Òðè êðèçèñà â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè
ÐÅÖÅÍÇÈß
íà
äèïëîìíóþ
ðàáîòó
ñòóäåíòà V
êóðñà
ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî
ôàêóëüòåòà
ÀÃÏÈ
Áîëüøàêîâà
À. À. íà òåìó:
Òðè êðèçèñà
â ðàçâèòèè
ìàòåìàòèêè”
Ðàçâèòèå
ìàòåìàòèêè
íå îäíàæäû
ïðèâîäèëî â
ïðîøëîì ê
íåîáõîäèìîñòè
îñìûñëåíèÿ è
ïåðåñòðîéêè
å¸ îñíîâ. Äèïëîìíàÿ
ðàáîòà
Áîëüøàêîâà
À. À. ïîñâÿùåíà
îáçîðó òðåõ
ïåðèîäîâ
èíòåíñèâíûõ
ïîèñêîâ
ïóòåé
ïðåîäîëåíèÿ
íàêîïèâøèõñÿ
âíóòðåííèõ
ïðîòèâîðå÷èé:
àíòè÷íûé
ïåðèîä, ïåðèîä
îáîñíîâàíèÿ
àíàëèçà è
òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûé
ïåðèîä.
 ðàáîòå
ïðèâîäèòñÿ
ìíîãî
èíòåðåñíûõ
èñòîðè÷åñêèõ
ñâåäåíèé.
Ïîêàçàíû
íåïðîñòûå
ïóòè
ôîðìèðîâàíèÿ
íåêîòîðûõ
îñíîâíûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ïîíÿòèé.
Àâòîð
ïîêàçûâàåò
ãëóáîêîå
ïðîíèêíîâåíèå
â òåìó è
õîðîøåå
âëàäåíèå
ìàòåðèàëîì.
Äèïëîìíàÿ
ðàáîòà
ÁîëüøàêîâàÀ.À.
çàñëóæèâàåò
âûñîêîé
îöåíêè.
Çàâåäóþùèé
êàôåäðîé
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà,
êàíäèäàò
ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ
íàóê
Çàõàðîâ
Ñ. À.
Ìèíèñòåðñòâî
îáðàçîâàíèÿ
Ðîññèéñêîé
Ôåäåðàöèè
Àñòðàõàíñêèé
ïåäàãîãè÷åñêèé
èíñòèòóò
èì. Ñ. Ì.
Êèðîâà
Òðè
êðèçèñà
â ðàçâèòèè
ìàòåìàòèêè
ÄÈÏËÎÌÍÀß
ÐÀÁÎÒÀ
ñòóäåíòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî
ôàêóëüòåòà
Áîëüøàêîâà Àëåêñàíäðà Àíàòîëüåâè÷à
Íàó÷íûé
ðóêîâîäèòåëü
Îâàíåñîâ Í. Ã.
Àñòðàõàíü
· 96
Îãëàâëåíèå
Ââåäåíèå
I. Ñïîñîáû
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè
â
äðåâíåé
Ãðåöèè îò
Ïèôàãîðà äî Åâêëèäà.
1.
Ìàòåìàòèêà
ïèôàãîðåéöåâ
2.
Ïðîáëåìà
áåñêîíå÷íîñòè
â
äðåâíåãðå÷åñêîé
ôèëîñîôèè è
ìàòåìàòèêå
3.
Òðè
çíàìåíèòûõ
çàäà÷è
äðåâíîñòè
4.
Ïðåîäîëåíèå
êðèçèñà
îñíîâ
äðåâíåãðå÷åñêîé
ìàòåìàòèêè
II. Ñïîñîáû
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè
â XVIII è â
ïåðâîé
ïîëîâèíå XIX
âåêà
1.
Îñîáåííîñòè
ñïîñîáîâ
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè
â êîíöå XVII è â XVIII
âåêå
2.
Ðàçðàáîòêà
ñïîñîáîâ
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè
â ïîñëåäíåé
÷åòâåðòè XVIII è
ïåðâîé
ïîëîâèíå XIX
âåêà
III. Ñïîñîáû
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè
â ïîñëåäíåé
÷åòâåðòè XIX
âåêà è
íà÷àëà XX âåêà
1.
Òåîðèÿ
ìíîæåñòâ.
Îñíîâíûå
ïîíÿòèÿ ó÷åíèÿ î
ìíîæåñòâàõ
Ã. Êàíòîðà
2.
Òðóäíîñòè
ïîñòðîåíèÿ
òåîðèè
ìíîæåñòâ.
Êðèòèêà
êîíöåïöèè Ã.
Êàíòîðà
3.
Ïàðàäîêñû
(àíòèíîìèè) òåîðèè
ìíîæåñòâ
4.
Àêñèîìàòè÷åñêèå
ïîñòðîåíèÿ òåîðèè
ìíîæåñòâ ïî
Öåðìåëî
5.
Ïðîáëåìà
ñóùåñòâîâàíèÿ
â
ìàòåìàòèêå
Ñïèñîê
ëèòåðàòóðû.
Ââåäåíèå
Ñîçäàíèå
íîâûõ è
äàëüíåéøåå
ðàçâèòèå ñóùåñòâóþùèõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
òåîðèé
ñâÿçàíî
îáû÷íî ñ óòî÷íåíèåì
(îáîáùåíèåì)
èõ èñõîäíûõ
îñíîâíûõ
ïîíÿòèé è
ïîñûëîê è
îñíîâàííûõ
íà íèõ
ìåòîäîâ.
Ìàòåìàòèêè
íåðåäêî
âñòðå÷àëèñü
ñ
òðóäíîñòÿìè,
ïðåîäîëåòü
êîòîðûå èì
óäàâàëîñü
òîëüêî ïîñëå
ïðîäîëæèòåëüíûõ
ïîèñêîâ. Ýòè
òðóäíîñòè
ðîñòà
ìàòåìàòèêè
òðóäíîñòè
å¸ îáîñíîâàíèÿ:
îíè áûëè,
åñòü è áóäóò
â äàëüíåéøåì.
Òðóäíîñòè
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè
èãðàþò
íàèáîëåå
çíà÷èòåëüíóþ
ðîëü â ðàçâèòèè
ìàòåìàòèêè
òîãäà, êîãäà
âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü
â êîðåííîé
ïåðåðàáîòêå
îñíîâ è
ìåòîäîëîãèè
âñåõ (èëè
äîñòàòî÷íî
áîëüøîãî
÷èñëà) ìàòåìàòè÷åñêèõ
òåîðèé. Â
ýòèõ
ñëó÷àÿõ
ãîâîðÿò î
êðèçèñå
îñíîâ
ìàòåìàòèêè.
Èçâåñòíû
òðè òàêèõ
êðèçèñà.
Âïåðâûå
êðèçèñ
îñíîâ íàóê
âîçíèê â
ìàòåìàòèêå
â äðåâíåé
Ãðåöèè, â
íà÷àëå å¸
ôîðìèðîâàíèÿ
êàê íàó÷íîé
ñèñòåìû.
Âòîðîé èìåë
ìåñòî â
êîíöå XVII è â XVIII
âåêå. Òðåòèé
âîçíèê â
êîíöå XIX âåêà,
îí íå
ïðåîäîëåí è â
íàøå âðåìÿ è
îêàçûâàåò
âëèÿíèå íà
ðàçâèòèå
ñîâðåìåííîé
ìàòåìàòèêè.
Ìû
ðàññìîòðèì
ñóùíîñòü
ýòèõ
êðèçèñîâ ìàòåìàòèêè,
èìåÿ â âèäó
ïðåèìóùåñòâåííî
ïîäòâåðæäåíèå
âûâîäîâ,
ñäåëàííûõ
ðàíåå î
çàêîíîìåðíîñòÿõ
ðàçâèòèÿ
ìàòåìàòèêè
êàê òåîðèè.
I. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â
äðåâíåé Ãðåöèè îò Ïèôàãîðà äî Åâêëèäà.
1. Ìàòåìàòèêà ïèôàãîðåéöåâ
Ìàòåìàòèêà
êàê òåîðèÿ
ïîëó÷èëà
ðàçâèòèå â
øêîëå
Ïèôàãîðà (571–479
ãã. äî í. ý.).
Ãëàâíîé
çàñëóãîé
ïèôàãîðåéöåâ
â îáëàñòè
íàóêè
ÿâëÿåòñÿ
ñóùåñòâåííîå
ðàçâèòèå
ìàòåìàòèêè
êàê ïî
ñîäåðæàíèþ,
òàê è ïî ôîðìå.
Ïî
ñîäåðæàíèþ —
îòêðûòèå
íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ
ôàêòîâ. Ïî
ôîðìå —
ïîñòðîåíèå
ãåîìåòðèè è
àðèôìåòèêè
êàê
òåîðåòè÷åñêèõ,
äîêàçàòåëüíûõ
íàóê,
èçó÷àþùèõ
ñâîéñòâà
îòâëå÷åííûõ
ïîíÿòèé î
÷èñëàõ è
ãåîìåòðè÷åñêèõ
ôîðìàõ.
Äåäóêòèâíîå
ïîñòðîåíèå
ãåîìåòðèè
ÿâèëîñü
ìîùíûì
ñòèìóëîì å¸
äàëüíåéøåãî
ðîñòà.
Ïèôàãîðåéöû
ðàçâèëè è
îáîñíîâàëè
ïëàíèìåòðèþ
ïðÿìîëèíåéíûõ
ôèãóð:
ó÷åíèå î
ïàðàëëåëüíûõ
ëèíèÿõ,
òðåóãîëüíèêàõ,
÷åòûðåõóãîëüíèêàõ,
ïðàâèëüíûõ
ìíîãîóãîëüíèêàõ.
Ïîëó÷èëà ðàçâèòèå
ýëåìåíòàðíàÿ
òåîðèÿ
îêðóæíîñòè
è êðóãà.
Íàëè÷èå ó
ïèôàãîðåéöåâ
ó÷åíèÿ î ïàðàëåëüíûõ
ëèíèÿõ
ãîâîðèò î
òîì, ÷òî îíè
âëàäåëè
ìåòîäîì
äîêàçàòåëüñòâà
îò ïðîòèâíîãî
è âïåðâûå äîêàçàëè
òåîðåìó î
ñóììå óãëîâ
òðåóãîëüíèêà.
Âåðøèíîé
äîñòèæåíèé
ïèôàãîðåéöåâ
â ïëàíèìåòðèè
ÿâëÿåòñÿ
äîêàçàòåëüñòâî
òåîðåìû
Ïèôàãîðà.
Ïîñëåäíÿÿ çà
ìíîãî
ñòîëåòèé
ðàíüøå áûëà
ñôîðìóëèðîâàíà
âàâèëîíñêèìè,
êèòàéñêèìè
è
èíäèéñêèìè
ó÷åíûìè, îäíàêî
å¸
äîêàçàòåëüñòâî
èì íå áûëî
èçâåñòíî.
Óñïåõè
ïèôàãîðåéöåâ
â
ñòåðåîìåòðèè
áûëè
çíà÷èòåëüíûìè.
Îíè
çàíèìàëèñü
èçó÷åíèåì
ñâîéñòâ
øàðà, îòêðûëè
ïîñòðîåíèå
÷åòûðåõ
ïðàâèëüíûõ
ìíîãîóãîëüíèêîâ
òåòðàýäðà,
êóáà,
îêòàýäðà è
äîäåêàýäðà
(èêîñàýäð
èññëåäîâàë
âïîñëåäñòâèè
Ãåýòåò).
Îäíàêî
îíè íå
ñìîãëè
îáîñíîâàòü
óòâåðæäåíèÿ,
îòíîñÿùèåñÿ
ê îáúåìàì
òåë (ïèðàìèäû,
êîíóñà,
öèëèíäðà è
øàðà), õîòÿ,
êîíå÷íî, ýòè
óòâåðæäåíèÿ
áûëè
óñòàíîâëåíû
ýìïèðè÷åñêè
ìíîãî âåêîâ
ðàíüøå. Íå
çíàëè ïèôàãîðåéöû
è îòíîøåíèÿ
ïîâåðõíîñòè
øàðà ê áîëüøîìó
êðóãó. Â
îáëàñòè
àðèôìåòèêè
ïèôàãîðåéöû
èçó÷àëè
ñâîéñòâà
÷åòíûõ è
íå÷åòíûõ,
ïðîñòûõ è
ñîñòàâíûõ
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë,
èñêàëè ñîâåðøåííûå
÷èñëà, ò. å.
òàêèå,
êîòîðûå ðàâíû
ñóììå âñåõ
ñâîèõ
äåëèòåëåé
(íàïðèìåð, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14).
Ïî âèäèìîìó,
îíè
óñòàíîâèëè,
÷òî åñëè
÷èñëî 2ï–1
ÿâëÿåòñÿ
ïðîñòûì, òî
÷èñëî 2ï–1´(2ï–1) —
ñîâåðøåííîå.
Ïèôàãîðåéöû
çíàëè òàêæå
äðîáíûå
÷èñëà è â
ýòîé ñâÿçè
ðàçðàáîòàëè
òåîðèþ
àðèôìåòè÷åñêîé
è
ãåîìåòðè÷åñêîé
ïðîïîðöèé.
Îíè âëàäåëè
ïîíÿòèÿìè
ñðåäíåãî
àðèôìåòè÷åñêîãî,
ñðåäíåãî
ãåîìåòðè÷åñêîãî
è ñðåäíåãî
ãàðìîíè÷åñêîãî.
Êàê íè
âåëèêè
çàñëóãè
ïèôàãîðåéöåâ
â ðàçâèòèè ñîäåðæàíèÿ
è
ñèñòåìàòèçàöèè
ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêè,
îäíàêî âñå
îíè íå ìîãóò
ñðàâíèòüñÿ
ñî
ñäåëàííûì
èìè æå
îòêðûòèåì
íåñîèçìåðèìûõ
âåëè÷èí. Ýòî
îòêðûòèå
ÿâèëîñü
ïîâîðîòíûì
ïóíêòîì â
èñòîðèè
àíòè÷íîé
ìàòåìàòèêè.
Ïî ïîâîäó
ýòîãî
îòêðûòèÿ
Àðèñòîòåëü
ãîâîðèë, ÷òî
Ïèôàãîð
ïîêàçàë, ÷òî
åñëè áû
äèàãîíàëü
êâàäðàòà
áûëà áû
ñîèçìåðèìà
ñ åãî ñòîðîíîé,
òî ÷åòíîå
ðàâíÿëîñü áû
íå÷åòíîìó. Ðèñ. 1
Ýòî
çàìå÷àíèå
Àðèñòîòåëÿ
ÿñíî
ïîêàçûâàåò,
÷òî ïðè
äîêàçàòåëüñòâå
íåñîèçìåðèìîñòè
äèàãîíàëè
êâàäðàòà ñ
åãî
ñòîðîíîé Ïèôàãîð
èñïîëüçîâàë
ìåòîä îò
ïðîòèâíîãî (ðèñ.
1).
Ïóñòü,
äåéñòâèòåëüíî,
äèàãîíàëü ÀÂ ñîèçìåðèìà
ñî ñòîðîíîé ÀÑ êâàäðàòà
ÀÑÂÄ.
Òîãäà , ãäå ð
è q — íàòóðàëüíûå
÷èñëà. Äðîáü ìîæíî
ñ÷èòàòü
íåñîêðàòèìîé
(èíà÷å å¸
ìîæíî áûëî
áû ñîêðàòèòü);
çíà÷èò, ð èëè q
áóäåò
÷èñëîì íå÷åòíûì.
Ïðèìåì ÀÑ=1. Ïî
òåîðåìå
Ïèôàãîðà
äîëæíî áûòü:
;
Çíà÷èò
,
ò. å. ð2
äåëèòñÿ
íàöåëî íà 2;
ñëåäîâàòåëüíî
è ð
òàêæå äåëèòñÿ
íàöåëî íà 2:
ð=2ð1,
ãäå ð1 —
íåêîòîðîå
íàòóðàëüíîå
÷èñëî.
Àíàëîãè÷íî
ïîëó÷àåì:
q=2q1,
ãäå q1
òàêæå
íåêîòîðîå
íàòóðàëüíîå
÷èñëî.
Èòàê, ð è q —
îáà ÷åòíûå
÷èñëà.
Ïîñêîëüêó ð èëè q —
÷èñëî
íå÷åòíîå,
âûõîäèò, ÷òî
÷åòíîå ÷èñëî
ðàâíî íå÷åòíîìó
÷èñëó. Â
êîíöå V âåêà
äî í. ý. Ôåîäîð
èç Êèðåíû
óñòàíîâèë,
÷òî
íåñîèçìåðèìîñòü
äèàãîíàëè
êâàäðàòà ñ
åãî
ñòîðîíîé íå
ÿâëÿåòñÿ
èñêëþ÷åíèåì.
Îí ïîêàçàë,
÷òî ñòîðîíû
êâàäðàòîâ,
ïëîùàäè
êîòîðûõ
ðàâíû 3, 5, 6, …, 17
íåñîèçìåðèìû
ñî ñòîðîíîé
åäèíè÷íîãî
êâàäðàòà.
Ïèôàãîð
ó÷èë, ÷òî
ñóùíîñòü
âñåõ âåùåé
åñòü ÷èñëî;
÷èñëî — ñàìè
âåùè;
ãàðìîíèÿ
÷èñåë — ãàðìîíèÿ
ñàìèõ âåùåé.
Àðèñòîòåëü
ãîâîðèë, ÷òî
ó
ïèôàãîðåéöåâ
÷èñëà ïðèíèìàëèñü
çà íà÷àëî è â
êà÷åñòâå
ìàòåðèè è â
êà÷åñòâå [âûðàæåíèÿ
äëÿ] èõ
ñîñòîÿíèÿ è
ñâîéñòâ.
