Доклад: Компьютерное моделирование рыночных механизмов

* Подробно об истории и перспективах методов нелинейной динамики см.: Малинецкий Г.Г. Новый облик нелинейной динамики // Природа. 2001. №3. С.3—12.

Неудивительно, что эта универсальная методология, возникшая сравнительно недавно и хорошо зарекомендовавшая себя в естествознании, стала проникать в традиционно гуманитарные науки, и в первую очередь в экономику.

Об устойчивости рыночных механизмов

Классическая теория вплоть до первых десятилетий ХХ в. служила достаточно хорошо и для понимания макроэкономических процессов, и для обоснования государственной экономической политики. Общий принцип экономического поведения государства был сформулирован в виде принципа нейтральности по отношению к экономической деятельности частных лиц — как физических, так и юридических. Согласно этому принципу, государство должно было минимизировать неблагоприятные экономические последствия своей собственной деятельности и воздерживаться от непосредственного влияния на принятие решений субъектов, действующих в условиях конкуренции. Следовательно, задача государства в области экономической политики заключалась в обеспечении условий функционирования конкурентного рынка, при этом государственный бюджет должен был постоянно ориентироваться на равенство доходов и расходов.

Однако классическая теория не могла дать объяснений многих проблем, возникших после первой мировой войны, и особенно во время экономического кризиса 30-х годов. Так, например, в соответствии с ней вынужденная безработица не должна была иметь места в Великобритании в 1931—1935 гг. Между тем в этот период безработица там ни разу не опускалась ниже 20%. Для объяснения новых экономических проблем делались различные попытки усовершенствовать теорию, но лишь теория английского экономиста Дж.М.Кейнса, утверждавшего, что экономика не может существовать на основе саморегулирования и что государство должно взять на себя задачу управления экономическими процессами, получила наибольшее признание.

Эта задача, по Кейнсу, сводилась главным образом к тому, чтобы поддерживать и стимулировать спрос, для чего необходимо создавать условия, при которых товаропроизводителям было бы выгодно делать инвестиции и расширять производство, увеличивая количество рабочих мест и тем самым сокращая безработицу. В короткий срок после опубликования Кейнсом своей теории [9] его идеи были приняты самыми широкими кругами специалистов, а экономическая политика почти всех западных стран стала опираться на анализ соответствующих моделей.

Надо сказать, что кейнсианская теория совокупного спроса довольно сложна, поскольку включает практически все агрегированные макропоказатели — как денежные, так и реальные. Основным допущением этой теории служит гипотеза: “Спрос создает предложение”. Эта броская, а потому и хорошо запоминающаяся формула — по существу выражение другого, менее выразительного предположения, согласно которому “предпринимателям выгодно расширять производство (и следовательно, увеличивать предложение) при наличии избыточного спроса”. Сказанное означает, что в теории Кейнса заложено условие, согласно которому национальная экономика обладает потенциалом для расширения производства (например, имеется резерв рабочей силы, оборудования, материалов и т.д.). К сожалению, модель Кейнса часто применяется для обоснования путей перехода России к рынку, хотя ее основополагающее допущение заведомо не выполняется, и, следовательно, модель никакого отношения к реальной ситуации не имеет.

Гипотеза “спрос создает предложение” позволяет построить целую систему моделей, объясняющих функционирование рыночной экономики. Рассмотрим в качестве примера упрощенный вариант кейнсианской модели, который тем не менее дает наглядное представление о действии рыночных механизмов. В этой модели, которую часто называют также моделью мультипликатора, анализируется один макроэкономический рынок — рынок товаров и услуг, а состояние всей экономики описывается двумя переменными. Первая переменная Y_S — произведенный национальный доход, используемый на потребление и накопление. Эта переменная трактуется как предложение товаров и услуг. Вторая переменная Y_D — совокупный спрос на товары и услуги; она представляет собой сумму двух составляющих: спроса на инвестиции I и спроса на текущее потребление C:

Y_D = I + C. (1)

Существенным допущением модели является то, что спрос на текущее потребление C есть возрастающая функция национального дохода: C = C(Y_S). При этом считают, что спрос изменяется медленнее, чем национальный доход, вследствие чего производная функции потребления C'(Y_S) — так называемая предельная склонность к потреблению — удовлетворяет условию 0 < C'(Y_S) < 1.

