Виды тригонометрических уравнений
Виды тригонометрических уравнений” Виды тригонометрических уравнений.
1. Простейшие тригонометрические уравнения:
Пример 1. 2sin(3x -
p
/4) -1 = 0. Решение. Решим уравнение относительно sin(3x -
p
/4).
sin(3x -
p
/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим
3х -
p
/4 = (-1)
n arcsin 1/2 + n
p
, n
Î
Z.
Зх -
p
/4 = (-1)
n
p
/6 + n
p
, n
Î
Z; 3x = (-1)
n
p
/6 +
p
/4 + n
p
, n
Î
Z;
x = (-1)
n
p
/18 +
p
/12 + n
p
/3, n
Î
Z
Если k = 2n (четное), то х =
p
/18 +
p
/12 + 2
p
n/3, n
Î
Z.
Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = -
p
/18 +
p
/12 + ((2
p
n + 1)
p
)/3 =
=
p
/36 +
p
/3 + 2
p
n/3 = 13
p
/36 + 2
p
n/3, n
Î
z.
Ответ: х
1 = 5
p
/6 + 2
p
n/3,n
Î
Z, x
2 =
13
p
/36 + 2
p
n/3, n
Î
Z,
или в градусах: х, = 25° + 120
· n, n
Î
Z; x, = 65° + 120°
· n, n
Î
Z.
Пример 2. sinx +
Ö
з cosx = 1.
Решение. Подставим вместо
Ö
з значение ctg
p
/6, тогда уравнение примет вид
sinx + ctg
p
/6 cosx = 1; sinx + (cos
p
/6)/sin
p
/6
· cosx = 1;
sinx sin
p
/6 + cos
p
/6 cosx = sin
p
/6; cos(x -
p
/6) = 1/2.
По формуле для уравнения cosx = а находим х -
p
/6 = ± arccos 1/2 + 2
p
n, n
Î
Z; x = ±
p
/3 +
p
/6 + 2
p
n, n
Î
Z; x1 =
p
/3 +
p
/6 + 2
p
n, n
Î
Z; x1 =
p
/2 + 2
p
n, n
Î
Z; x2 = -
p
/3 +
p
/6 + 2
p
n, n
Î
Z; x2 = -
p
/6 + 2
p
n, n
Î
Z;
Ответ: x1 =
p
/2 + 2
p
n, n
Î
Z; x2 = -
p
/6 + 2
p
n, n
Î
Z.
2. Двучленные уравнения:
Пример 1. sin3x = sinx.
Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx
· cos2x = 0.
Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения. sinx = 0 или cos2x = 0. x1 =
p
n, n
Î
Z, x2 =
p
/4 +
p
n/2, n
Î
Z. Ответ: x1 =
p
n, n
Î
Z, x2 =
p
/4 +
p
n/2, n
Î
Z.
3. Разложение на множители:
Пример 1. sinx + tgx = sin
2
x / cosx
Решение. cosx
¹ 0; x
¹
p
/2 +
p
n, n
Î
Z.
sinx + sinx/cosx = sin
2
x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.
sinx
· cosx + sinx - sin
2
x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;
sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;
x1 =
p
n, n
Î
Z; cosx - cos(
p
/2 - x) = -1; 2sin
p
/4
· sin(
p
/4 - x) = -1;
Ö
2
· sin(
p
/4 - x) = -1; sin(
p
/4 -x) = -1/
Ö
2;
p
/4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/
Ö
2 +
p
n, n
Î
Z;
x2 =
p
/4 - (-1) n+1
·
p
/4 -
p
n, n
Î
Z; x2 =
p
/4 + (-1) n
·
p
/4 +
p
n, n
Î
Z.
Если n = 2n (четное), то x =
p
/2 +
p
n, если n = 2n + l (нечетное), то x =
p
n.
Ответ: x1 =
p
n, n
Î
Z; x2 =
p
/4 + (-I)
n
·
p
/4 +
p
n, n
Î
Z.
4. Способ подстановки
Пример 1. 2 sin
2
x = 3cosx.
Решение. 2sin
2
x - 3cosx = 0; 2 (l - cos
2
x) - 3cosx = 0; 2cos
2
x + 3cosx - 2 = 0.
Пусть z = cosx, |z|
£ 1. 2z
2
+ 32z - 2=0.
Д = 9+16 = 25;
Ö
Д = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -
-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:
cosx = 1/2; х = ±
p
/3 + 2
p
n, n
Î
Z. Ответ: х = ±
p
/3 + 2
p
n, n
Î
Z.
5. Однородные уравнения
Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:
a sin
2
x + b sinxcosx + c cos
2
x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или
a sin
3
x + b sin
2
x cosx + c sinx cos
2
x + d sin
3
x = 0 и т.д.
В этих уравнениях sinx
¹ 0, cosx
¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin
2
x или на cos
2
x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx.