Îòêðûòèå
íåñîèçìåðèìûõ
âåëè÷èí
ñíà÷àëà
âûçâàëî
óäèâëåíèå”
(Àðèñòîòåëü).
Ýòî åñòåñòâåííî:
äî îòêðûòèÿ
Ïèôàãîðà
äðåâíåãðå÷åñêèå
ìàòåìàòèêè
ñ÷èòàëè, ÷òî
ëþáûå äâà
îòðåçêà
èìåþò îáùóþ
ìåðó, õîòÿ,
ìîæåò áûòü, è
î÷åíü ìàëóþ.
Êîãäà,
îäíàêî,
ïèôàãîðåéöû
óáåäèëèñü,
÷òî äîêàçàòåëüñòâî
ñóùåñòâîâàíèÿ
íåñîèçìåðèìûõ
âåëè÷èí
áåçóïðå÷íî,
îíè ïîíÿëè,
÷òî èõ
ôèëîñîôèÿ
îêàçàëàñü â
çàòðóäíèòåëüíîì
ïîëîæåíèè.
Ïèôàãîðåéöû
çíàëè
òîëüêî
ïîëîæèòåëüíûå
öåëûå è
äðîáíûå
÷èñëà.
Ñëåäóÿ ñâîåé
ôèëîñîôñêîé
óñòàíîâêå,
îíè, ïî ñóòè
äåëà, ñ÷èòàëè,
÷òî êàæäàÿ
âåùü ìîæåò
áûòü
îõàðàêòåðèçîâàíà
ïîëîæèòåëüíûì
öåëûì èëè
äðîáíûì
÷èñëîì,
êîòîðîå
âûðàæàåò
ñóùíîñòü”
ýòîé âåùè.
Íà äåëå ýòî
îçíà÷àëî,
÷òî
ãåîìåòðèÿ
ñòðîèëàñü
íà áàçå
àðèôìåòèêè.
Îòêðûòèå
íåñîèçìåðèìûõ
îòðåçêîâ çíàìåíîâàëî
ïîýòîìó
íà÷àëî
êðèçèñà ïèôàãîðåéñêîé
ôèëîñîôèè è
ìåòîäîëîãè÷åñêèõ
îñíîâ
ðàçâèâàåìîé
èìè ñèñòåìû
ìàòåìàòèêè.
Ïîñëå
îáíàðóæåíèÿ
ñóùåñòâîâàíèÿ
íåñîèçìåðèìûõ
âåëè÷èí
ïåðåä
ïèôàãîðåéöàìè
îòêðûëèñü
äâå âîçìîæíîñòè.
Ìîæíî áûëî
ïîïûòàòüñÿ
ðàñøèðèòü
ïîíÿòèå
÷èñëà çà
ñ÷åò
ïðèñîåäèíåíèÿ
ê
ðàöèîíàëüíûì
÷èñëàì
÷èñåë
èððàöèîíàëüíûõ,
îõàðàêòåðèçîâàòü
íåñîèçìåðèìûå
âåëè÷èíû
÷èñëàìè
èíîé ïðèðîäû
è òàêèì
îáðàçîì
âîññòàíîâèòü
ñèëó
ôèëîñîôñêîãî
ïðèíöèïà “âñå
åñòü ÷èñëî”.
Îäíàêî,
ýòîò ïóòü
ñòîëü
åñòåñòâåííûé
è ïðîñòîé ñ
ñîâðåìåííîé
òî÷êè
çðåíèÿ, äëÿ
ïèôàãîðåéöåâ
áûë çàêðûò. Â
ýòîì ñëó÷àå
íàäî áûëî
ïîñòðîèòü äîñòàòî÷íî
ñòðîãóþ
àðèôìåòè÷åñêóþ
òåîðèþ
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë, ÷òî
ïðè óðîâíå ïèôàãîðåéñêîé
ìàòåìàòèêè
áûëî äåëîì
íåâûïîëíèìûì.
Ïîýòîìó
íàäî áûëî èäòè
ïî äðóãîìó
ïóòè — ïî ïóòè
îïðåäåëåííîãî
ïåðåñìîòðà
èñõîäíûõ
ïðèíöèïîâ,
íàïðèìåð
ïðèíÿòü, ÷òî
ãåîìåòðè÷åñêèå
îáúåêòû ÿâëÿþòñÿ
âåëè÷èíàìè
áîëåå îáùåé
ïðèðîäû, ÷åì
äðîáíûå è
öåëûå ÷èñëà,
è ïûòàòüñÿ
ñòðîèòü âñþ
ìàòåìàòèêó
íå íà
àðèôìåòè÷åñêîé,
à íà ãåîìåòðè÷åñêîé
îñíîâå.
Èìåííî ýòîò
âòîðîé ïóòü
è èçáðàëè
ïèôàãîðåéöû,
à âñëåä çà íèìè
áîëüøèíñòâî
äðåâíåãðå÷åñêèõ
ìàòåìàòèêîâ,
âïëîòü äî
Àðõèìåäà è
Àïîëëîíèÿ.
2. Ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòè â
äðåâíåãðå÷åñêîé ôèëîñîôèè è ìàòåìàòèêå
Â
äðåâíåãðå÷åñêîé
ôèëîñîôèè
ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè
ïîÿâèëîñü
âïåðâûå ó
ìàòåðèàëèñòîâ
ìèëåòñêîé
øêîëû.
Àíàêñèìàíäð
(610–546 ãã. äî í. ý.),
ïåðååìíèê
Ôàëåñà, ó÷èë:
ìàòåðèÿ
áåñêîíå÷íà
â ïðîñòðàíñòâå
è âî âðåìåíè;
âñåëåííàÿ
áåñêîíå÷íà,
÷èñëî ìèðîâ
áåñêîíå÷íî.
Àíàêñèìåí (546
ã. äî í. ý. —
ðàñöâåò
äåÿòåëüíîñòè)
ãîâîðèë:
âå÷íûé
êðóãîâîðîò
ìàòåðèè — ýòî
è åñòü
áåñêîíå÷íîñòü.
Ïîíÿòèå
áåñêîíå÷íîñòè
êàê
ìàòåìàòè÷åñêàÿ
êàòåãîðèÿ
âïåðâûå
ïîÿâëÿåòñÿ ó
Àíàêñèãîðà
(îêîëî 500–428 ãã. äî
í. ý.). Â
ñî÷èíåíèè “Î
ïðèðîäå” Àíàêñèãîð
ïèñàë: âåùè
áåñêîíå÷íî
äåëèìû, íåò
ïîñëåäíåé
ñòóïåíè
äåëèìîñòè
ìàòåðèè; ñ
äðóãîé
ñòîðîíû,
âñåãäà
èìååòñÿ
íå÷òî áîëüøåå,
÷òî ÿâëÿåòñÿ
áîëüøèì.
Áåñêîíå÷íîñòü
äëÿ
Àíàêñîãîðà —
ïîòåíöèàëüíàÿ;
îíà
ñóùåñòâóåò
â äâóõ
ôîðìàõ: êàê áåñêîíå÷íî
ìàëîå è áåñêîíå÷íî
áîëüøîå. Â
ìàòåìàòèêå
òî÷êà çðåíèÿ
Àíàêñàãîðà
íàøëà
áëàãîïðèÿòíóþ
ïî÷âó áëàãîäàðÿ
îòêðûòèþ
íåñîèçìåðèìûõ
âåëè÷èí — âåëè÷èí,
êîòîðûå íå
ìîãóò áûòü
èçìåðåíû ëþáîé,
êàêîé
óãîäíî
ìàëîé, îáùåé
ìåðîé.
Äåìîêðèò
(îêîëî 560–570 ãã. äî
í. ý.),
ïî-âèäèìîìó,
èçó÷àë òàê
íàçûâàåìûå
ðîãîâèäíûå
óãëû (óãëû,
îáðàçóåìûå
äóãîé îêðóæíîñòè
è
êàñàòåëüíîé
ê íåé).
Ïîñêîëüêó
êàæäûé
ðîãîâèäíûé
óãîë “ìåíüøå”
ëþáîãî
ïðÿìîëèíåéíîãî
óãëà, çäåñü
ïîÿâëÿåòñÿ
ïîíÿòèå àêòóàëüíî
áåñêîíå÷íî
ìàëîãî.
Âïîñëåäñòâèè
ïîÿâèëîñü è
ïîíÿòèå
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè.
Àðèñòîòåëü
(384–322 ãã. äî í. ý.)
îò÷åòëèâî
ðàçëè÷àåò
äâà âèäà
áåñêîíå÷íîñòè:
ïîòåíöèàëüíóþ
è àêòóàëüíóþ.
Ïîíÿòèå
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè
â äðåâíåé Ãðåöèè
íå ïîëó÷èëî
ðàçâèòèÿ
êàê â
ôèëîñîôèè, òàê
è â ìàòåìàòèêå.
Ìàòåìàòèêè
ñ÷èòàëè, ÷òî
öåëîå áîëüøå
ëþáîé ñâîåé
÷àñòè” è, òåì ñàìûì,
ïî ñóùåñòâó,
èñêëþ÷àëè àêòóàëüíóþ
áåñêîíå÷íîñòü.
Ôèëîñîôû
(Àðèñòîòåëü,
íàïðèìåð)
äîêàçûâàëè
ïðîòèâîðå÷èâîñòü
ïîíÿòèÿ
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè
è òåì ñàìûì
ïîääåðæèâàëè
ìàòåìàòèêîâ.
Ïîíÿòèå
áåñêîíå÷íîñòè
ïîäâåðãàëîñü
ñåðüåçíîé
êðèòèêå ñî
ñòîðîíû
Çåíîíà
Ýëåéñêîãî
(îêîëî 490–430 ãã. äî
í. ý.). Çåíîí
áûë
ó÷åíèêîì
Ïàðìåíèäà,
ãëàâû
ýëåéñêîé
øêîëû.
Ïàðìåíèä
óòâåðæäàë,
÷òî áûòèå
åäèíî,
íåïîäâèæíî
è íåèçìåííî.
Äâèæåíèå,
èçìåíåíèå —
ýòî òîëüêî âèäèìîñòü,
îáóñëîâëåííàÿ
íåñîâåðøåíñòâîì
íàøèõ îðãàíîâ
÷óâñòâ. Ìèð
(áûòèå) ìîæåò
áûòü ïîçíàí òîëüêî
ðàçóìîì, íî
íå
÷óâñòâàìè.
Çåíîí
Ýëåéñêèé
âûäâèíóë 45
àïîðèé
(àíòèíîìèé),
èìåÿ ïðè
ýòîì öåëüþ
ðàçâèòü è
ëó÷øå îáîñíîâàòü
ó÷åíèå
Ïàðìåíèäà.
Èç ýòèõ àíòèíîìèé
äî íàøåãî
âðåìåíè äîøëî
òîëüêî 9.
Âîò
íàèáîëåå
õàðàêòåðíûå
èç íèõ.
Ïðîòèâ
äâèæåíèÿ.
Äèõîòîìèÿ”.
Äâèæåíèÿ
íåò, ïîòîìó
÷òî òî, ÷òî äâèæåòñÿ,
äîëæíî äîéòè
äî ñåðåäèíû,
ïðåæäå ÷åì îíî
äîéäåò äî
êîíöà. Íî
åñëè áû òåëî
äîøëî äî
ñåðåäèíû,
îíî äîëæíî
áûëî áû
ðàíüøå äîéòè
äî ñåðåäèíû
ýòîé
ñåðåäèíû è ò.
ä. äî
áåñêîíå÷íîñòè,
à ýòî
íåâîçìîæíî.
Òàêèì
îáðàçîì
äâèæåíèå íå
ìîæåò íà÷àòüñÿ.
Àõèëëåñ è
÷åðåïàõà”. Ìåäëåííûé
â áåãå
íèêîãäà íå áóäåò
ïåðåãíàí
áûñòðûì,
ïîòîìó ÷òî
òîò, êòî ïðåñëåäóåò,
äîëæåí
ñíà÷àëà
äîñòè÷ü
òî÷êè, èç
êîòîðîé
íà÷àë óáåãàþùèé,
òàê ÷òî
óáåãàþùèé
âñåãäà
áóäåò íà
íåêîòîðîì
ðàññòîÿíèè
âïåðåäè.
Çàñëóãà
Çåíîíà
Ýëåéñêîãî â
ðàçâèòèè ôèëîñîôèè
è
ìàòåìàòèêè
ñîñòîèò â
òîì, ÷òî îí
âûÿâèë
ðåàëüíóþ ïðîòèâîðå÷èâîñòü
âðåìåíè,
äâèæåíèÿ è
ïðîñòðàíñòâà,
à çíà÷èò è
áåñêîíå÷íîñòü.
Â. È. Ëåíèí
ïèñàë, ÷òî
Çåíîí íå
îòðèöàë
÷óâñòâåííóþ
äîñòîâåðíîñòü
äâèæåíèÿ;
åãî èíòåðåñîâàë
âîïðîñ, êàê
âûðàçèòü
ñóùíîñòü äâèæåíèÿ
â ëîãèêå
ïîíÿòèé.
Îäíàêî,
Çåíîí
ïîñëåäíþþ
çàäà÷ó íå
ðåøèë, íå
ðåøèëè å¸ è
äðóãèå
ó÷åíûå
äðåâíåé
Ãðåöèè.
3. Òðè çíàìåíèòûõ çàäà÷è äðåâíîñòè
Â
ðàçâèòèè
ñîäåðæàíèÿ è
ñïîñîáîâ
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè
äðåâíåé
Ãðåöèè
âûäàþùóþñÿ
ðîëü ñûãðàëè
òðè çàäà÷è:
òðèñåêöèÿ
óãëà, óäâîåíèå
êóáà
(äåëèéñêàÿ çàäà÷à)
è êâàäðàòóðà
êðóãà.
Ïðîáóæäåíèå
îñîáîãî
èíòåðåñà ê
ýòèì çàäà÷àì
èìåííî â
äðåâíåé
Ãðåöèè íå
ñëó÷àéíî.
Ïðè ïîñòðîåíèè
ìàòåìàòèêè
êàê
äåäóêòèâíîé
ñèñòåìû,
áàçèðóþùåéñÿ
íà ãåîìåòðè÷åñêîì
ôóíäàìåíòå
äâå ïåðâûå
çàäà÷è
ïîÿâëÿþòñÿ
êàê
åñòåñòâåííûå
îáîáùåíèÿ
áîëåå
ýëåìåíòàðíûõ
çàäà÷.
Çàäà÷à î êâàäðàòóðå
êðóãà áûëà
ïîëó÷åíà “ïî íàñëåäñòâó”
îò äðåâíèõ
åãèïòÿí è âàâèëîíÿí.
Òðèñåêöèÿ óãëà.
Äàí ÐÀÂÑ,
òðåáóåòñÿ
ðàçäåëèòü
åãî íà òðè
ðàâíûå ÷àñòè.
Ôîðìóëèðîâêà
çàäà÷è
îòíîñèòñÿ ê
ëþáîìó óãëó
è ÿâëÿåòñÿ
îáîáùåíèåì
çàäà÷è î
äåëåíèè
äàííîãî
óãëà íà äâå
ðàâíûå ÷àñòè. Ðèñ. 2
Óäâîåíèå êóáà. Ïîñòðîèòü
êóá, îáúåì
êîòîðîãî â
äâà ðàçà
áîëüøå
îáúåìà äàííîãî
êóáà.
Ïîñòðîèòü
êâàäðàò,
ïëîùàäü
êîòîðîãî â
äâà ðàçà
áîëüøå
ïëîùàäè
äàííîãî êâàäðàòà.
Åñëè
ñòîðîíà
äàííîãî
êâàäðàòà à, à
èñêîìîãî õ, òî õ2=2à2; .
Ñëåäîâàòåëüíî,
ñòîðîíà
èñêîìîãî
êâàäðàòà ðàâíà
äèàãîíàëè
äàííîãî.
Îòñþäà îñóùåñòâèìîñòü
ïîñòðîåíèÿ
öèðêóëåì è
ëèíåéêîé
èñêîìîãî
êâàäðàòà AA`CC` (ðèñ. 2).
Âïîëíå
åñòåñòâåííî
áûëî ïåðåéòè
îò ýòîé
çàäà÷è íà
ïëîñêîñòè ê
ñîîòâåòñòâóþùåé
çàäà÷è â ïðîñòðàíñòâå:
ïîñòðîèòü
êóá, îáúåì
êîòîðîãî â
äâà ðàçà áîëüøå
îáúåìà
äàííîãî
êóáà.
Êâàäðàòóðà êðóãà. Ïîñòðîèòü
êâàäðàò, ïî
ïëîùàäè ðàâíûé
äàííîìó
êðóãó.
Íè
îäíà èç
óêàçàííûõ
çàäà÷ íå
ðàçðåøèìà
öèðêóëåì è ëèíåéêîé.
4. Ïðåîäîëåíèå êðèçèñà îñíîâ
äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè
Ïèôàãîðåéöû
çàëîæèëè
îñíîâû
ãåîìåòðè÷åñêîé
àëãåáðû.
Òåýòåò è
Åâêëèä
óñòàíîâèëè
êëàññèôèêàöèþ
êâàäðàòè÷íûõ
èððàöèîíàëüíîñòåé.