В дальнейшем для упрощения анализа модели примем, как обычно, что спрос на текущее потребление C изменяется по линейному закону:

C(Y_S)= a + cY_S, (2)

где а и c — положительные константы (поскольку здесь C'(Y_S) = c, то 0 < c < 1).

Пусть до некоторого момента времени T экономика находилась в состоянии равновесия, т.е. при t < T совокупный спрос был равен предложению: Y_D(t) = = Y_S(t). Что произойдет, если по какой-либо причине в момент T совокупный спрос увеличится (например, за счет роста спроса на инвестиции)?

Логика упрощенной (канонической) модели Кейнса, используемой для получения ответа на этот вопрос, такова. Во-первых, с увеличением спроса на инвестиции произойдет смещение линии совокупного спроса, вследствие чего система будет характеризоваться новым состоянием равновесия. Во-вторых, рост совокупного спроса приведет (в результате действия гипотезы Кейнса “спрос создает предложение”) к увеличению предложения. Увеличившемуся предложению (национальному доходу), вызванному ростом производства товаров и услуг, соответствует увеличившееся значение совокупного спроса. Но так как предельная склонность к потреблению меньше единицы, разность между спросом и предложением сокращается. Эту разность E = Y_D – Y_S называют избыточным спросом на товары и услуги. Таким образом, положительный избыточный спрос на товары и услуги вызывает в каждый последующий момент времени рост их предложения, что приводит к сокращению избыточного спроса. Точно так же, если избыточный спрос отрицателен, происходит сокращение национального дохода.

При формализации описанного механизма в упрощенной модели Кейнса обычно исходят из того, что национальный доход в момент t+1 равен совокупному спросу в предыдущий момент t, т.е.

Y_S(t+1) = Y_D(t), (3)

где t = T, T + 1, ј

Математики говорят, что уравнение (3) задает итерационный процесс (одномерное отображение). Возникает вопрос, приведет ли этот процесс к новому равновесному значению национального дохода Y_E? Для получения ответа удобно ввести новую переменную y_t = Y_S (t) – Y_E , которая равна отклонению текущего значения национального дохода от его нового равновесного значения Y_E. Можно показать, что динамика этой переменной в силу уравнений (1), (2) и (3) описывается формулой геометрической прогрессии:

y_t+1 = cy_t. (4)

А поскольку предельная склонность к потреблению удовлетворяет условию 0 < с < 1, то, как известно из школьного курса алгебры, уравнение (4) задает бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, вследствие чего y_t ® 0 при t ® Ґ. Поэтому национальный доход Y_S(t) устремляется к своему новому равновесному значению Y_E.

Рассмотренная нами динамика национального дохода носит название “мультипликативный процесс”. Графически этот процесс изображается в виде ломаной линии с помощью так называемого креста Самуэльсона—Хансена (рис.1). Здесь линия Y = Y_S (биссектриса координатного угла) является графиком функции предложения, а линия Y = Y_D(Y_S), где Y_D(Y_S) = C(Y_S) + I — графиком функции совокупного спроса.

Рис.1. Мультипликативный процесс. Сначала спрос характеризовался прямой Y = Y_D, и система находилась в состоянии равновесия A. Затем спрос вырос (прямая Y = Y_D), и в результате итерационного процесса (соответствующие переходы показаны цветом) система перешла в новое состояние равновесия B.

Итак, действие гипотезы “спрос создает предложение” приводит макроэкономическую систему (в данном случае рынок товаров и услуг) к новому состоянию равновесия. Поэтому в методологическом плане упрощенная модель Кейнса используется в экономической теории для демонстрации тезиса о действии рыночных механизмов, приводящих систему в состояние равновесия, если товаропроизводителям выгодно делать инвестиции и расширять производство при наличии избыточного спроса. Напомним, что ключевая гипотеза Кейнса “спрос создает предложение” выражает действие именно этого механизма.

Упрощенная модель Кейнса, изложенная в таком виде практически во всех учебниках макроэкономики, формирует у читателей убеждение, что макроэкономическая система всегда устойчива в указанном выше смысле и любое изменение точки равновесия связано в конечном итоге со смещением функции спроса. Оказывается, однако, что одного действия рассмотренного механизма недостаточно: новое состояние равновесия, как мы увидим дальше, может и не наступить.

