модели путем
введения фиктивного потребителя Bn+1 c потребностью bn+1=дai-дbj, либо -
фиктивного поставщика Аm+1 c запасом am+1=дbj-дai ; при этом тарифы
фиктивных участников принимаются равными 0.
Способы составления 1-таблицы (опорного плана).
Способ северо-западного угла (диагональный). Сущность способа
заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка
(северо-западная) оставшейся части таблицы, причем максимально возможным
числом: либо полностью вывозиться груз из Аi, либо полностью
удовлетворяется потребность Bj. Процедура продолжается до тех пор, пока
на каком-то шаге не исчерпаются запасы ai и не удовлетворяются
потребности bj . В заключение проверяют, что найденные компоненты плана
Xij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям и что
выполняется условие невырожденности плана.
Способ наименьшего тарифа. Сущность способа в том, что на каждом шаге
заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший
тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется
любая из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.
Метод потенциалов решения транспортной задачи.
Определение: потенциалами решения называются числа ai®Ai, bj®Bj,
удовлетворяющие условию ai+bj=Cij (*) для всех заполненных клеток (i,j).
Соотношения (*) определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n
неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений; для ее
определенности одному неизвестному придают любое число (обычно a1=0),
тогда все остальные неизвестные определяются однозначно.
Критерий оптимальности. Если известны потенциалы решения X0 транспортной
задачи и для всех незаполненных клеток выполняются условия ai+bj Ј Ci j,
то X0 является оптимальным планом транспортной задачи.
Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану
(таблице) так, чтобы транспортные расходы не увеличились.
Определение: циклом пересчета таблицы называется последовательность
клеток, удовлетворяющая условиям:
одна клетка пустая, все остальные занятые;
любые две соседние клетки находятся в одной строке или в одном столбце;
никакие 3 соседние клетки не могут быть в одной строке или в одном
столбце .
Пустой клетке присваивают знак « + », остальным - поочередно знаки « - »
и « + ».
Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчета
сначала находят незаполненную клетку (r, s), в которой ar+bs>Crs, и
строят соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число
X=min{Xij}. Далее составляют новую таблицу по следующему правилу:
в плюсовые клетки добавляем X;
из минусовых клеток отнимаем Х;
все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.
Получим новую таблицу, дающее новое решение X, такое, что f(X1) Ј f(X0);
оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов
обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда
существует.
Алгоритм метода потенциалов.
проверяем тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели
сводим ее к закрытой;
находим опорный план перевозок путем составления 1-й таблицы одним из
способов - северо-западного угла или наименьшего тарифа;
проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на
невыражденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные
клетки с помощью « 0 »;
проверяем опорный план на оптимальность, для чего:
а) составляем систему уравнений потенциалов по заполненным клеткам;
б) находим одно из ее решений при a1=0;
в) находим суммы ai+bj=Cўij («косвенные тарифы») для всех пустых клеток;
г) сравниваем косвенные тарифы с истинными: если косвенные тарифы не
превосходят соответствующих истинных(Cўij Ј Cij) во всех пустых клетках,
то план оптимален (критерий оптимальности). Решение закончено: ответ
дается в виде плана перевозок последней таблицы и значения min f.
Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к
следующему шагу.
Для перехода к следующей таблице (плану):
а) выбираем одну из пустых клеток, где косвенный тариф больше истинного
(Cўij= ai+bj > Cij );
б) составляем цикл пересчета для этой клетки и расставляем знаки « + »,
« - » в вершинах цикла путем их чередования, приписывая пустой клетке «
+ »;
в) находим число перерасчета по циклу: число X=min{Xij}, где Xij - числа
в заполненных клетках со знаком « - »;
г) составляем новую таблицу, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из
минусовых клеток цикла
См. п. 3 и т.д.
Через конечное число шагов (циклов) обязательно приходим к ответу, ибо
транспортная задача всегда имеет решение.
.....................................
... akl ... aks ... bk
.....................................
... ail ... ais ... bi
.....................................
... cl ... cs ... b0
|