Åâäîïñ
ðàçâèë
îáùóþ
òåîðèþ
ïðîïîðöèé —
ãåîìåòðè÷åñêèé
ýêâèâàëåíò
òåîðèè
ïîëîæèòåëüíûõ
âåùåñòâåííûõ
÷èñåë — è
ðàçðàáîòàë
ìåòîä
èñ÷åðïûâàíèÿ
çà÷àòî÷íóþ
ôîðìó òåîðèè
ïðåäåëîâ,
îñíîâàííóþ
íà
ãåîìåòðè÷åñêîé
áàçå. Ýòè
òåîðèè
ñîçäàëè
ïðî÷íûé êàðêàñ
çäàíèÿ
äðåâíåãðå÷åñêîé
ìàòåìàòèêè,
ôóíäàìåíòîì
êîòîðîãî
áûëà
ãåîìåòðèÿ; òåì
ñàìûì
ïðåîäîëåâàëèñü
òðóäíîñòè,
ñâÿçàííûå ñ
ôàêòîì
ñóùåñòâîâàíèÿ
íåñîèçìåðèìûõ
âåëè÷èí.
×òîáû
èçáåæàòü
òðóäíîñòåé
â
îáîñíîâàíèè
ìàòåìàòèêè,
ñâÿçàííûõ ñ
ïàðàäîêñàìè
áåñêîíå÷íîñòè
(Çåíîí,
Àðèñòîòåëü),
áîëüøèíñòâî
ó÷åíûõ
äðåâíåé
Ãðåöèè ïðåäïî÷ëè
îòêàçàòüñÿ
îò
èñïîëüçîâàíèÿ
â ìàòåìàòèêå
èäåé
áåñêîíå÷íîñòè
è äâèæåíèÿ èëè
ñâåñòè èõ
ïðèìåíåíèå
ê ìèíèìóìó.
 êà÷åñòâå
òàêîãî
ìèíèìóìà
áûëî ïðèíÿòî
óòâåðæäåíèå
î
íåîãðàíè÷åííîé
äåëèìîñòè ãåîìåòðè÷åñêèõ
âåëè÷èí.
Ðàññìîòðåíèå
òðåõ
çíàìåíèòûõ
çàäà÷ ïðèâåëî
äðåâíåãðå÷åñêèõ
ó÷åíûõ ê
óáåæäåíèþ,
÷òî ðåøåíèå
ãåîìåòðè÷åñêîé
çàäà÷è
ìîæåò
ñ÷èòàòüñÿ
âûïîëíåííûì
ñòðîãî
ãåîìåòðè÷åñêè
ëèøü ïðè
óñëîâèè
èñïîëüçîâàíèÿ
òîëüêî (èäåàëüíûõ)
öèðêóëÿ è
ëèíåéêè.
Èñïîëüçîâàíèå
ìåõàíè÷åñêèõ
ñðåäñòâ â
ãåîìåòðèè
íå äîïóñêàåòñÿ.
Òîëüêî
ïîñëå
îñíîâîïîëàãàþùèõ
ðàáîò ïèôàãîðåéöåâ,
Òåýòåòà,
Åâäîêñà è
äðóãèõ
ìàòåìàòèêîâ,
ïîñëå ñîãëàøåíèÿ
î
íåîáõîäèìûõ
îãðàíè÷åíèÿõ
è
äîïóñòèìûõ
ñðåäñòâàõ ïîñòðîåíèÿ,
Åâêëèä
íàïèñàë “Íà÷àëà”,
ïîñâÿùåííûå
îñíîâàì è
ìåòîäàì
äðåâíåãðå÷åñêîé
ìàòåìàòèêè.
 “Íà÷àëàõ”
Åâêëèäà
êðèçèñ
îñíîâ
äðåâíåãðå÷åñêîé
ìàòåìàòèêè
áûë
ïðåîäîëåí —
êîíå÷íî, äëÿ
ñâîåãî
âðåìåíè, è,
äîáàâèì,
ïðåîäîëåí íå
âî âñåõ
ïóíêòàõ è íå
âñåãäà
ñîâåðøåííûì
îáðàçîì.
II. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â
XVIII è â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà
1. Îñîáåííîñòè ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè â êîíöå XVII è â XVIII âåêå
 êîíöå XVII è
â XVIII âåêå âñå
âîçðàñòàþùèå
çàïðîñû
ïðàêòèêè è
äðóãèõ íàóê
ïîáóæäàëè
ó÷åíûõ ìàêñèìàëüíî
ðàñøèðÿòü
îáëàñòü è
ìåòîäû
èññëåäîâàíèé
ìàòåìàòèêè.
Ïîíÿòèÿ
áåñêîíå÷íîñòè,
äâèæåíèÿ è
ôóíêöèîíàëüíîé
çàâèñèìîñòè
âûäâèãàþòñÿ
íà ïåðâîå
ìåñòî,
ñòàíîâÿòñÿ
îñíîâîé
íîâûõ ìåòîäîâ
ìàòåìàòèêè.
 êîíöå XVII è
â XVIII âåêå â
ìàòåìàòèêå
è ìåõàíèêå
áûëè ïîëó÷åíû
êëàññè÷åñêèå
ðåçóëüòàòû
ôóíäàìåíòàëüíîãî
çíà÷åíèÿ.
Îñíîâíûì
çäåñü áûëî
ðàçâèòèå
äèôôåðåíöèàëüíîãî
è
èíòåãðàëüíîãî
èñ÷èñëåíèÿ,
òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé,
âàðèàöèîííîãî
èñ÷èñëåíèÿ
è
àíàëèòè÷åñêîé
ìåõàíèêè.
Çíà÷èòåëüíûå
ðåçóëüòàòû
áûëè
ïîëó÷åíû â
àëãåáðå è
òåîðèè
÷èñåë.
À. Ýéëåð, à
âñëåä çà íèì
è íåêîòîðûå äðóãèå
ó÷åíûå
âòîðîé
ïîëîâèíû XVIII
âåêà ïðîäåëàëè
áîëüøóþ
ðàáîòó ïî
ñèñòåìàòèçàöèè
ñîäåðæàíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
äèñöèïëèí, â
ïåðâóþ î÷åðåäü
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà, à
âìåñòå ñ íèì
àëãåáðû è
òðèãîíîìåòðèè.
Âìåñòå ñ
òåì, â
ðàññìàòðèâàåìûé
ïåðèîä ñïîñîáû
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
òåîðèé —
îñîáåííî
äèôôåðåíöèàëüíîãî
èñ÷èñëåíèÿ —
ðåçêî
îòñòàâàëè
îò áóðíî
ðàçâèâàþùåãîñÿ
ñîäåðæàíèÿ ìàòåìàòèêè.
Ýòî îòñòàâàíèå
ïðîÿâèëîñü â
ðàçëè÷íûõ,
ìåæäó ñîáîé
ñâÿçàííûõ
ôîðìàõ è
ïðèòîì
ñâîåîáðàçíî
â îòäåëüíûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
òåîðèÿõ.
Îáùåé
÷åðòîé
ïîïûòîê
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè
ñ êîíöà XVII è
ïëàíîìåðíî
äî ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè
XVIII âåêà áûëî
ñòðåìëåíèå
îáîñíîâàòü
êàæäóþ
ìàòåìàòè÷åñêóþ
òåîðèþ â
ïîëíîì
ñîîòâåòñòâèè
ñ èñòèíàìè
ýëåìåíòàðíîé,
íèçøåé” (ïî
òåðìèíîëîãèè
Ô. Ýíãåëüñà)
ìàòåìàòèêè,
ò. å. ýëåìåíòàðíîé
ìàòåìàòèêè,
êàêîé îíà
áûëà
ïðèìåðíî äî
îòêðûòèÿ
àíàëèòè÷åñêîé
ãåîìåòðèè.
Ýòî
ñòðåìëåíèå
ïðîÿâèëîñü â
äâóõ ôîðìàõ. Ñíà÷àëà
ìàòåìàòèêè
ïûòàëèñü
âîçäâèãíóòü
ðàçâèâàåìûå
èìè
ìàòåìàòè÷åñêèå
òåîðèè íà
ôóíäàìåíòå,
ïîñòðîåííîì
â ñâîå âðåìÿ
äëÿ îáîñíîâàíèÿ
íèçøåé”
ìàòåìàòèêè.
Ýòî õîðîøî
ïîêàçûâàþò
ãîñïîäñòâîâàâøèå
â òî âðåìÿ
ñïîñîáû
îáîñíîâàíèÿ
àëãåáðû è
ó÷åíèÿ î ÷èñëå.
Åñëè æå
òàêîå
ïîñòðîåíèå
ÿâíî íå
óäàâàëîñü
(÷òî áûëî îñîáåííî
ÿñíî â
îòíîøåíèè
äèôôåðåíöèàëüíîãî
èñ÷èñëåíèÿ
ñ ìîìåíòà
åãî
âîçíèêíîâåíèÿ),
òî
ñòàðàëèñü
îáîñíîâàòü
ìàòåìàòè÷åñêóþ
òåîðèþ íà
ïðèíöèïàõ, ñïåöèàëüíî
äëÿ íå¸
ðàçðàáîòàííûõ,
ñîäåðæàíèå
êîòîðûõ
ìîæíî
ìàêñèìàëüíî
ñîãëàñîâàòü,
ïðèìèðèòü”
(Ýíãåëüñ) ñ
èñòèíàìè
íèçøåé”
ìàòåìàòèêè.
针֌
ãîâîðÿ, â
îáîèõ
ñëó÷àÿõ
ïðèíöèïû è óòâåðæäåíèÿ
íèçøåé”
ìàòåìàòèêè ìåòàôèçè÷åñêè
àáñîëþòèçèðîâàëèñü,
ðàññìàòðèâàëèñü
êàê
íåçûáëåìûé ôóíäàìåíò
êàæäîé
ìàòåìàòè÷åñêîé
òåîðèè.
 êîíöå XVII è
îñîáåííî â
ïåðâûõ òðåõ
÷åòâåðòÿõ XVIII
âåêà îñíîâíûå
ïîíÿòèÿ è
çàêîíû,
óñòàíîâëåííûå
â îäíîé
ìàòåìàòè÷åñêîé
òåîðèè
÷àñòî ïåðåíîñèëèñü
â íîâûå
îáëàñòè
èññëåäîâàíèÿ,
ñîâåðøåííî
ôîðìàëüíî, ò.
å. áåç îáîñíîâàíèÿ.
Çàêîíû
àëãåáðû è
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà
ôîðìèðîâàëèñü
áåç
óêàçàíèÿ
ïåðåìåííûõ,
äëÿ êîòîðûõ
îíè
ñïðàâåäëèâû,
è áåç
óêàçàíèÿ
ãðàíèö èõ
ïðèìåíèìîñòè.
Òàêàÿ
òðàêòîâêà
çàêîíîâ
àëãåáðû è
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà,
åñòåñòâåííî,
ðàñïðîñòðàíÿëàñü
è íà îñíîâûâàþùèåñÿ
íà íèõ
àëãîðèòìû.
Ê
ñåðåäèíå XVIII
âåêà
îïèñàííàÿ
òðàêòîâêà
çàêîíîâ
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà è
àëãåáðû
ñòàëà íàñòîëüêî
îáùåïðèíÿòîé,
÷òî Ë. Ýéëåð
ñ÷åë âîçìîæíûì
èñòîëêîâàòü
å¸ êàê
îñíîâíîé
ïðèíöèï
ìåòîäîëîãèè
àíàëèçà
âîîáùå.
Ñëó÷èëîñü
ýòî ïðè ñëåäóþùèõ
îáñòîÿòåëüñòâàõ.
 íà÷àëå XVIII
âåêà ìåæäó
Ëåéáíèöåì è
È. Áåðíóëëè
âîçíèê ñïîð
î “ïðèðîäå”
ëîãàðèôìîâ
îòðèöàòåëüíûõ
÷èñåë.
È.Áåðíóëëè
ïîëàãàë, ÷òî
ïðè õ>0, ln(–x)=ln x, òàê
êàê .
Ëåéáíèö
íå
ñîãëàñèëñÿ
ñ È. Áåðíóëëè;
îí óòâåðæäàë,
÷òî
îòðèöàòåëüíîå
÷èñëî èìååò
áåñ÷èñëåííîå
ìíîæåñòâî
ëîãàðèôìîâ,
ïðè÷åì âñå
îíè — ÷èñëà
êîìïëåêñíûå.
Ñðåäè äðóãèõ
ñâîèõ
àðãóìåíòîâ
Ëåéáíèö
óêàçàë, ÷òî
ïðàâèëî
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
lnx,
óñòàíîâëåííîå
äëÿ õ>0,
íå
îáÿçàòåëüíî
äîëæíî áûòü
ñïðàâåäëèâûì
è äëÿ ln(–x).
Ïðè
ïîìîùè
îñîáîé
àðãóìåíòàöèè
Ë. Ýéëåð ðåøèë
ñïîð â ïîëüçó
Ëåéáíèöà.
Îäíàêî óêàçàííûé
àðãóìåíò
Ëåéáíèöà
Ýéëåð
ðåøèòåëüíî
îòêëîíèë.
Ýòî âîçðàæåíèå,—
óêàçûâàë
Ýéëåð,— åñëè
áû îíî áûëî
âåðíî, ïîêîëåáàëî
áû îñíîâíîå
ïîëîæåíèå
âñåãî
àíàëèçà,
çàêëþ÷àþùååñÿ,
â îñíîâíûõ
÷åðòàõ, â îáùíîñòè
ïðàâèë è îïåðàöèé,
ïðèçíàâàåìûõ
ñïðàâåäëèâûìè,
êàêîâà áû íè
áûëà ïðèðîäà
êîëè÷åñòâ, ê
êîòîðûì îíè
ïðèëàãàþòñÿ”.
Êàê ìû
âèäèì, ïîäõîä
ìàòåìàòèêîâ
â XVIII âåêå ê âûÿñíåíèþ
ãðàíèö
ïðèëîæèìîñòè
ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè
è òðàêòîâêà
å¸ ïðèíöèïîâ
áûëè ÿâíî
ìåòàôèçè÷åñêèìè.
 XVIII âåêå
äîêàçàòåëüñòâî
òåîðåì
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà
íåðåäêî
ïðîâîäèëè,
îïèðàÿñü íà ãîñïîäñòâîâàâøèå
òîãäà
ìåõàíè÷åñêèå
è ãåîìåòðè÷åñêèå
ïðåäñòàâëåíèÿ.
Íà÷àëî
øèðîêîìó
èñïîëüçîâàíèþ
ìåõàíè÷åñêèõ
ïðåäñòàâëåíèé
êàê áàçû
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà
ïîëîæèë Íüþòîí
â ñâîåì
ó÷åíèè î
ôëþåíòàõ è
ôëþêñèÿõ.
×òî æå
êàñàåòñÿ
óêàçàííîãî
èñïîëüçîâàíèÿ
ãåîìåòðè÷åñêèõ
ïðåäñòàâëåíèé,
òî ïðîùå
âñåãî âûÿñíèòü
ñóòü äåëà íà
ñëåäóþùåì
ïðèìåðå.
Â
íàøå âðåìÿ
òåîðåìà î
ïðîõîæäåíèè
íåïðåðûâíîé
ôóíêöèè
÷åðåç
íóëåâîå
çíà÷åíèå äîêàçûâàåòñÿ
â êëàññè÷åñêîì
ìàòåìàòè÷åñêîì
àíàëèçå ÷èñòî
àíàëèòè÷åñêè
ñ
èñïîëüçîâàíèåì
ïîíÿòèÿ
áåñêîíå÷íîãî
ìíîæåñòâà. Â
XVIII âåêå åñëè
ýòà òåîðåìà
è
äîêàçûâàëàñü,
òî ÷àùå âñåãî
óêàçàíèåì
íà òî, ÷òî
íåïðåðûâíàÿ
êðèâàÿ f(x),
ñîåäèíÿþùàÿ
òî÷êè À
è Â,
ðàñïîëîæåííûå
â ïëîñêîñòè
ïî ðàçíûå
ñòîðîíû îñè ÎÕ,
ñóùåñòâóåò
ïî ìåíüøåé
ìåðå îäíà òî÷êà
ñ àáñöèññîé õ=ñ, a<c<b, äëÿ
êîòîðîé f(ñ)=0 (ðèñ. 3).
Ðèñ. 3
Ïîäîáíîãî
ðîäà
ãåîìåòðèçàöèÿ
íåðåäêî âñòðå÷àëàñü
â
ðóêîâîäñòâàõ
ïî àëãåáðå è
àðèôìåòèêå.
Íàïðèìåð,
äîêàçàòåëüñòâî
çàêîíà
ïåðåìåñòèòåëüíîñòè
ab=ba,
ÿêîáû
âåðíîãî äëÿ
ëþáûõ ÷èñåë
è âåëè÷èí, îáû÷íî
ñâîäèëè íà
äâà ðàâíûõ,
íî ðàçëè÷íî
ðàñïîëîæåííûõ
ïðÿìîóãîëüíèêà
(ðèñ. 4).
Ðèñ. 4
Ýéëåð è
äðóãèå
ìàòåìàòèêè
XVIII âåêà
çàäàâàëè
ôóíêöèþ
îäíèì
àíàëèòè÷åñêèì
âûðàæåíèåì
è îò ýòîãî
àíàëèòè÷åñêîãî
âûðàæåíèÿ å¸
íå îòäåëÿëè.
Ïðè ýòîì, ïîä
àíàëèòè÷åñêèì
âûðàæåíèåì,
âîîáùå ãîâîðÿ,
ïîíèìàëîñü
âûðàæåíèå,
êîòîðîå
ìîæíî
ïîëó÷èòü, ñâÿçûâàÿ
ýëåìåíòàðíûå
ôóíêöèè
(àëãåáðàè÷åñêèå
è íåêîòîðûå
òðàíñöåíäåíòàëüíûå,
îäíîãî èëè
íåñêîëüêèõ
àðãóìåíòîâ)
ïîñðåäñòâîì
ñëîæåíèÿ,
âû÷èòàíèÿ,
óìíîæåíèÿ è
äåëåíèÿ,
âîçâåäåíèÿ â
ñòåïåíü è
èçâëå÷åíèÿ
êîðíÿ,
ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé è
èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ñ÷èòàëè, ÷òî
çàäàíèå
ôóíêöèè íà
ëþáîì
ïðîìåæóòêå
îïðåäåëÿåò
å¸ ïîâåäåíèå
íà âñåé îñè ÎÕ.