Рождение хаоса

Статистические данные, характеризующие динамику национальной экономики, говорят о неравномерности развития: темпы экономического роста изменяются во времени. Открытие Кондратьевым “длинных волн экономики” (об этом свидетельствуют периодические спады и подъемы темпов роста макроэкономических показателей приблизительно через каждые 50 лет) дало импульс для развития теории циклов, в результате чего в экономической теории были разработаны разнообразные модели, обладающие свойством цикличности. К их числу относится, например, модель Самуэльсона—Хикса, в которой колебания национального дохода объясняются единственной причиной — колебаниями совокупного спроса. Однако действие гипотезы Кейнса может и без дополнительных допущений приводить к циклической, а то и хаотической динамике переменных.

В качестве примера рассмотрим следующую модификацию упрощенной модели Кейнса, для построения которой снова вернемся к ее ключевой гипотезе. Как было сказано, традиционная, более того — общепринятая трактовка этого принципа формализуется с помощью уравнения (3). Однако из гипотезы Кейнса вовсе не следует, что значение предложения (национального дохода) в каждый последующий момент времени должно быть равно значению спроса в предыдущий момент. Строго говоря, она определяет лишь направление изменения национального дохода, поэтому более последовательной и общей является такая ее формализация: знаки приращений национального дохода и избыточного спроса совпадают. В этом случае рост национального дохода происходит, если спрос выше предложения, а снижение национального дохода — если спрос ниже предложения. Такому условию удовлетворяет не только рассмотренная модель, но и следующее, уже нелинейное, одномерное отображение:

Y_S(t+1) = Y_S(t)exp{g[Y_D(t)–Y_S(t)]}, (5)

где g > 0 — коэффициент реакции экономики на дисбаланс между спросом и предложением. Уравнение (5) может быть сведено чисто формально к уравнению Риккера, задающему итерационный процесс:

y_t+1 = Ay_texp(–y_t). (6)

Здесь y_t = qY_S (t), где q = g(1 – c), A = exp(qY_E).

Уравнение Риккера (6) впервые было использовано в математической биологии при анализе динамики популяций. Оно обладает свойством бифуркации удвоения периода, которое заключается в следующем: при сравнительно малых значениях бифуркационного параметра A равновесное решение уравнения устойчиво; при увеличении этого параметра равновесие нарушается — возникают циклы периода 2, 4, 8 и т.д., а при еще больших значениях бифуркационного параметра наступает детерминированный хаос. Это хорошо видно на рис.2 и рис.3 (слева), где итерационный процесс (6) изображен на плоскости при различных значениях бифуркационного параметра A с использованием графиков функций y = xAe^–x и y = x. Здесь используется тот же прием, что и при рассмотрении динамики национального дохода в упрощенной модели Кейнса (см. рис.1).

Рис.2. Динамическая спираль — циклы периода 2 (слева) и 4. Здесь со временем устанавливаются циклы: переменная y_t принимает последовательно значения y₁ и y₂ (в первом случае) или значения y₁, y₂, y₃ и y₄ (во втором). Переходы при итерационном процессе показаны цветом.

Рис.3. Детерминированный хаос. Слева изображена фазовая диаграмма, характеризующая динамику переменной y_t. Справа — соответствующее изменение y_t во времени.

Рассмотрим внимательно рис.3 (справа), где показана динамика переменной y_t на небольшом временном промежутке. У читателя может сложиться впечатление, что здесь переменная y_t изменяется случайным образом, хаотично. Но так как динамика системы описывается детерминированным уравнением (6), эту особенность стали называть детерминированным хаосом.

Для иллюстрации свойства бифуркации удобно использовать бифуркационные диаграммы, которые в случае одномерного отображения представляют собой множество точек плоскости, абсциссы которых равны значениям бифуркационного параметра, а ординаты — установившимся значениям рассматриваемой переменной (рис.4). На рисунке видно, как по мере роста параметра A меняется характер решения. Сначала решение соответствует состоянию равновесия, затем становится периодическим, с циклическими колебаниями переменной yt между двумя значениями (кривая “раздваивается”), и, наконец, переходит к детерминированному хаосу (тонированная область на диаграмме).

До сих пор мы говорили об одномерном отображении, которое возникало при моделировании динамики национального дохода в духе упрощенной модели Кейнса. Однако макроэкономика — сложная система, и ее развитие характеризуется многими переменными. Мы разработали различные нелинейные динамические модели, в которых рассматривалась динамика ряда макропеременных, в том числе ставки процента и уровня цен. Естественно, что усложнение объекта исследования (в частности, учет взаимовлияния товарного и денежного рынков) приводило к усложнению модели: увеличивалась не только размерность отображения, но и число бифуркационных параметров.