Пример 1.
Ö
3sin
2
2x - 2sin4x +
Ö
3cos
2
2x = 0.
Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.
Получим уравнение
Ö
3sin
2
2x - 4sin2xcos2x +
Ö
3cos
2
2x = 0.
Разделим на cos
2
2x. Уравнение примет вид
Ö
3 tg
2
2x – 4tg2x +
Ö
3 = 0.
Пусть z = tg2x, тогда
Ö
3z
2 - 4z +
Ö
3 = 0; Д = 4;
Ö
Д = 2.
z1 = (4 +2)/2
Ö
3 = 6/2
Ö
3 =
Ö
3; z2 = (4 – 2)/2
Ö
3 = 1/
Ö
3
tg2x =
Ö
3 или tg2x = 1/
Ö
3
2x =
p
/3 +
p
n, n
Î
Z; 2x =
p
/6 +
p
n, n
Î
Z;
x1 =
p
/6 +
p
n/2, n
Î
Z ; x2 =
p
/12 +
p
n/2, n
Î
z.
Ответ: x1 =
p
/6 +
p
n/2, n
Î
Z ; x2 =
p
/12 +
p
n/2, n
Î
z.
6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с
Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.
Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.
sin
j = 4/5; cos
j = 3/5; sin(x+
j
) = 1, x +
j =
p
/2 + 2
p
n, n
Î
Z.
Ответ: x =
p
/2 - arcsin 4/5 + 2
p
n, n
Î
Z.
7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений.
Пример 1. 1/(
Ö
3-tgx) – 1/(
Ö
3 +tgx) = sin2x
Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения
tgx
¹ ±
Ö
3, х
¹ ±
p
/8 +
p
n, n
Î
Z и х
¹ ±
p
/2 +
p
n, n
Î
Z.
Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла.
(
Ö
3 + tgx -
Ö
3 + tgx)/3 - tg
2
x = 2tgx/ (1 + tg
2
x); 2tgx / (3 - tg
2
x) = 2tgx/(1 + tg
2
x)
x1 =
p
n, n
Î
Z
Второе уравнение имеет вид
2tg
2
x - 2 = 0; tg
2
x = 1; tgx = ±1; x2 = ±
p
/4 +
p
n, n
Î
Z.
Ответ: x1 =
p
n, n
Î
Z; х2 = ±
p
/4 +
p
n, n
Î
Z.
8. Иррациональные тригонометрические уравнения
Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).
Пример 1.
Ö
( cos
2
x + ½) +
Ö
( sin
2
x + ½) = 2.
Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.
cos
2
x + ½ + 2
Ö
(( cos
2
x + ½) ( sin
2
x + ½)) + sin
2
x + ½ = 4
Ö
(( cos
2
x + ½) ( sin
2
x + ½)) = 1; ( cos
2
x + ½) ( sin
2
x + ½) = 1
( ½ + ½ cos2x + ½)( ½ - ½ cos2x + ½) = 1; (1 + ½ cos2x) (1 - ½ cos2x) = 1;
1 – ¼ cos
2
2x = 1; cos2x=0; x =
p
/4 +
p
n/2, n
Î
z
Ответ: x =
p
/4 +
p
n/2, n
Î
z.
9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция
Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.
Пример 1. tg(x
2 + 5x)ctg 6=1.
Решение. Запишем уравнение в виде tg(x
2
+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х
2 + 5х = 6 +
p
n, n
Î
Z; х
2 + 5х - (6+
p
n) = 0, n
Î
z;
Д = 25 + 4(6 +
p
n) = 49 + 4
p
n, n
Î
Z; х1,2 = (-5
±
Ö
(49 + 4
p
n))/2, n
Î
z
Решение имеет смысл, если 49 + 4
p
n > 0, т.е. n
³ -49/4
p
; n
³ -3.
Литераура:
Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.
(стр. 116 - 125)
Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров, А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,
С . И . Шварцбурд, 1993 г.
(стр. 62 - 78)
Решение уравнений уравнений к ним приводящихся Простейшие тригонометрические неравенства. Уравнения содержащие тригонометрические выражения под знаком корня четной степени. Дано простейшее тригонометрическое уравнение о формула корней имеет вид. Реферат по математике на тему решение тригонометрических уравнений. Зависимости между тригометрическими функциями одного аргумента. Тригонометрические уравнения решение разложить на множители. Общий вид решения простейших тригонометрических уравнений. Готовые презинтации на тему тригонометрические уравнения. Реферат тригонометрические уравнения и системы уравнений. Показать на тригонометрическом круге решение уравнений. Решение простейших тригонометрических уравнений вида. Сложные примеры решение тригонометрических уравнении. Урок конференция тригонометрические уравнения на егэ. Урок на тему однородные тригонометрические уравнения. Формулы корней частных тригонометрических уравнений.
|