Ñîîòâåòñòâåííî
ôóíêöèÿ
ïðåäñòàâëÿëàñü
êðèâîé,
÷àñòè
êîòîðîé
çàâèñÿò
äðóã îò äðóãà
è êîòîðóþ
ìîæíî
çàäàòü
îäíèì
àíàëèòè÷åñêèì
âûðàæåíèåì
óêàçàííîãî
âèäà. Òàêèå
ôóíêöèè
ñ÷èòàëè íåïðåðûâíûìè
(â ñìûñëå
Ýéëåðà),
íàçûâàëèñü
ïðàâèëüíûìè.
Ïðåäñòàâëåííàÿ
íà ÷åðòåæå
(ðèñ. 5)
íåïðåðûâíàÿ
â ñîâðåìåííîì
ñìûñëå
ôóíêöèÿ ó=|õ| â
ñìûñëå
Ýéëåðà íå
áûëà
íåïðåðûâíîé.
Äåéñòâèòåëüíî,
åñëè
èñïîëüçîâàòü
çàïàñ ôóíêöèé,
ñ êàêèì
ðàáîòàëè â XVIII
âåêå, òî ýòà
ôóíêöèÿ
äîëæíà áûòü
çàäàíà
äâóìÿ
ôîðìóëàìè:
f(x)=x, 0£x;
f(x)=–x, x£0.
Ðèñ. 5
Âìåñòå ñ
äðóãèìè
ìàòåìàòèêàìè
XVIII âåêà Ýéëåð
ñ÷èòàë, ÷òî
òàêîå
òîëêîâàíèå
ôóíêöèè è å¸
íåïðåðûâíîñòè
äîñòàòî÷íû
äëÿ
èíòåãðàëüíîãî
è äèôôåðåíöèàëüíîãî
èñ÷èñëåíèÿ
è òåîðèè
îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé.
Íî âîïðåêè
èì îí
ïîëàãàë
âîçìîæíûì
ðàññìàòðèâàòü
â òåîðèè
óðàâíåíèé ñ
÷àñòíûìè
ïðîèçâîäíûìè
è ôóíêöèè,
çàäàíèå
êîòîðûõ íà
îòðåçêå íå îïðåäåëÿåò
èõ ïîâåäåíèÿ
â öåëîì, ò. å. â
åãî òåðìèíàõ
ïðîèçâîëüíûå
ôóíêöèè.
Ýéëåð
òðàêòîâàë
íåïðåðûâíîñòü
òàêèõ
ôóíêöèé â
ñîâðåìåííîì
ñìûñëå è
íàçûâàë èõ
ñâÿçíûìè. Ê
òàêîìó
ðàñøèðåíèþ
ïîíÿòèÿ
ôóíêöèè
Ýéëåð ïðèøåë
â ñâÿçè ñ
àíàëèçîì
ðåçóëüòàòîâ
èññëåäîâàíèé
(ñâîèõ è
äðóãèõ
ìàòåìàòèêîâ)
î
êîëåáëþùèõñÿ
ñòðóíàõ.
Ðàññìàòðèâàÿ
òîëüêî íåïðåðûâíîå
è
ìîíîòîííîå èçìåíåíèå
ïåðåìåííûõ —
â òî âðåìÿ
òàê
ïîñòóïàëè â
ìåõàíèêå è
ãåîìåòðèè,—
Íüþòîí,
Äàëàìáåð è
íåêîòîðûå
ìàòåìàòèêè
XVIII âåêà òîëêîâàëè
ïðåäåë òîëüêî
êàê òî, ÷òî
ïîðîæäàåòñÿ ïåðåìåííîé,
ôàêòè÷åñêè
êàê ïîñëåäíåå
çíà÷åíèå
ïåðåìåííîé
èëè êàê
ïîñëåäíåå îòíîøåíèå
ïåðåìåííûõ.
Âîïðîñ,
äîñòèãàåò
ëè
ïåðåìåííàÿ
ýòîãî
ñâîåãî ïîñëåäíåãî
çíà÷åíèÿ,
èëè ìîæåò
ïîäîéòè ê íåìó
êàê óãîäíî
áëèçêî,
íèêàêîé
ðîëè íå èãðàåò.
 ïðàêòèêå
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà
ïðåäåë
äåéñòâèòåëüíî
èçâëåêàëñÿ
èç
ïåðåìåííîé
êàê å¸ ïîñëåäíåå
çíà÷åíèå,
êîòîðîå îíà
ïðèíèìàåò
èëè ìîæåò
ïðèíÿòü. Â
êîíöå XVIII âåêà
Ëàçàð Êàðíî
íàçûâàåò
ïðåäåëîì ïîñëåäíåå
çíà÷åíèå
ïåðåìåííîé,
êîòîðàÿ ê íåìó
ïðèáëèæàåòñÿ. Äàæå â
40-õ ãîäàõ
ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ
Â.Â.Áóíèêîâñêèé
ñ÷èòàë
çàäà÷åé
äèôôåðåíöèàëüíîãî
èñ÷èñëåíèÿ
óëîâèòü
îòíîøåíèÿ
èçìåíÿþùèõñÿ
ïî
èçâåñòíîìó
çàêîíó
âåëè÷èí â òî ñàìîå
ìãíîâåíèå, êîãäà
ýòè
âåëè÷èíû
èñ÷åçàþò”, ò.
å. óëîâèòü
ïîñëåäíåå
çíà÷åíèå
îòíîøåíèÿ
ïåðåìåííûõ.
Êàê ìû óâèäèì
ýòà óçêàÿ (íî
âûäàâàåìàÿ
çà âñåîáùóþ)
òðàêòîâêà
ïîíÿòèÿ
ïðåäåëà
ñûãðàëà
îñîáî âàæíóþ
ðîëü â ðàçâåðòûâàíèè
òðóäíîñòåé
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà â XVIII è
íà÷àëå XIX
âåêà.
Ìàòåìàòèêè
XVII–XVIII âåêîâ
ïîëàãàëè
òàêæå, ÷òî ëþáàÿ
íåïðåðûâíàÿ
ôóíêöèÿ f(x) â êàæäîé
òî÷êå, çà
èñêëþ÷åíèåì,
áûòü ìîæåò,
èõ
êîíå÷íîãî
÷èñëà èìååò
ïðîèçâîäíóþ f`(x). Äëÿ
äîêàçàòåëüñòâà
ýòîãî
çàêëþ÷åíèÿ
÷àñòî ïîëàãàëè
âîçìîæíûì
ïðåäñòàâèòü
íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ
êðèâîé,
êîòîðàÿ,
âîîáùå
ãîâîðÿ, â êàæäîé
òî÷êå èìååò
êàñàòåëüíóþ.
 ïåðâîé
ïîëîâèíå XVIII
âåêà
ïîíÿòèå
÷èñëà îïðåäåëÿëîñü
÷àùå âñåãî
ïî Åâêëèäó:
÷èñëî åñòü
ñîâîêóïíîñòü
åäèíèö. Âî
âòîðîé
ïîëîâèíå XVIII
âåêà ÷èñëî
èñòîëêîâûâàåòñÿ
ïðåèìóùåñòâåííî
êàê
ðåçóëüòàò
èçìåðåíèÿ
îäíîé âåëè÷èíû
äðóãîé âåëè÷èíîé
òîãî æå ðîäà,
ïðèíÿòîé çà
åäèíèöó. Íî
äàæå
ïîñëåäíåå,
çíà÷èòåëüíî
áîëåå øèðîêîå,
èñòîëêîâàíèå
ïîíÿòèÿ
÷èñëà íå
îõâàòûâàëî
âñå â òî
âðåìÿ
èçâåñòíûå
âèäû ÷èñåë.
Äîñòàòî÷íî
âñïîìíèòü,
÷òî â XVII–XVIII
âåêàõ
ìàòåìàòèêè çíàëè
è ñ óñïåõîì
èñïîëüçîâàëè
ïîíÿòèå
êîìïëåêñíîãî
÷èñëà.
Ïîýòîìó,
íàðÿäó ñ
ïîíÿòèåì
÷èñëà, ïðèáåãàëè
ê ïðèáåãàëè
ê ïîíÿòèÿì î
ïîëîæèòåëüíûõ
è
îòðèöàòåëüíûõ
âåëè÷èíàõ, î
ìíèìûõ âåëè÷èíàõ,
î âåëè÷èíàõ
ðåàëüíûõ è
ëîæíûõ è ò. ï.
Àëãåáðà
òðàêòîâàëàñü
êàê íàóêà,
èçó÷àþùàÿ
òîëüêî
îáùèå
ñâîéñòâà
îáû÷íûõ
àðèôìåòè÷åñêèõ
è
ãåîìåòðè÷åñêèõ
âåëè÷èí.
Ïîëàãàëè,
÷òî êàæäàÿ
ãåîìåòðè÷åñêàÿ
òåîðèÿ —
òðèãîíîìåòðèÿ,
àíàëèòè÷åñêàÿ
ãåîìåòðèÿ è
ò. ï. — ÿâëÿåòñÿ
òîëüêî
íàäñòðîéêîé
íàä ãåîìåòðèåé
Åâêëèäà è
ïîýòîìó
äîëæíà ñòðîèòüñÿ
íà
ôóíäàìåíòå
ïîñëåäíåé.
Êîãäà
îïèñàííûå
âûøå
èñòîëêîâàíèÿ
îñíîâíûõ
ïîíÿòèé,
ïðèíöèïîâ è
ìåòîäîâ
ìàòåìàòèêè
ïîëó÷èëè
äîñòàòî÷íî
øèðîêîå
ðàñïðîñòðàíåíèå,
â ìàòåìàòè÷åñêèõ
òåîðèÿõ
íà÷àëè îáíàðóæèâàòüñÿ
ïàðàäîêñû; â
íåêîòîðûõ
ñëó÷àÿõ
äàæå
ïðèõîäèëè ê
ëîæíûì
çàêëþ÷åíèÿì,
êîòîðûå,
îäíàêî,
ñ÷èòàëè
èñòèííûìè.
Ïàðàäîêñû
(è ëîæíûå
çàêëþ÷åíèÿ)
îáíàðóæèëèñü
âïåðâûå â XVI–XVII
âåêàõ â
ó÷åíèè î
÷èñëå. Îíè
ñîõðàíèëè
ñâîþ ñèëó è â
XVIII âåêå.
Îñíîâîé èõ
áûëî òî, ÷òî
ïî÷òè äî êîíöà
XVIII âåêà
áîëüøèíñòâî
ìàòåìàòèêîâ
ïûòàëèñü
ïîñòðîèòü
ó÷åíèå î
÷èñëå (âïëîòü
äî àðèôìåòèêè
êîìïëåêñíûõ
÷èñåë!) íà
ôóíäàìåíòå,
â ñâîå âðåìÿ
ðàçðàáîòàííîì
äëÿ àðèôìåòèêè
êîëè÷åñòâåííûõ
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë. Îáû÷íûå,
âåðíûå äëÿ
êîëè÷åñòâåííûõ
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë,
îïðåäåëåíèÿ
àðèôìåòè÷åñêèõ
äåéñòâèé è
âñå ïÿòü
çàêîíîâ
ñ÷åòà
çàðàíåå ïðè ýòîì
ñ÷èòàëèñü
ñïðàâåäëèâûìè
â êàæäîé
îáëàñòè
÷èñåë.  ñâÿçè
ñ ýòèì
íàõîäÿòñÿ
õàðàêòåðíûå
äëÿ âòîðîé
ïîëîâèíû XVII è XVIII
âåêà “äîêàçàòåëüñòâà”
ïðàâèëà
çíàêîâ (–a)(–b)=+ab; ñîìíåíèÿ
â
èñòèííîñòè
ïðîïîðöèè +1: –1= –1: +1
(“êàê áîëüøåå,
äåëåííîå íà
ìåíüøåå,
ìîæåò áûòü
ðàâíî
ìåíüøåìó,
äåëåííîìó
íà áîëüøåå?”);
îòðèöàíèå
îáúåêòèâíîñòè
ïîíÿòèÿ
êîìïëåêñíîãî
÷èñëà è ò. ï.
Îäíàêî, äî
íà÷àëà XIX
âåêà
òðóäíîñòè
îáîñíîâàíèÿ
ó÷åíèÿ î ÷èñëå
íå ìåøàëè
óñïåøíîìó
èñïîëüçîâàíèþ
ïîíÿòèÿ
÷èñëà â
ìàòåìàòèêå,
òî÷íûõ íàóêàõ
è òåõíèêå.
Ýòî èìåëî
îñíîâàíèåì
òî, ÷òî â
ëþáîé
îáëàñòè
÷èñåë, îò
íàòóðàëüíûõ
äî êîìïëåêñíûõ,
âñå ïÿòü
çàêîíîâ
ñ÷åòà
âûïîëíÿþòñÿ. Êðîìå
òîãî, â ýòîò
ïåðèîä â
ìàòåìàòèêå
âåäóùåå
ïîëîæåíèå
ïðèíàäëåæàëî
ìàòåìàòè÷åñêîìó
àíàëèçó.
Ïîýòîìó
âîïðîñû îáîñíîâàíèÿ
ó÷åíèÿ î
÷èñëå õîòÿ è
îáñóæäàëèñü
àêòèâíî, íî â
äåëå
ðàçðàáîòêè
îñíîâ ìàòåìàòèêè
èãðàëè
âòîðîñòåïåííóþ
ðîëü.
Ó÷åíûå è
ôèëîñîôû
îáðàòèëè
ñåðüåçíîå
âíèìàíèå íà
òðóäíîñòè
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè
ëèøü òîãäà,
êîãäà Ëåéáíèö
è Íüþòîí
ðàçâèëè
äèôôåðåíöèàëüíîå
è
èíòåãðàëüíîå
èñ÷èñëåíèå.
Ëåéáíèö è
åãî
ïîñëåäîâàòåëè
áðàòüÿ Áåðíóëëè, Ëîïèíòàëü
è äðóãèå —
òðàêòîâàëè
äèôôåðåíöèàëû
êàê
áåñêîíå÷íî
ìàëûå
ðàçíîñòè îáû÷íûõ
êîíå÷íûõ
âåëè÷èí,
êàê òîãäà
ãîâîðèëè —
ðåàëüíûõ”
âåëè÷èí. Ïîýòîìó
îíè
îáðàùàëèñü
ñ òåìè è
äðóãèìè îäèíàêîâî
è â
èñ÷èñëåíèè
ïðèìåíÿëè ê
ïåðâûì òå æå
ïðèåìû,
êîòîðûå
ñïðàâåäëèâû
ïðè äåéñòâèÿõ
ñî âòîðûìè.
Âìåñòå ñ òåì
âûÿñíèëîñü,
÷òî òàêèì
îáðàçîì
òðàêòóåìûì áåñêîíå÷íî
ìàëûì
ïðèñóùå
ñâîéñòâî,
ïðîòèâîðå÷àùåå
îäíîìó îñíîâíîìó
ñâîéñòâó
îñíîâíûõ
êîíå÷íûõ
âåëè÷èí:
åñëè À
êîíå÷íàÿ
âåëè÷èíà, à a
áåñêîíå÷íî
ìàëàÿ, òî,
÷òîáû
ðåçóëüòàò
èñ÷èñëåíèÿ
ïîëó÷àëñÿ
ñîâåðøåííî
òî÷íûì, îêàçàëîñü
íåîáõîäèìûì
ïðîâîäèòü
âû÷èñëåíèÿ
â
ïðåäïîëîæåíèè,
÷òî À+a=À.
Äèôôåðåíöèàëüíîå
èñ÷èñëåíèå,
çíà÷åíèå êîòîðîãî
äëÿ ðàçâèòèÿ
íàóêè è
òåõíèêè áûëî
âíå
ñîìíåíèé,
îêàçàëîñü â
ïàðàäîêñàëüíîì
ïîëîæåíèè:
÷òîáû åãî
ìåòîäàìè
ïîëó÷èòü òî÷íûé
ðåçóëüòàò,
íàäî áûëî
èñõîäèòü èç îøèáî÷íîãî
óòâåðæäåíèÿ.
Íüþòîí
ïûòàëñÿ
îáîñíîâàòü
äèôôåðåíöèàëüíîå
èñ÷èñëåíèå
íà çàêîíàõ
ìåõàíèêè è
ïîíÿòèè
ïðåäåëà. Íî
åìó íå óäàëîñü
îñâîáîäèòü
ñâîå
èñ÷èñëåíèå
ôëþêñèé îò
íåäîñòàòêîâ,
ïðèñóùèõ
äèôôåðåíöèàëüíîìó
èñ÷èñëåíèþ
Ëåéáíèöà. Â
ïðàêòèêå
âû÷èñëåíèÿ
Íüþòîí, êàê è
Ëåéáíèö,
ïðèìåíÿë
ïðèíöèï îòáðàñûâàíèÿ
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ.
Ê. Ìàðêñ
íàçûâàë
äèôôåðåíöèàëüíîå
èñ÷èñëåíèå
Ëåéáíèöà–Íüþòîíà
ìèñòè÷åñêèì.
Ýòèì îí
õîòåë â
ïåðâóþ
î÷åðåäü
ïîä÷åðêíóòü,
÷òî Ëåéáíèö
è Íüþòîí
ââîäèëè â
äèôôåðåíöèàëüíîå
èñ÷èñëåíèå
áåñêîíå÷íî
ìàëûå
ìåòàôèçè÷åñêè,
ñðàçó ïîëàãàÿ
èõ
ñóùåñòâóþùèìè,
áåç
âûÿñíåíèÿ
èõ âîçíèêíîâåíèÿ
è ðàçâèòèÿ è
áåç àíàëèçà
ïðèðîäû èõ
ñïåöèôè÷åñêèõ
ñâîéñòâ.