Выполненные нами вычислительные эксперименты свидетельствуют: при увеличении размерности модели усложняется поведение рассматриваемой динамической системы, что видно из сравнения рис.4 и 5. Однако основное свойство одномерного отображения (6) — свойство бифуркации — также присуще построенным двумерному и трехмерному точечным отображениям, моделирующим взаимовлияние конечного продукта, уровня цен и ставки процента. Здесь, как и в одномерном случае, состояние равновесия макроэкономической системы сменяется циклами периодов 2, 4, 8 и т.д., которые переходят в область хаоса; хаотичное изменение сменяется на циклическое с периодами 5, 6 и выше, после чего период может снизиться, потом снова возможно хаотическое поведение и т.д. При этом область устойчивости равновесного решения достаточно узкая (см. рис.5).

Рис.4. Бифуркационная диаграмма одномерного отображения (6) и ее увеличенный фрагмент (справа). По оси абсцисс откладываются значения параметра A, по оси ординат — значения переменной y_t при 4900<t<5000.

Рис.5. Проекция бифуркационной диаграммы трехмерного отображения (случай взаимовлияния ставки процента, уровня цен и конечного продукта). По оси абсцисс откладываются значения коэффициента реакции уровня цен, по оси ординат — значения ставки процента.

Подводя итоги

Исследование экономических процессов с помощью многомерных нелинейных отображений, характеризующих динамику макроэкономических переменных, приводит к заключению, что этим процессам присущи, в зависимости от значений параметров, многообразные динамические режимы: равновесие, цикличность и достаточно сложное квазистохастическое поведение (детерминированный хаос). При относительно небольших значениях коэффициентов реакций цены и ставки процента на дисбаланс между спросом на товары и их предложением, а также коэффициентов реакции экономики на несоответствие спроса и предложения, система в перспективе ведет себя просто: со временем устанавливается либо равновесие, либо периодические колебания с малым периодом. Однако при увеличении даже одного из коэффициентов реакции происходит усложнение динамики переменных модели. Это означает, что в общем случае равновесное решение неустойчиво, а динамика переменных обобщенной макроэкономической модели может быть достаточно сложной и при некоторых значениях параметров приобретать стохастические свойства. Следует отметить, что сложный характер решений не следствие внешнего случайного воздействия, а внутреннее свойство используемой детерминированной модели.

Более того, анализ динамики рассмотренных моделей позволяет предположить: сложное поведение переменных (цикличность, хаотичность и др.) есть неотъемлемое свойство самой моделируемой макроэкономической системы. Поэтому использование квазистационарного подхода к прогнозированию макроэкономики может иметь смысл лишь в том случае, когда коэффициенты реакции соответствующей динамической модели лежат в области устойчивости ее равновесного решения. Это происходит, например, при таком государственном регулировании изменений процентной ставки и уровня цен и такой реакции экономики на отклонение системы от равновесия, при которых не допускаются резкие взлеты и падения макроэкономических переменных.

Сказанное означает, что квазистационарный подход может быть эффективен лишь при анализе макроэкономических тенденций сложившейся, эволюционно изменяющейся экономики, в которой действуют механизмы государственного регулирования, направленные не только на стимулирование спроса, но и на устранение отклонений макроэкономической системы от траектории эволюционного развития. По-видимому, лишь в этом случае можно говорить об “автоматическом действии” равновесных рыночных механизмов, которые, как и “невидимая рука” А. Смита, обеспечивают устойчивость равновесия макроэкономических рынков.

Литература

1. Крылов А.Н. Прикладная математика и ее значение для техники. М.; Л., 1931. С.6.

2. Блауг М. Экономическая мысль в ретроспективе. / Пер. с англ. М., 1994. С.277.

3. Капица П.Л. Эксперимент, теория, практика: Статьи и выступления. М., 1987. С.417.

4. Маршалл А. Принципы экономической науки / Пер. с англ. М., 1993. Т.1. С.49—50.

5. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М., 1997.

6. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М., 1996.

7. Тихомиров Н.П., Райцин В.Я., Гаврилец Ю.Н., Спиридонов Ю.Д. Моделирование социальных процессов.
М., 1993.

8. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М., 1997.

9. Кейнс Дж. М. Избранные произведения / Пер. с англ. М., 1993.