Ïàðàäîêñû
âîçíèêëè è â
òåîðèè ðÿäîâ.
Íàïðèìåð, â XVIII
âåêå
ïîëàãàëè,
÷òî “ñóììà
ðÿäà”
ðàâíà
0, òàê êàê
à
.
Ìíîãî
ñïîðîâ
âûçâàë
âîïðîñ î
ñóììå” ðÿäà
1–1+1–1…
ïîñêîëüêó,
êàê
ãîâîðèëè, “ñ
îäíîé
ñòîðîíû,
(1–1)+(1–1)…=0,
à ñ
äðóãîé —
1–(1–1)-(1–1)…=1”.
Ïîïûòêè
ïîñòðîèòü
àíàëèç
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ è
òåîðèþ ðÿäîâ
â ïîëíîì
ñîîòâåòñòâèè
ñ îñíîâíûìè
ïîíÿòèÿìè è
èñòèíàìè
íèçøåé”
ìàòåìàòèêè
ñ ñàìîãî
íà÷àëà ê
óñïåøíûì ðåçóëüòàòàì
íå ïðèâåëè.
Ïîýòîìó
Ëåéáíèö è åãî
ïîñëåäîâàòåëè
ïûòàëèñü
îïðàâäàòü
ïðèíöèïû
àíàëèçà
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ è
òåîðèþ ðÿäîâ
òàêæå ïóòåì
ñðàâíåíèÿ
áåñêîíå÷íî
ìàëîé ñ ïåñ÷èíêîé,
êîòîðîé
ìîæíî
ïðåíåáðå÷ü
ïðè âû÷èñëåíèè
âûñîòû ãîðû,
ïîñðåäñòâîì
ññûëîê íà
âåðîÿòíîñòü
è ò. ï.
 XVII–XVIII âåêàõ
ïîëó÷èë
ðàçâèòèå è
äðóãîé ïîäõîä
ê
ñîãëàñîâàíèþ”
íîâûõ èñòèí
ìàòåìàòèêè
ñ “âå÷íûìè”
èñòèíàìè
íèçøåé”
ìàòåìàòèêè.
Êîãäà
ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé
òåîðèè ðåçêî
îòëè÷àëèñü
îò
ðàññìàòðèâàåìûõ
â
íèçøåé” ìàòåìàòèêå,
îíè
îáúÿâëÿëèñü
âîîáðàæàåìûìè”
è
ðàññìàòðèâàëèñü
êàê âñïîìîãàòåëüíûå
ôóíêöèè,
íåîáõîäèìûå
äëÿ
èçó÷åíèÿ
ñâîéñòâ
îáû÷íûõ
êîíå÷íûõ
âåëè÷èí.
Êðóïíåéøèå
ìàòåìàòèêè
XVIII âåêà
íåîäíîêðàòíî
ïûòàëèñü
äîêàçàòü,
÷òî ïîíÿòèå
êîìïëåêñíîãî
÷èñëà íå
äîïóñêàåò
íèêàêîãî ðåàëüíîãî
èñòîëêîâàíèÿ.
Òàêèå æå
ïîïûòêè
ïðèíèìàëèñü
è â îòíîøåíèè
ïîíÿòèÿ
áåñêîíå÷íî
ìàëîé âåëè÷èíû.
Íî è íà ýòîì
ïóòè
óñòàíîâèòü
åäèíñòâî
ìíåíèé íå
óäàëîñü. Â ýòî
âðåìÿ, êàæäàÿ
çàäà÷à, îòíîñÿùàÿñÿ
ê âåëè÷èíàì,
èçó÷àåìûì â
ìåõàíèêå,
àñòðîíîìèè,
òåõíèêå è ò.
ï., åñëè è äîïóñêàëî
ðåøåíèå, òî
îáû÷íî
ïîñëåäíåå
âûðàæàëîñü
ïðè ïîìîùè
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë
(äåéñòâèòåëüíûõ
êîðíåé);
êîìïëåêñíûå
÷èñëà
(êîìïëåêñíûå
êîðíè)
óêàçûâàëè
íà íåâîçìîæíîñòü
å¸ ðåøåíèÿ. Â
êîíöå XVII è â XVIII
âåêå òîëüêî
íåñêîëüêî
ìàòåìàòèêîâ
Âàëëèñ, Êþí, â
êîíöå æèçíè
Ýéëåð —
ñ÷èòàëè
ïîíÿòèå
êîìïëåêñíîãî
÷èñëà
äîïóñêàþùèì
ðåàëüíîå èñòîëêîâàíèå.
 êîíöå XVIII âåêà
Âåññåëü ðàçðàáîòàë
ïîëíîå
ãåîìåòðè÷åñêîå
èñòîëêîâàíèå
àðèôìåòèêè
êîìïëåêñíûõ
÷èñåë. Ïî
îñíîâíûì
ñâîéñòâîì,
âàæíûì äëÿ
àëãîðèòìîâ
àëãåáðû è àíàëèçà,
êîìïëåêñíûå
÷èñëà íå îòëè÷àþòñÿ
îò ÷èñåë
äåéñòâèòåëüíûõ.
Ïðåäñòàâëÿëàñü
âîçìîæíîñòü
îáúÿâèòü
êîìïëåêñíûå
÷èñëà “âîîáðàæàåìûìè”
è, îáîéäÿ
âîïðîñû
îáîñíîâàíèÿ
èõ
àðèôìåòèêè,
îñòàâèòü èõ
â ìàòåìàòèêå
â êà÷åñòâå
ïîëåçíûõ
âñïîìîãàòåëüíûõ
ôóíêöèé”. Íàïðîòèâ,
òðàêòîâêà
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ êàê “ïîëåçíûõ
ôóíêöèé”
øèðîêîãî
ðàñïðîñòðàíåíèÿ
íå ïîëó÷èëà:
ìàòåìàòèêè
çíàëè ìåõàíè÷åñêîå
è ãåîìåòðè÷åñêîå
èñòîëêîâàíèå
dx è dy.
2. Ðàçðàáîòêà ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè â ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII
è ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà
Ïðèìåðíî
ñ ïîñëåäíåé
÷åòâåðòè XVIII
âåêà îáëàñòü
ïðèëîæåíèé
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà íà÷èíàåò
çíà÷èòåëüíî
ïåðåêðûâàòü
ãðàíèöû åãî
îáû÷íîãî
ïðèëîæåíèÿ â
ìåõàíèêå è
ãåîìåòðèè.
Åù¸ áûñòðåå
ðàçâåðòûâàåòñÿ
ýòîò ïðîöåññ
â ïåðâîé
÷åòâåðòè XIX
âåêà.
Ìàòåìàòèêè
ïûòàëèñü
ñíà÷àëà
ðåøàòü íîâûå
çàäà÷è ìåòîäàìè,
ðàçðàáîòàííûìè
êëàññèêàìè
XVIII âåêà — Ýéëåðîì,
Äàëàìáåðîì,
Ëàãðàíæåì è äðóãèìè.
Îäíàêî,
âñêîðå
âûÿñíèëîñü,
÷òî ìåòîäû
êëàññèêîâ
íåäîñòàòî÷íû,
÷òî íàäî ðàçâèâàòü
íîâûå, áîëåå
îáùèå è
ñèëüíûå
ìåòîäû.
Âûÿñíèëîñü
òàêæå, ÷òî
íåäîñòàòî÷íîñòü
ìåòîäîâ êëàññèêîâ
íåðåäêî
ñâÿçàíà ñ
óçîñòüþ òðàêòîâêè
îñíîâíûõ
ïîíÿòèé, ñ
èçãîíÿåìûì”
ïîíÿòèåì î
áåñêîíå÷íî
ìàëîì, ñ
èñêëþ÷åíèÿìè”,
êîòîðûå
ðàíüøå îñòàâàëèñü
â òåíè.
Ïîÿñíèì
ñêàçàííîå
îäíèì
ïðèìåðîì.
Íüþòîí è
Ëåéáíèö
ðàçðàáîòàëè
äâå òðàêòîâêè
ïîíÿòèÿ
îáû÷íîãî
îïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà.
Íüþòîí
òðàêòîâàë
îïðåäåëåííûé
èíòåãðàë êàê
ðàçíîñòü
ñîîòâåòñòâóþùèõ
çíà÷åíèé
ïåðâîîáðàçíîé
ôóíêöèè:
,
ãäå F`(x)=f(x).
Äëÿ
Ëåéáíèöà
îïðåäåëåííûé
èíòåãðàë
áûë ñóììîé
âñåõ
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ
äèôôåðåíöèàëîâ.
.
Ïåðâàÿ
òðàêòîâêà
îòâå÷àëà
òåõíèêå
âû÷èñëåíèÿ
îïðåäåëåííûõ
èíòåãðàëîâ
ïðè ïîìîùè
ïåðâîîáðàçíîé
ïåðâîîáðàçíîé
ïîäûíòåãðàëüíîé
ôóíêöèè, âòîðàÿ
ïîòîìó, ÷òî â
ïðèëîæåíèÿõ
îïðåäåëåííûé
èíòåãðàë
ïîÿâëÿëñÿ
êàê ïðåäåë
èçâåñòíîãî
âèäà ñóììû
(èíòåãðàëüíîé
ñóììû).
Ïðèìåðíî
äî ïîñëåäíåé
÷åòâåðòè XVIII
âåêà ïåðâàÿ
òðàêòîâêà
ïîíÿòèÿ
îïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà
çàíèìàëà
ãîñïîäñòâóþùåå
ïîëîæåíèå.
Ýòîìó
ñïîñîáñòâîâàëè
äâà
îáñòîÿòåëüñòâà.
1.
Ê íà÷àëó XVIII
âåêà áûëè
óñòàíîâëåíû
ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
âñåõ
ýëåìåíòàðíûõ
ôóíêöèé è
íà÷àëàñü
óñïåøíàÿ
ðàçðàáîòêà
ìåòîäîâ
íàõîæäåíèÿ
èõ ïåðâîîáðàçíûõ
(ðàöèîíàëüíûõ,
îòäåëüíûõ
êëàññîâ
èððàöèîíàëüíûõ
è òðàíñöåíäåíòíûõ
ôóíêöèé).
Áëàãîäàðÿ
ýòîìó òî÷êà
çðåíèÿ
íüþòîíà
âïîëíå
îòâå÷àëà
ðàçâèòèþ
ýôôåêòèâíûõ
àëãîðèòìîâ
èíòåãðàëüíîãî
èñ÷èñëåíèÿ.
2.
Íåïîñðåäñòâåííîå
âû÷èñëåíèå êàê ïðåäåëà
èíòåãðàëüíîé
ñóììû
ñòîëêíóëîñü
ñ ìíîãèìè
òðóäíîñòÿìè.
Åñòåñòâåííî,
÷òî ýòî
îáñòîÿòåëüñòâî
óêðåïëåíèþ
òî÷êè
çðåíèÿ
Ëåéáíèöà íå
ñïîñîáñòâîâàëî.
Ëåéáíèöåâî
èñòîëêîâàíèå
îáû÷íîãî
îïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà
ñóùåñòâåííî
îïèðàëîñü íà
ïîíÿòèå î
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ, îò
êîòîðîãî
ìàòåìàòèêè
XVIII âåêà õîòåëè
îñâîáîäèòü
ìàòåìàòè÷åñêèé
àíàëèç. Ýòî
òàêæå
ñïîñîáñòâîâàëî
óêðåïëåíèþ
òî÷êè
çðåíèÿ
Íüþòîíà. Ôàêò
ýòîò õîðîøî
ïîäòâåðæäàëñÿ
òåì, êàê
Ýéëåð
èñïîëüçîâàë
ïîíÿòèå îá
èíòåãðàëüíîé
ñóììå. Ýéëåð
íå âîçðàæàë
ïðîòèâ ïðèáëèæåííîãî
âû÷èñëåíèÿ
îïðåäåëåííûõ
èíòåãðàëîâ
ïðè ïîìîùè
ñîîòâåòñòâóþùèõ
èíòåãðàëüíûõ
ñóìì. Íî
ðàññìàòðèâàòü
îïðåäåëåííûé
èíòåãðàë
êàê ïðåäåë
èíòåãðàëüíîé
ñóììû îí íå
ìîã. Â ýòîì
ñëó÷àå âñå
ñëàãàåìûå
èíòåãðàëüíîé
ñóììû
ñòàíîâèëèñü
áåñêîíå÷íî
ìàëûìè, ò. å., ñ
òî÷êè
çðåíèÿ
Ýéëåðà, áûëè
íóëÿìè.
Êîíå÷íî,
è äî
ïîñëåäíåé
÷åòâåðòè XVIII
âåêà êîíöåïöèÿ
Íüþòîíà
ñòàëêèâàëàñü
ñ òðóäíîñòÿìè.
 ýòîò ïåðèîä
âñòðå÷àëèñü
ýëåìåíòàðíûå
ôóíêöèè,
ïåðâîîáðàçíûå
êîòîðûõ íå
ìîãóò áûòü
âûðàæåíû
÷åðåç ýëåìåíòàðíûå
ôóíêöèè.
Çíàëè ìàòåìàòèêè
è íåêîòîðûå
íåñîáñòâåííûå
èíòåãðàëû, â
òîì ÷èñëå è
ðàñõîäÿùèåñÿ.
Íî òàêîãî
ðîäà ôàêòû
áûëè åäèíè÷íûìè
è óñòàíîâèâøåéñÿ
ýôôåêòèâíîé
êîíöåïöèè
èíòåãðàëà
íàðóøèòü íå
ìîãëè. Èíûì
îêàçàëîñü ïîëîæåíèå
â ïîñëåäíåé
÷åòâåðòè XVIII è
îñîáåííî â
íà÷àëå XIX âåêà.
Ñ 70-õ ãîäîâ
XVIII âåêà
ðåøåíèå
çàäà÷
àíàëèòè÷åñêîé
ìåõàíèêè,
ôèçèêè è
äðóãèõ
äèñöèïëèí
ïîòðåáîâàëî
çíà÷èòåëüíîå
ðàçâèòèå
ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà.
Îñîáîå
çíà÷åíèå
ïðèîáðåòàþò
äâîéíûå è
òðîéíûå
èíòåãðàëû
(Ýéëåð,
Ëàãðàíæ,
Ëàïëàñ è äð.).
Ðàçðàáîòêà
ïðèåìîâ
âû÷èñëåíèÿ
äâîéíûõ è
òðîéíûõ èíòåãðàëîâ
ïîêàçàëà,
÷òî
âû÷èñëÿòü
ýòè èíòåãðàëû
òàê, êàê âû÷èñëÿëè
îáû÷íûé
îïðåäåëåííûé
èíòåãðàë — ïðè
ïîìîùè íåîïðåäåëåííîãî,
î÷åíü òðóäíî
èëè äàæå
íåâîçìîæíî.
Ïîýòîìó
ìàòåìàòèêè
âûíóæäåíû áûëè
ñîõðàíÿòü
êîíöåïöèþ
Íüþòîíà
òîëüêî íà
ñëîâàõ, à íà
äåëå, ïðè ðåøåíèè
çàäà÷
òî÷íûõ íàóê,
ñòàëè íà
ïóòü Ëåéáíèöà.
Îíè
âû÷èñëÿëè
ñîîòâåòñòâóþùèå
èíòåãðàëüíûå
ñóììû (â
ïðÿìîóãîëüíûõ,
öèëèíäðè÷åñêèõ
è ñôåðè÷åñêèõ
êîîðäèíàòàõ)
è íàõîäèëè
èõ ïðåäåëû.
Êîðî÷å
ãîâîðÿ,
ðàçðàáîòêà
ñïîñîáîâ
âû÷èñëåíèÿ
íîâûõ âèäîâ
îïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà
ïîêàçàëà,
÷òî
îáûêíîâåííûé,
äâîéíîé è ò. ä.
îïðåäåëåííûé
èíòåãðàëû äîëæíû
áûòü îáîñíîâàíû
ñàìè ïî ñåáå
íåçàâèñèìî
îò ïîíÿòèÿ íåîïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà.
Íî êàæäîå
ñëàãàåìîå
ëþáîé
èíòåãðàëüíîé
ñóììû
ÿâëÿåòñÿ
áåñêîíå÷íî
ìàëîé
âåëè÷èíîé.
Òåì ñàìûì íå
òîëüêî
ñòàâèëñÿ
âîïðîñ î
ëåãàëèçàöèè
ðàíåå
èçãîíÿåìîãî”
ïîíÿòèÿ
áåñêîíå÷íî
ìàëîãî, íî è î
ðàñêðûòèè
åãî
ðåàëüíîãî ñîäåðæàíèÿ
è î
ñîîòâåòñòâóþùåì
åãî
èñïîëüçîâàíèè.
Êàê óæå óêàçûâàëîñü,
÷òîáû âñ¸
ýòî ñäåëàòü
íàäî áûëî
ïðåîäîëåòü —
îáîáùèòü,
ðàçâèòü
òðàäèöèîííîå
(ýéëåðîâî) òîëêîâàíèå
ôóíêöèè è
ïîíÿòèÿ
ïðåäåëà.
Èçó÷åíèå
ôóíêöèé
ïîêàçàëî,
÷òî ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ
ôóíêöèþ, è
ôóíêöèÿ, åþ
ïðåäñòàâëÿåìàÿ
ýòî íå îäíî è
òî æå.
Ôîðìóëà
ÿâëÿåòñÿ
îðóäèåì
îäíîãî èç
ñïîñîáîâ
(àíàëèòè÷åñêîãî)
ïðåäñòàâëåíèÿ
ôóíêöèè.
Íàïðèìåð,
ôóíêöèÿ f(x)=|x| ìîæåò
áûòü çàäàíà
íà
ïðîìåæóòêå (–p; +p)
äâóìÿ ôîðìóëàìè:
ó=õ, ó=–õ;
âìåñòå ñ òåì
îíà ìîæåò
áûòü çàäàíà
è îäíèì
àíàëèòè÷åñêèì
âûðàæåíèåì,
à èìåííî —
ñõîäÿùèìñÿ
ê íåé
òðèãîíîìåòðè÷åñêèì
ðÿäîì.
 ïîëüçó
ýòîãî
çàêëþ÷åíèÿ
ãîâîðèëè è
èíûå
ñîîáðàæåíèÿ.
Íîâåéøèå
èññëåäîâàíèÿ
ïîêàçàëè,—
Ïèñàë Ðèìàí,—
÷òî ñóùåñòâóþò
òàêèå
àíàëèòè÷åñêèå
âûðàæåíèÿ
(òðèãîíîìåòðè÷åñêèå
ðÿäû), ñ
ïîìîùüþ
êîòîðûõ
ìîæíî â
çàäàííîì
ïðîìåæóòêå
ïðåäñòàâèòü
ëþáóþ
íåïðåðûâíóþ
ôóíêöèþ.
Òàêèì
îáðàçîì, íå
ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì,
áóäåò ëè
çàâèñèìîñòü
âåëè÷èíû w îò
âåëè÷èíû z
çàäàíà
ïðîèçâîëüíî
èëè ñ
ïîìîùüþ
ìàòåìàòè÷åñêîé
ôîðìóëû.”
Ïî-íîâîìó
áûë
ïîñòàâëåí
âîïðîñ î
íåïðåðûâíîñòè
è òî÷êàõ
ðàçðûâà
ôóíêöèè.
Ýéëåðîâî
ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè
áûëî
îñòàâëåíî,
êàê íå
îòâå÷àþùåå îáùåìó
ïîíÿòèþ
ôóíêöèè.
Áîëüöàíî,
Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé,
à âñëåä çà
íèìè è
äðóãèå ìàòåìàòèêè
âûäâèãàþò
íà ïåðâîå
ìåñòî îïðåäåëåíèå
íåïðåðûâíîñòè
ôóíêöèè “íà
ÿçûêå e
è d”.
Ñîãëàñíî
ïðàâèëüíîìó
îáúÿñíåíèþ,—
óêàçûâàë
Áîëüöàíî,—
ïîíèìàþò
ïîä
âûðàæåíèåì,
÷òî ôóíêöèÿ f(x)
èçìåíÿåòñÿ
ïî çàêîíó
íåïðåðûâíîñòè
äëÿ âñåõ
çíà÷åíèé õ,
êîòîðûå
ëåæàò
âíóòðè èëè
âíå
èçâåñòíûõ ãðàíèö;
ëèøü òî, ÷òî,
åñëè õ
êàêîå-íèáóäü
èç ýòèõ
çíà÷åíèé,
òîãäà ðàçíîñòü
f(x+w)–f(x)
ìîæåò áûòü
ñäåëàíà
ìåíüøå, ÷åì
ëþáàÿ
çàäàííàÿ
âåëè÷èíà,
åñëè ìîæíî
ïðèíÿòü w ñòîëü
ìàëûì,
ñêîëüêî ìû
õîòèì”.
Êîøè
ïèñàë: f(x)
íåïðåðûâíà
äëÿ
çàäàííîãî
çíà÷åíèÿ õ,
êîãäà
áåñêîíå÷íî
ìàëîå
ïðèðàùåíèå
ïåðåìåííîé
ïðîèçâîäèò
áåñêîíå÷íî
ìàëûå ïðèðàùåíèÿ
ñàìîé
ôóíêöèè”.
Ñíà÷àëà
òî÷êè
ðàçðûâà
ôóíêöèè
îïðåäåëÿëèñü
÷èñòî îòðèöàòåëüíî.
Êîøè ïèñàë:
Êîãäà f(x)
ïåðåñòàåò
áûòü
íåïðåðûâíî â
ñîïðåäåëüíîñòè
÷àñòíîãî
çíà÷åíèÿ
ïåðåìåííîé õ, òî
ãîâîðÿò, ÷òî
îíà
äåëàåòñÿ ïðåðûâíîþ
è ÷òî äëÿ
ýòîãî
÷àñòíîãî
çíà÷åíèÿ
ïðîèñõîäèò ðàçðûâ
íåïðåðûâíîñòè”.
Âî âòîðîé
÷åòâåðòè XIX
âåêà òî÷êè
ðàçðûâà ôóíêöèè
f(x)
èçó÷àëè
Ïóàññîí,
Ëèáðè è äð. Â
ñâîèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ
ìåìóàðàõ
Ëèáðè ïèñàë,
÷òî âïåðâûå
ðàçðûâíûå
ôóíêöèè
ñäåëàëèñü
ïðåäìåòîì
èññëåäîâàíèé
â ðàáîòàõ
Äàíèèëà
Áåðíóëëè,
Ýéëåðà è
Äàëàìáåðà.
Îäíàêî,
ïîä÷åðêíóë
îí, òîëüêî
èññëåäîâàíèÿ
Ôóðüå,
Ïóàññîíà è
äðóãèõ
ìàòåìàòèêîâ
î ðàçðûâíûõ
ôóíêöèÿõ
ðàññåÿëè âñå
ñîìíåíèÿ,
êîòîðûå âñå åù¸
ñâÿçûâàëèñü
ñ ïðèðîäîé
ýòèõ
ôóíêöèé.
Òî÷íîå
ðàçëè÷èå
ìåæäó òî÷êàìè
ðàçðûâà
ïåðâîãî è
âòîðîãî ðÿäà
è, ñîîòâåòñòâåííî
ýòîìó, èõ
ïðÿìûå
îïðåäåëåíèÿ
âîøëè â
ïðàêòèêó
ìàòåìàòè÷åñêèõ
èññëåäîâàíèé
âî âòîðîé
ïîëîâèíå XIX
âåêà.
Íàêîíåö, â
ñâÿçè ñî
âñåì ýòèì
âûÿñíèëîñü, ÷òî
íå êàæäàÿ
ôóíêöèÿ
ÿâëÿåòñÿ
âìåñòå ñ òåì
è
äèôôåðåíöèðóåìîé.
Ïåðâûé
ïðèìåð íåïðåðûâíîé
ôóíêöèè, íå
èìåþùåé
ïðîèçâîäíîé
â êàæäîé
òî÷êå, äàë
Áîëüöàíî,
îäíàêî åãî
ïðèìåð â ñâîå
âðåìÿ
îñòàëñÿ
ìàòåìàòèêàì
íåèçâåñòíûì.
Âî âòîðîé
ïîëîâèíå XIX
âåêà ïðèìåð
òàêîãî ðîäà
ôóíêöèè
ïîñòðîèë
Áåéåðøòðàññ.
Ëîáà÷åâñêèé
äàë òî÷íûå
îïðåäåëåíèÿ
íåïðåðûâíîñòè
è
äèôôåðåíöèðóåìîñòè
ôóíêöèè è
ïîä÷åðêíóë
ðàçëè÷èÿ
ìåæäó ýòèìè
ïîíÿòèÿìè.
Òàêèì
îáðàçîì,
ìîæíî
ñêàçàòü, ÷òî â
ïåðâîé
÷åòâåðòè XIX
âåêà
êëàññè÷åñêèé
àíàëèç
ñòàíîâèòñÿ
íàóêîé î
âñåõ
âîçìîæíûõ
âèäàõ
ôóíêöèé
äåéñòâèòåëüíîãî
ïåðåìåííîãî
â èõ îáùåì
âèäå.
Êîðåííîìó
èçìåíåíèþ
ïîäâåðãñÿ íå
òîëüêî îáúåêò
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà;
ïðîèçîøëî
êîðåííîå
èçìåíåíèå è
â ìåòîäàõ
èçó÷åíèÿ
ôóíêöèé.
Êàê óæå
óêàçûâàëîñü,
ðàçâèòèå
ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà
è ðàçðàáîòêà
òåõíèêè åãî
âû÷èñëåíèÿ
ïîêàçàëè, ÷òî
îïðåäåëåííûé
èíòåãðàë
(äâîéíîé,
òðîéíîé
èíòåãðàëû ïî
ïîâåðõíîñòè,
íåñîáñòâåííûå
èíòåãðàëû)
íåîáõîäèìî
îáîñíîâûâàòü
ñàìîñòîÿòåëüíî,
íåçàâèñèìî
îò ïîíÿòèÿ
íåîïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà. Â
ñâÿçè ñ ýòèì
âîçíèê
âîïðîñ î
ñóùåñòâîâàíèè
ïðåäåëîâ
èíòåãðàëüíûõ
ñóìì,
ñëàãàåìûå
êîòîðûõ áûëè
áû áåñêîíå÷íî
ìàëûìè. Â
ïåðâîé
÷åòâåðòè XIX
âåêà ïîíÿòèå
áåñêîíå÷íî
ìàëîé
îêàçàëîñü
íåîáõîäèìûì
è äëÿ
èçó÷åíèÿ è
ñîïîñòàâëåíèÿ
ñâîéñòâ
íåïðåðûâíûõ
è ðàçðûâíûõ
ôóíêöèé.
Ìåæäó ìíîãèìè
ïîíÿòèÿìè,—
óêàçûâàë
Êîøè,— òåñíî
ñâÿçàííûìè
ñî
ñâîéñòâàìè
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ,
ñëåäóåò
ïîìåñòèòü
ïîíÿòèå î
íåïðåðûâíîñòè
è ïðåðûâíîñòè
ôóíêöèé”. Òóò
æå Êîøè äàåò
èñòîëêîâàíèå
íåïðåðûâíîñòè
ôóíêöèè,
êîòîðîå
áîëåå ÷åì
ÿñíî ïîäòâåðæäàåò
ÿñíîñòü
ýòîãî åãî
óòâåðæäåíèÿ.
Íîâàÿ
ïîñòàíîâêà
çàäà÷
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà
ÿñíî
ïîêàçûâàëà,
÷òî äåëî íå
òîëüêî â
ïðèçíàíèè è
ïðèìåíåíèè
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ — ýòî
äåëàëè è ðàíüøå!—
íî ïðåæäå
âñåãî â
íàó÷íîì
èñòîëêîâàíèè
èõ
ñîäåðæàíèÿ è
îáîñíîâàííîì
íà ýòîì
èñïîëüçîâàíèè
èõ â àëãîðèòìàõ
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà.
Îäíàêî,
÷òîáû ýòî
ñäåëàòü íàäî
áûëî ïðåîäîëåòü
ãîñïîäñòâîâàâøåå
â XVIII âåêå óçêîå
òîëêîâàíèå
ïîíÿòèÿ
ïðåäåëà,
ðàçðàáîòàòü
îáùóþ
òåîðèþ
ïðåäåëîâ.
Ïîëó÷åíèå îñíîâîïîëàãàþùèõ
ðåçóëüòàòîâ
ñâÿçàíî çäåñü
ñ èìåíåì
Êîøè.
Èçó÷åíèå
ðàçðûâíûõ
ôóíêöèé è
ñîïîñòàâëåíèå
èõ ñ ôóíêöèÿìè
íåïðåðûâíûìè
çàñòàâèëî
ïðèçíàòü òî,
÷òî ðàíåå
ñ÷èòàëîñü
íåâîçìîæíûì:
÷òî
ïðåäåë, ê
êîòîðîìó
ñòðåìèòüñÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
çíà÷åíèé
ôóíêöèè, ïðè
ñòðåìëåíèè
àðãóìåíòà â
íåêîòîðîé
òî÷êå ìîæåò
îêàçàòüñÿ
îòëè÷íûì îò
çíà÷åíèÿ
ôóíêöèè â
ýòîé òî÷êå.
Çíà÷èò,
ïðåäåë íå
âñåãäà
ÿâëÿåòñÿ
ïîñëåäíèì”
çíà÷åíèåì
ïåðåìåííîé,
íî âî âñåõ
ñëó÷àÿõ
ïðåäåë åñòü
÷èñëî, ê
êîòîðîìó ïåðåìåííàÿ
ïðèáëèæàåòñÿ
íåîãðàíè÷åííî.
Ñëåäîâàòåëüíî,
dx è dy íå
íåîáõîäèìî
íóëè èëè
ìèñòè÷åñêè
àêòóàëüíî
áåñêîíå÷íî
ìàëûå;
áåñêîíå÷íî
ìàëàÿ — ýòî
ïåðåìåííàÿ,
èìåþùàÿ
ïðåäåëîì
íóëü, ïðè÷åì
ôàêò ýòîò ñ
ïðîòèâîðå÷èÿìè
è
ïàðàäîêñàìè
íå
ñâÿçàí.
Êîøè
ïðåîäîëåë è
âòîðóþ
îãðàíè÷èòåëüíóþ
òåíäåíöèþ â
ïðèíÿòîé äî
íåãî
òðàêòîâêå ïîíÿòèÿ
ïðåäåëà. Îí
ïðèçíàë, ÷òî
ïåðåìåííàÿ ìîæåò
ïðèáëèæàòüñÿ
ê ñâîåìó
ïðåäåëó íå
òîëüêî
ìîíîòîííî,
íî è
êîëåáëÿñü,
ïîðîé ïðèíèìàÿ
çíà÷åíèÿ,
ðàâíûå å¸
ïðåäåëó.
Êàê
ñïðàâåäëèâî
îòìåòèë Í. Í.
Ëóçèí, ýòî îáñòîÿòåëüñòâî
ïðèäàëî
òåîðèè Êîøè
íåîáõîäèìóþ
îáùíîñòü è
èñêëþ÷èòåëüíóþ
ãèáêîñòü.
×òî
ïîçâîëèëî
Êîøè
ñäåëàòü ýòî
èñêëþ÷èòåëüíî
âàæíûé øàã?
Îòâåò,
êîíå÷íî,
íàäî èñêàòü
ïðåæäå âñåãî
â
ñâîåîáðàçèè
òåõ ïðåäåëüíûõ
ïðîöåññîâ, ñ
êîòîðûìè
ïðèõîäèëîñü
âñòðå÷àòüñÿ
â êîíöå XVIII è
íà÷àëå XIX âåêà
â òî÷íûõ
íàóêàõ,
îñîáåííî â
ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêå.  ìàòåìàòè÷åñêîì
àíàëèçå ê
÷èñëó òàêèõ
ïðîöåññîâ
íàäî â ïåðâóþ
î÷åðåäü
îòíåñòè îòûñêàíèå
ïðåäåëîâ
ðàçëè÷íîãî
âèäà èíòåãðàëüíûõ
ñóìì è
íàõîæäåíèå
ñóìì
ôóíêöèîíàëüíûõ
ðÿäîâ,
îñîáåííî
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ.
Âûïîëíåííûå
Êîøè
îáîáùåíèÿ
òåîðèè ïðåäåëîâ
Íüþòîíà-Äàëàìáåðà
ïîçâîëèëè
åìó äàòü
ïîíÿòèþ áåñêîíå÷íî
ìàëîãî
ðåàëüíîå
èñòîëêîâàíèå
è ïîäâåñòè
ïîä àëãîðèòì
Ëåéáíèöà-Íüþòîíà
äîñòàòî÷íûé
íàó÷íûé
ôóíäàìåíò.
Áëàãîäàðÿ
ýòîìó Êîøè
ñìîã
ïîäâåñòè
íàó÷íûé
ôóíäàìåíò
ïîä ó÷åíèå î
íåïðåðûâíîñòè
è ðàçðûâàõ
ôóíêöèé,
îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå
èñ÷èñëåíèå
è, ÷òî îñîáåííî
âàæíî,
ðàçâèòü
íà÷àëà
íàó÷íîé
êîíöåïöèè
îïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà.
 ïðîöåññå
òàêèõ
èññëåäîâàíèé
Áîëüöàíî,
Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé,
Äèðèõëå, à
âñëåä çà
íèìè äðóãèå
ïåðåäîâûå
ìàòåìàòèêè
ïåðâîé
ïîëîâèíû XIX
âåêà ïî-íîâîìó
ïîäîøëè ê
èñòîëêîâàíèþ
ñòðîãîñòè
ìàòåìàòè÷åñêèõ
äîêàçàòåëüñòâ,
â ïåðâóþ
î÷åðåäü
äîêàçàòåëüñòâ
óòâåðæäåíèé
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà.
Òåîðåìà
ñóùåñòâîâàíèÿ
(êðèòåðèè
ñóùåñòâîâàíèÿ
ïðåäåëà
ïåðåìåííîé)
îêàçàëèñü ñóùåñòâåííî
íåîáõîäèìûìè
è äëÿ
îáîáùåííîé
òåîðèè
ïðåäåëîâ.
Åñëè
ïåðåìåííàÿ
èçìåíÿåòñÿ
íåïðåðûâíî è ìîíîòîííî,
òî
ïðèíèìàåìîå
åþ
ìíîæåñòâî çíà÷åíèé
åñòü
èíòåðâàë, à ïðåäåë
åãî ïðàâàÿ
èëè ëåâàÿ
òî÷êà. Êàê
ãîâîðèë Í. Í.
Ëóçèí, â ýòîì
ñëó÷àå
ïðåäåë
ÿâëÿåòñÿ
îïòè÷åñêèì”:
îí âèäåí
ãëàçîì. Åñëè
æå ñíÿòü ýòè
îãðàíè÷åíèÿ,
äîïóñòèòü
ïðåðûâíîå è,
ãëàâíîå,
êîëåáëþùååñÿ
ïðèáëèæåíèå
ïåðåìåííîé ê
å¸ ïðåäåëó, òî,
âîîáùå
ãîâîðÿ, ïðåäåë
òåðÿåòñÿ; îí
ãëóáîêî
ñïðÿòàí
ñðåäè çíà÷åíèé,
ïðèíèìàåìûõ
ïåðåìåííîé”.
 ñâÿçè ñ
ýòèì âîçíèêàåò
âîïðîñ: ïðè
âûïîëíåíèè
êàêèõ
óñëîâèé ïåðåìåííàÿ
èìååò ïðåäåë?
Èçâåñòíî,
÷òî è ýòîò
âîïðîñ
ïîëíîñòüþ
ðåøèë Êîøè.
Îí äîêàçàë,
÷òî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
õ1, õ2, …,
õï, …
èìååò ïðåäåë
òîãäà è
òîëüêî
òîãäà, êîãäà
äëÿ âñÿêîãî
ïîëîæèòåëüíîãî
e, êàê
óãîäíî
ìàëîãî,
ìîæíî íàéòè
òàêîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî ï,
÷òî äëÿ
ëþáîãî
íàòóðàëüíîãî
÷èñëà ò
|xn+m–xn|<e.
Ýòà
òåîðåìà â
êëàññè÷åñêîì
ìàòåìàòè÷åñêîì
àíàëèçå èãðàåò
ôóíäàìåíòàëüíóþ
ðîëü.
Êîãäà
ñòàëè
ðàçðàáàòûâàòü
íîâóþ
òåîðèþ ïðåäåëîâ,
ïîíÿòèå ðÿäà,
ðàíåå íå
ðàñ÷ëåíÿåìîå
íà ðÿäû ñõîäÿùèåñÿ
è íåñõîäÿùèåñÿ,
ïîëó÷èëî ïî
ýòèì
ïðèçíàêàì
îñíîâíîå
ïîäðàçäåëåíèå.
Áëàãîäàðÿ
ýòîìó
óäàëîñü
óñòàíîâèòü
òî÷íîå
ïîíÿòèå ñóììû
ðÿäà è
íàïðàâèòü ïî
ïðàâèëüíîìó
ïóòè
ðàçðàáîòêó
òåîðèè ÷èñëîâûõ
è ñòåïåííûõ
ðÿäîâ. Â
äàëüíåéøåì,
â ñâÿçè ñ
ðàçðàáîòêîé
ïðîáëåì
òåîðèè
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ðÿäîâ, áûëî
óñòàíîâëåíî,
÷òî
ñõîäÿùèåñÿ
÷èñëîâûå
ðÿäû ðàñïàäàþòñÿ
íà äâà âèäà —
àáñîëþòíî è
óñëîâíî
ñõîäÿùèåñÿ
ðÿäû (Äèðèõëå,
Ðèìàí). Ïî
îñíîâíûì
ñâîéñòâàì
àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ
ðÿäû ñõîäíû ñ
êîíå÷íûìè
ñóììàìè; èõ
ìîæíî
ïåðåìíîæàòü
è ïåðåñòàâëÿòü
â íèõ ÷ëåíû.
Óñëîâíî
ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû
ñóùåñòâåííî
îòëè÷àþòñÿ
îò íèõ; Ðèìàí
äîêàçàë, ÷òî
â ëþáîì,
óñëîâíî ñõîäÿùåìñÿ
ðÿäå ìîæíî
òàê
ïåðåñòàâèòü
åãî ÷ëåíû,
÷òî âíîâü ïîëó÷åííûé
ðÿä áóäåò
èìåòü
ñóììîé
íàïåðåä çàäàííîå
÷èñëî; ìîæíî
òàêæå
äîáèòüñÿ òîãî,
÷òîáû íîâûé
ðÿä îêàçàëñÿ
ðàñõîäÿùèìñÿ.
Ñëåäîâàòåëüíî,
àëãîðèòìû,
îñíîâàííûå
íà ñâîéñòâå
êîíå÷íûõ
ñóìì, ìîæíî îòíîñèòü
òîëüêî ê
àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ
ðÿäàì. Ê
ïåðâîé
÷åòâåðòè XIX
âåêà îòíîñèòñÿ
îòêðûòèå
Êîøè
ôóíêöèè , äëÿ
êîòîðîé
ìîæíî
ñîñòàâèòü
ðÿä Ìàêëîðåíà,
ñõîäÿùèéñÿ
ïðè âñÿêîì õ, íî
êîòîðûé
ñõîäèòñÿ
âñþäó ê íóëþ,
à íå ê ýòîé
ôóíêöèè.
Òåì
ñàìûì áûëà
äîêàçàíà
îøèáî÷íîñòü
èñõîäíîãî
ïîëîæåíèÿ
Ëàãðàíæà,
ñäåëàííîãî
èì ïðè ïîïûòêå
îáîñíîâàòü
äèôôåðåíöèàëüíîå
èñ÷èñëåíèå
íà áàçå
òåîðèè
ñòåïåííûõ
ðÿäîâ. Îñîáóþ
ðîëü ñûãðàëè
èññëåäîâàíèÿ
ïî
òðèãîíîìåòðè÷åñêèì
ðÿäàì (Äèðèõëå,
Ðèìàí,
Ëîáà÷åâñêèé
è äð.).
Áëàãîäàðÿ èì
íà÷àëà
ñîçäàâàòüñÿ
îáùàÿ òåîðèÿ
ôóíêöèîíàëüíûõ
ðÿäîâ, âêëþ÷èâøàÿ
òåîðèþ
ñòåïåííûõ
ðÿäîâ êàê
÷àñòíûé
ñëó÷àé.
Òàêîãî
ðîäà ôàêòû
çàñòàâèëè
ìàòåìàòèêîâ
îòêàçàòüñÿ
îò
íåîáîñíîâàííîãî,
÷àñòî
ôîðìàëüíîãî
ïåðåíåñåíèÿ
îñíîâíûõ
ïîíÿòèé è
ñâîéñòâ
êîíå÷íûõ
ñóìì íà âñå
áåñêîíå÷íûå
ðÿäû è
ïîìîãëè èì
ðàçðàáîòàòü
íàó÷íûå ïðèíöèïû
òåîðèè ðÿäîâ,
áàçèðóþùèåñÿ
íà òåîðèè
ïðåäåëîâ.
Ýòè æå
ôàêòû
ïîìîãëè
ìàòåìàòèêàì
ïåðâîé
ïîëîâèíû XIX
âåêà ïîíÿòü,
ïî÷åìó
ìàòåìàòèêè
XVIII âåêà íå
ñìîãëè
ñäåëàòü â
òåîðèè ðÿäîâ òî,
÷òî óäàëîñü
ñäåëàòü èì.
Òàê,
ñîïîñòàâèâ
ñâîéñòâà
àáñîëþòíî è
óñëîâíî
ñõîäÿùèõñÿ
ðÿäîâ, Ðèìàí
çàìåòèë:
Òîëüêî ê
ðÿäàì
ïåðâîãî
êëàññà
ïðèìåíèìû çàêîíû
êîíå÷íûõ
ñóìì; òîëüêî
ýòè ðÿäû
ìîãóò áûòü â ïîäëèííîì
ñìûñëå
ðàññìàòðèâàåìû
êàê ñóììà
âñåõ ñâîèõ
÷ëåíîâ; î
ðÿäàõ æå âòîðîãî
êëàññà òîãî
æå ñêàçàòü
íåëüçÿ,—
îáñòîÿòåëüñòâî,
óïóùåííîå
èç âèäà
ìàòåìàòèêàìè
ïðîøëîãî
ñòîëåòèÿ,
âåðîÿòíî, ïî
òîé ïðè÷èíå,
÷òî ðÿäû, ðàñïîëîæåííûå
ïî
âîçðàñòàþùèì
ñòåïåíÿì
ïåðåìåííîé,
âîîáùå
ãîâîðÿ (ò. å. äëÿ
âñåõ
çíà÷åíèé ïåðåìåííîé,
êðîìå
íåêîòîðûõ
îòäåëüíûõ), ïðèíàäëåæàò
ê ïåðâîìó
êëàññó.”
Îïèñàííûé
âûøå ïðîöåññ
èçìåíåíèÿ
ñîäåðæàíèÿ è
êîðåííîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ
ìåòîäîëîãèè
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà è
òåîðèè ðÿäîâ
â îáùèõ
÷åðòàõ áûë
ïðèñóù
áîëüøèíñòâó
ìàòåìàòè÷åñêèõ
äèñöèïëèí
ïåðâîé
ïîëîâèíû XIX
âåêà. Â ñâÿçè
ñ ýòèì ñ
ïåðâîé
ïîëîâèíû XIX
âåêà
ñîçäàåòñÿ, à
âî âòîðîé ïîëó÷àåò
âñåîáùåå
ïðèçíàíèå
íîâûé èäåàë
ñòðîãîãî
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêîé
òåîðèè,
ñâîäÿùèéñÿ
ê òðåì
òðåáîâàíèÿì:
1) íå ñ÷èòàòü
íåâîçìîæíûì
òî, ÷òî
êàæåòñÿ ïàðàäîêñàëüíûì.
Ãàóññ
ïèñàë: “Ìû íå
ìîæåì
ñìåøèâàòü
òî, ÷òî íàì
êàæåòñÿ
íååñòåñòâåííûì,
ñ òåì, ÷òî
íàì êàæåòñÿ
àáñîëþòíî
íåâîçìîæíûì”.
2) èçó÷àòü
âñå
âîçìîæíîñòè,
êàêèå
ïðåäñòàâëÿåò
ïðåäìåò
èññëåäîâàíèÿ
è ñîîòâåòñòâåííî
ýòîìó
ðàçâèâàòü
îáùèå
òåîðèè.
 ïåðâîé
ïîëîâèíå XIX
âåêà ýòîò
ïðèíöèï
ñòàíîâèòñÿ
ðóêîâîäÿùèì
íà÷àëîì
èññëåäîâàíèé
ïî÷òè âñåõ âåäóùèõ
ìàòåìàòèêîâ.
3) ïðåæäå ÷åì
çàäàâàòüñÿ
âîïðîñîì î
çàâèñèìîñòè,
ñóùåñòâîâàíèå
êîòîðîé
îñòà¸òñÿ
íåèçâåñòíûì,
ñëåäóåò
ïîñòàâèòü
âîïðîñ,
âîçìîæíà ëè
â
äåéñòâèòåëüíîñòè
òàêàÿ çàâèñèìîñòü.
(Àáåëü)
Âî âòîðîé
÷åòâåðòè XIX
âåêà
îáû÷íûå
êîìïëåêñíûå
÷èñëà íàøëè
øèðîêîå
ïðèìåíåíèå
â òåîðèè
ôóíêöèé è
äàæå â òåîðèè
÷èñåë.  òîæå
âðåìÿ
ðàçðàáîòêà
ïðîáëåì ï-ìåðíîé
ãåîìåòðèè è
ìåòîäîâ
ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêè ïîòðåáîâàëà
äàëüíåéøåãî
îáîáùåíèÿ
ïîíÿòèÿ
÷èñëà,
ïåðåõîäà ê íîâîãî
âèäà êîìïëåêñíûì
÷èñëàì ñ ï
îñíîâíûìè
åäèíèöàìè.
Êîìïëåêñíûå
è ãèïåðêîìïëåêñíûå
÷èñëà ñòàëè
ïðåäñòàâèòåëÿìè
èññëåäóåìûõ
ðåàëüíûõ
âåëè÷èí —
âåêòîðîâ â
ïðîñòðàíñòâå
Rn;
îòâåò íà çàäà÷ó,
âûðàæåííûé
êîìïëåêñíûì
èëè ãèïåðêîìïëåêñíûì
÷èñëîì, èìåë
â ýòîé
îáëàñòè
îáúåêòèâíûé
ñìûñë.
Îáúÿâëÿòü êîìïëåêñíûå
(è
ãèïåðêîìïëåêñíûå)
÷èñëà “ëîæíûìè”,
âîîáðàæàåìûìè”,
ìíèìûìè”,
êàê ýòî äåëàëè
ìàòåìàòèêè
XVII–XVIII âåêîâ,
ñòàëî
íåâîçìîæíûì.
Àðèôìåòèêà
êîìïëåêñíûõ
è
ãèïåðêîìïëåêñíûõ
÷èñåë ïîêàçàëà
äàëåå, ÷òî
ïåðåõîä ê
íîâîé, áîëåå
øèðîêîé
îáëàñòè ÷èñåë
ñâÿçàí,
âî-ïåðâûõ, ñ
íåîáõîäèìîñòüþ
îáîáùàòü
îïðåäåëåíèÿ
äåéñòâèé,
äàííûõ äëÿ
èñõîäíîé
îáëàñòè
÷èñåë è,
âî-âòîðûõ,
ñîïðîâîæäàåòñÿ
ïîòåðåé
íåêîòîðûõ
ñâîéñòâ,
ïðèñóùèõ
÷èñëàì èñõîäíîé
îáëàñòè
÷èñåë. Ïðè
ïåðåõîäå îò äåéñòâèòåëüíûõ
ê êîìïëåêñíûì
÷èñëàì
ïðèøëîñü
îòêàçàòüñÿ
îò ñâÿçûâàíèÿ
èõ çíàêàìè >,
<. Â
àðèôìåòèêå
êâàòåðíèîíîâ
ñòàëî íåîáõîäèìûì
äîïîëíèòåëüíî
îòêàçàòüñÿ
è îò çàêîíà
ïåðåìåñòèòåëüíîñòè
óìíîæåíèÿ.
Çàêîíû
ñ÷åòà — èñòîðè÷åñêè
ñàìûå
ñòîéêèå, à
ïîýòîìó â
ïîíèìàíèè
ìàòåìàòèêîâ
XVII–XVIII âåêîâ
ñîñòàâëÿþùèå
îñíîâó
íåèçìåííîé
ñóùíîñòè”
ïîíÿòèÿ
÷èñëà îêàçàëèñü
çàêîíàìè ñ
îãðàíè÷åííîé
îáëàñòüþ
äåéñòâèÿ.
Ìåòàôèçè÷åñêîå
ðàçäåëåíèå
÷èñåë íà “ðåàëüíûå”
è
âîîáðàæàåìûå”,
òðåáîâàíèå
ñòðîèòü
ó÷åíèå î
÷èñëàõ íà
îáû÷íûõ
îïðåäåëåíèÿõ
àðèôìåòè÷åñêèõ
äåéñòâèé,
÷èñòî ôîðìàëüíîå
ïîäâåäåíèå
íîâûõ ÷èñåë
ïîä âñå çàêîíû
÷èñåë èçâåñòíûõ
âñå ýòî
îêàçàëîñü
îêîí÷àòåëüíî
äèñêðåäèòèðîâàííûì.
Ýòè
ôàêòû (ñ
ó÷åòîì
îáùèõ
òåíäåíöèé
ðàçâèòèÿ
ñïîñîáîâ
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè)
ïîêàçàëè,
÷òî äëÿ
îáîñíîâàíèÿ
àðèôìåòèêè
êàêîãî
óãîäíî âèäà
÷èñåë,
îáúåêòèâíîñòü
êîòîðûõ óæå
äîêàçàíà,
äîñòàòî÷íî
ïåðå÷èñëèòü
å¸ îñíîâíûå
ïîíÿòèÿ,
îïðåäåëåíèÿ è
ïîñûëêè,
âûÿñíèòü,
êàêèå
çàêîíû
ñ÷åòà âûïîëíÿþòñÿ
â
îáîñíîâûâàåìîé
îáëàñòè
÷èñåë, à âñå
îñòàëüíûå
å¸
óòâåðæäåíèÿ
ïîëó÷èòü â
ðåçóëüòàòå
äåäóêöèé. Íà
ýòîì ïóòè
óäàëîñü
îáîñíîâàòü
àðèôìåòèêè
öåëûõ,
ðàöèîíàëüíûõ,
êîìïëåêñíûõ
è
ãèïåðêîìïëåêñíûõ
÷èñåë. Àðèôìåòèêà
íàòóðàëüíûõ
è
àðèôìåòèêà
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë ïîëó÷èëà
ðåàëüíîå
îáîñíîâàíèå
âî âòîðîé
ïîëîâèíå XIX
âåêà.
 òåñíîé
ñâÿçè ñ
îáîáùåíèåì
ïîíÿòèÿ
÷èñëà è ñ
íîâûìè
ñïîñîáàìè
îáîñíîâàíèÿ
ó÷åíèÿ î
÷èñëå
íàõîäèòñÿ
âîçíèêíîâåíèå
èñõîäíûõ
èäåé
ôîðìàëüíîé”
àëãåáðû. Ýòèìè
èäåÿìè ìàòåìàòèêà
îáÿçàíà
Ïèêîêó,
Ãàìèëüòîíó,
À.äåÌîðãàíó,
Ãðåãîðè è
Ãàíêåëþ.
Â
ãåîìåòðèè
áûëè
ñäåëàíû
îòêðûòèÿ,
èìåþùèå äëÿ
å¸ îñíîâàíèé
ôóíäàìåíòàëüíîå
çíà÷åíèå.
Ëîáà÷åâñêèé
è Áîéëè
îòêðûëè
íååâêëèäîâó
ãåîìåòðèþ.
Ïîíñåëå
ðàçðàáîòàë
ïðîåêòèâíóþ
ãåîìåòðèþ,
Ãðàññìàí — ãåîìåòðèþ
ï-ìåðíûõ
ïðîñòðàíñòâ.
Ïðèíöèïû
ýòèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ
òåîðèé
ñóùåñòâåííî
îòëè÷àþòñÿ
îò ïîñûëîê
Íà÷àë”
Åâêëèäà.
Îäíàêî, â
ïåðâîé
ïîëîâèíå XIX
âåêà
íååâêëèäîâà
ãåîìåòðèÿ
ïðèçíàíèÿ
íå ïîëó÷èëà.
Ïðîåêòèâíàÿ
ãåîìåòðèÿ
áûëà ðàçðàáîòàíà
Ïîíñåëå êàê
íàäñòðîéêà
íàä ãåîìåòðèåé
Åâêëèäà; å¸
áîëåå îáùåå
ñîäåðæàíèå
è ñïåöèôèêà
å¸ ïðèíöèïîâ
áûëè
îñîçíàíû âî
âòîðîé ïîëîâèíå
XIX âåêà. Ã.
Ãðàññìàí
ðàçâèë ñâîå
ó÷åíèå íà
ðóáåæå
ñåðåäèíû XIX
âåêà.
Áëàãîäàðÿ
ýòîìó
óêàçàííûå
âûâîäû
ïîëó÷èëè
âïîñëåäñòâèè
øèðîêîå
ïðèçíàíèå.
Âîò åù¸
îäèí
ðåçóëüòàò,
èìåþùèé
ôóíäàìåíòàëüíîå
çíà÷åíèå
äëÿ
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè.
Ìàòåìàòèêè
XVII–XVIII âåêîâ
ïûòàëèñü
äîêàçàòü,
÷òî âñÿêîå
óðàâíåíèå
ïÿòîé
ñòåïåíè
ðàçðåøèìî â
ðàäèêàëàõ. Â 1827
ãîäó Àáåëü
äîêàçàë, ÷òî
ýòî íåâîçìîæíî.
Ïîñêîëüêó
âñå æå
ñóùåñòâóþò
óðàâíåíèÿ
ïÿòîé,
øåñòîé è
äðóãèõ ñòåïåíåé,
ðàçðåøàåìûå
â ðàäèêàëàõ,
åñòåñòâåííî
âîçíèêàë
âîïðîñ: êàê
îõàðàêòåðèçîâàòü
êëàññ
óðàâíåíèé äàííîé
ñòåïåíè,
êîòîðûå
äîïóñêàþò
ðåøåíèå â
ðàäèêàëàõ?
Ýòîò âîïðîñ
èìåë è
ïðàêòè÷åñêîå
çíà÷åíèå.
Êàê
ïîêàçàëè Ýéëåð
è Äàëàìáåð,
èíòåãðèðîâàíèå
ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ï-ãîïîðÿäêà
ñ
ïîñòîÿííûìè
êîýôôèöèåíòàìè
ñâîäèòñÿ ê
íàõîæäåíèþ
êîðíåé
àëãåáðàè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ ï-é
ñòåïåíè.
Òàêèå
äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ
ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì
àïïàðàòîì
òåîðèè
êîëåáàíèé.
×òîáû
ðåøèòü óêàçàííûé
âûøå âîïðîñ,
Ý. Ãàëóà
ïîñòðîèë îñîáûé
ìàòåìàòè÷åñêèé
àïïàðàò, â
êîòîðîì
ãëàâíàÿ ðîëü
îòâîäèòñÿ
ïîíÿòèþ
ãðóïïû.
Âûÿñíèëîñü,
÷òî ïîä
ïîíÿòèå
ãðóïïû
ïîäõîäÿò ðàçëè÷íûå
îáëàñòè
îáúåêòîâ,
áëàãîäàðÿ
÷åìó îíî
íàõîäèò ïëîäîòâîðíîå
ïðèìåíåíèå
â ðàçëè÷íûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
äèñöèïëèíàõ.
Îêàçàëîñü
òàêæå, ÷òî
ïîíÿòèå
ãðóïïû îáíàðóæèâàåò
ñâîþ äåéñòâåííîñòü
íàèëó÷øèì
îáðàçîì,
êîãäà åãî òåîðèÿ
îáîñíîâûâàåòñÿ
àáñòðàêòíî,
íåçàâèñèìî
îò îïèñàíèÿ
ïðèðîäû îáúåêòîâ,
îòíîøåíèÿ
êîòîðûõ åþ
îïèñûâàþòñÿ.
Âïåðâûå âñå
ýòè ôàêòû
îò÷åòëèâî
îñîçíàë è îïèñàë
Êýëè â 1854 ãîäó;
ýòîò ãîä
ïîýòîìó ñ÷èòàþò
ãîäîì
íà÷àëà
àáñòðàêòíîé
òåîðèè ãðóïï.
Ïîä
âëèÿíèåì
âñåõ ýòèõ
ôàêòîâ â
ïåðâîé ïîëîâèíå
XIX âåêà
ïðåäïðèíèìàþòñÿ
ïîïûòêè ðàñøèðèòü
òðàäèöèîííîå
îïðåäåëåíèå
ïðåäìåòà
ìàòåìàòèêè
êàê íàóêè
òîëüêî î
âåëè÷èíàõ è
èõ
èçìåðåíèè.
Íàïðèìåð, äëÿ
Ïóàíñî
ìàòåìàòèêà
ýòî íàóêà î
ñâîéñòâàõ
÷èñåë,
âåëè÷èíàõ è
ïîðÿäêå.
Áîëüöàíî è Ãðàññìàí
ñ÷èòàëè, ÷òî
òðàäèöèîííàÿ
òðàêòîâêà î
ïðåäìåòå
ìàòåìàòèêè
íå
îõâàòûâàåò
å¸
ñîäåðæàíèÿ â
öåëîì: íàïðèìåð,
îíî íå
ïðèëîæèìî ê
ó÷åíèþ î
ñî÷åòàíèÿõ.
Äëÿ
Ãðàññìàíà
ìàòåìàòèêà
ó÷åíèå î
ôîðìàõ,
îäíàêî
ãåîìåòðèÿ ê
ìàòåìàòèêå
íå ïðèíàäëåæèò.
 1854 ãîäó Äæ.
Áóëü
ïîä÷åðêèâàë,
÷òî “â ïðèðîäå
ìàòåìàòèêè
íå çàëîæåíà
íåîáõîäèìîñòü
çàíèìàòüñÿ
èäåÿìè
÷èñëà è âåëè÷èíû”.
Èòàê,
ðàçðàáîòàííûå
â ïåðâîé
ïîëîâèíå XIX âåêà
ñïîñîáû
îáîñíîâàíèÿ
è ìåòîäû
ìàòåìàòèêè
ïîçâîëèëè
ìàòåìàòèêàì
ïåðåñòðîèòü
ìàòåìàòè÷åñêèé
àíàëèç, àëãåáðó,
ó÷åíèå î
÷èñëå è
îò÷àñòè
ãåîìåòðèþ â
ñîîòâåòñòâèè
ñ
òðåáîâàíèÿìè
íîâîé ìåòîäîëîãèè.
Íîâàÿ
ìåòîäîëîãèÿ
ìàòåìàòèêè ñïîñîáñòâîâàëà
ïðåîäîëåíèþ
êðèçèñà å¸
îñíîâ è
ñîçäàëà äëÿ íå¸
øèðîêèå ïåðñïåêòèâû
äàëüíåéøåãî
ðàçâèòèÿ.
III. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ïîñëåäíåé
÷åòâåðòè XIX âåêà è íà÷àëà XX âåêà
1. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà
Äëÿ ÷åãî
ìàòåìàòèêè
ïîñëåäíèõ
äåñÿòèëåòèé
XIX âåêà ïîòðåáîâàëîñü
îáùåå
ó÷åíèå î
ìíîæåñòâàõ,
îðãàíè÷åñêè
ñâÿçàííûõ ñ
ïîíÿòèåì
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè?
Ã. Êàíòîð
îòâåòèë íà
ýòîò âîïðîñ
òàê: “…äëÿ
îáîñíîâàíèÿ
àðèôìåòèêè
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë, äëÿ
äîêàçàòåëüñòâà
ôóíäàìåíòàëüíûõ
òåîðåì
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà è
òåîðèè
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ðÿäîâ”. Ã. Êàíòîð
óêàçûâàë
òàêæå, ÷òî
èäåè è
ìåòîäû îáùåãî
ó÷åíèÿ î
ìíîæåñòâàõ
ÿâëÿþòñÿ äåéñòâåííûìè
îðóäèÿìè
îòûñêàíèÿ íîâûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ôàêòîâ è
ðàçâèòèÿ íîâûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
òåîðèé. Â
ýòîé ñâÿçè
îí ñ÷åë
âîçìîæíûì
óòâåðæäàòü,
÷òî äëÿ ìàòåìàòèêè
ïîíÿòèå
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè
ñóùåñòâåííî
íåîáõîäèìî.
Îñíîâíûì
ïîíÿòèåì
îáùåãî
ó÷åíèÿ î
ìíîæåñòâàõ
Ã.Êàíòîðà
ÿâëÿåòñÿ
ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîãî
ìíîæåñòâà
(ïîíÿòèå àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè).
Ïîä
ìíîãîîáðàçèåì,
èëè ìíîæåñòâîì,—
ïèñàë Ã.
Êàíòîð,— ÿ
ïîíèìàþ
âîîáùå âñÿêîå
ìíîãîå,
êîòîðîå
ìîæíî
ìûñëèòü êàê
åäèíîå, ò. å. âñÿêóþ
ñîâîêóïíîñòü
îïðåäåëåííûõ
ýëåìåíòîâ,
êîòîðàÿ
ìîæåò áûòü
ñâÿçàíà â
îäíî öåëîå ñ
ïîìîùüþ
íåêîòîðîãî
çàêîíà.”
Êàíòîð
íàçûâàë
ìíîæåñòâî Ð
îïðåäåëåííûì,
åñëè îòíîñèòåëüíî
ëþáîãî
îáúåêòà
ìîæíî
ñêàçàòü, ïðèíàäëåæèò
îí ìíîæåñòâó
Ð èëè
íå
ïðèíàäëåæèò.
Ïîíÿòèå
çàêîíà Ã.
Êàíòîð
ñ÷èòàë
èñõîäíûì,
íåîïðåäåëèìûì.
Âìåñòå ñ òåì,
â åãî
êîíöåïöèè
ïîíÿòèå çàêîíà
èãðàåò
ôóíäàìåíòàëüíóþ
ðîëü. Òàê êàê
ñîãëàñíî
çàêîíó
ýëåìåíòû íåêîòîðîé
ñîâîêóïíîñòè
ìîãóò áûòü
ñâÿçàíû â
îäíî öåëîå, òî
çàêîí
îáåñïå÷èâàåò
ñóùåñòâîâàíèå
ìíîæåñòâà.
Âåðíî è
îáðàòíîå:
åñëè
ìíîæåñòâî
ñóùåñòâóåò,
òî ìîæíî
äàòü çàêîí,
îáåñïå÷èâàþùèé
åãî
ñóùåñòâîâàíèå.
Îïåðàòèâíûìè
ïîíÿòèÿìè
îáùåãî
ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ
Ã.Êàíòîðà
ÿâëÿþòñÿ
ïîíÿòèÿ âçàèìíî
îäíîçíà÷íîãî
ñîîòâåòñòâèÿ
ìîùíîñòè è
êîëè÷åñòâà
ìíîæåñòâà.
Êàíòîð
îïðåäåëèë
ìîùíîñòü —
òåïåðü ÷àñòî
ãîâîðÿò:
êîëè÷åñòâåííîå
÷èñëî” — êàê
ðåçóëüòàò
àáñòðàêöèè
îò ñîäåðæàíèÿ
è ïîðÿäêà
ýëåìåíòîâ
ìíîæåñòâà.
Îí
íàçûâàë äâà
ìíîæåñòâà
ðàâíîìîùíûìè
è èìåþùèìè
îäèíàêîâóþ
ìîùíîñòü,
åñëè ìåæäó
èõ
ýëåìåíòàìè
âîçìîæíî
óñòàíîâèòü
âçàèìíî
îäíîçíà÷íîå
ñîîòâåòñòâèå.
Äëÿ
ðàçâèòèÿ
îáùåãî
ó÷åíèÿ î
ìíîæåñòâàõ
íàèáîëåå
ñóùåñòâåííûì
ÿâèëîñü
äðóãîå
îòêðûòèå Ã.
Êàíòîðà —
äîêàçàòåëüñòâî
ñóùåñòâîâàíèÿ
áåñêîíå÷íûõ
ìíîæåñòâ ñ
ðàçëè÷íûìè
ìîùíîñòÿìè.
Åñëè
ìíîæåñòâî
êîíå÷íî,
ïîíÿòèå
ìîùíîñòè
ñîâïàäàåò ñ
ïîíÿòèåì
÷èñëà åãî
ýëåìåíòîâ è
ìîæåò áûòü
âûðàæåíî
êîëè÷åñòâåííûì
íàòóðàëüíûì
÷èñëîì. Â
ñëó÷àÿõ áåñêîíå÷íûõ
ìíîæåñòâ
íåëüçÿ
ãîâîðèòü î
÷èñëå èõ
ýëåìåíòîâ,
íî êàæäîìó
èç òàêèõ
ìíîæåñòâ
ìîæíî ïðèïèñàòü
îïðåäåëåííóþ
ìîùíîñòü.
Ïðèíÿòî
îòíîñèòü êàæäîìó
êëàññó
ìíîæåñòâ
íåêîòîðûé
ñèìâîë
ìîùíîñòè.
Òàê —
ñèìâîë
ìîùíîñòè
ñ÷åòíîãî
ìíîæåñòâà, ñ —
ñèìâîë
ìîùíîñòè
êîíòèíóóìà,
2ò —
ñèìâîë
ìîùíîñòè
ìíîæåñòâà
âñåõ ïîäìíîæåñòâ
ìíîæåñòâà,
ìîùíîñòü êîòîðîãî
åñòü ò.
Êàæäûé
òàêîé
ñèìâîë
Êàíòîð
íàçâàë êàðäèíàëüíûì
òðàíñôèíèòíûì
÷èñëîì.
2. Òðóäíîñòè ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ.
Êðèòèêà êîíöåïöèè Ã. Êàíòîðà
Êàíòîð
ïðåäïðèíÿë
ïîïûòêó
ðàçâèòü
àðèôìåòèêó
êàðäèíàëüíûõ
òðàíñôèíèòíûõ
÷èñåë. Îí
äîêàçàë
ìíîãèå àðèôìåòè÷åñêèå
ñîîòíîøåíèÿ,
ñïðàâåäëèâûå
äëÿ ìîùíîñòåé
êîíêðåòíûõ
ìíîæåñòâ —
ñ÷åòíûõ è
ìîùíîñòè
êîíòèíóóìà.
Íàïðèìåð,
åñëè ï
ëþáîå
íàòóðàëüíîå
÷èñëî, òî:
Íî êîãäà
êàíòîð
ïîïûòàëñÿ
îáîáùèòü
ïîëó÷åííûå
èì
àðèôìåòè÷åñêèå
ñîîòíîøåíèÿ
íà ëþáûå
êàðäèíàëüíûå
òðàíñôèíèòíûå
÷èñëà, òî
âñòðåòèëñÿ
ñ ñåðüåçíûìè
òðóäíîñòÿìè.
Ïóñòü Ì è N —
êàêèå
óãîäíî
áåñêîíå÷íûå
ìíîæåñòâà, ò è ï —
ñîîòâåòñòâóþùèå
èì
êàðäèíàëüíûå
òðàíñôèíèòíûå
÷èñëà. Ìîæíî
ëè
óòâåðæäàòü,
÷òî ýòè
÷èñëà
âñåãäà
ìîãóò áûòü
ñâÿçàíû îäíèì
è òîëüêî
îäíèì èç
çíàêîâ =, >, <? Äëÿ
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë ò
è ï
ýòî
óòâåðæäåíèå
ñïðàâåäëèâî,
äëÿ êàðäèíàëüíûõ
òðàíñôèíèòíûõ
÷èñåë
ñïðàâåäëèâîñòü
åãî íå
î÷åâèäíà.
Êàíòîð ýòó
ïðîáëåìó íå
ðåøèë, å¸
íàçâàëè ïðîáëåìîé
òðèõîòîìèè.
Êàíòîð íå
ñìîã òàêæå
äîêàçàòü (èëè
îïðîâåðãíóòü),
÷òî äëÿ ëþáûõ
êàðäèíàëüíûõ
òðàíñôèíèòíûõ
÷èñåë
ñïðàâåäëèâû
ñîîòíîøåíèÿ:
1) ò+ï=òï;
2) ò=ò2;
3) åñëè
ò2=ï2, òî ò=ï;
4) åñëè
ò<ïè p<q, òî m+p<n+q;
5) åñëè
ò<ïè p<q, òî mp<nq.
À.
Òàðñêèé
äîêàçàë, ÷òî
êàæäîå èç
ýòèõ ñîîòíîøåíèé
ýêâèâàëåíòíî
òðèõîòîìèè.
Èçâåñòíî,
÷òî x0<c.
Ñóùåñòâóåò
ëè
ìíîæåñòâî Ì, ìîùíîñòü
êîòîðîãî ò
óäîâëåòâîðÿåò
íåðàâåíñòâàì:
õ0<m<c?
Ýòó
ïðîáëåìó
Êàíòîð
òàêæå íå
ðåøèë. Îí âûñêàçàë
ïðåäïîëîæåíèå,
÷òî òàêîå
ìíîæåñòâî Ì íå
ñóùåñòâóåò.
Ïðåäïîëîæåíèå
Êàíòîðà
íàçûâàëîñü ãèïîòåçîé
êîíòèíóóìà;
îíî ýêâèâàëåíòíî
óòâåðæäåíèþ,
÷òî âñÿêîå
íå÷åòíîå
ìíîæåñòâî
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë èìååò
ìîùíîñòü
êîíòèíóóìà.
Ïîñëå
ïóáëèêàöèè
ïåðâûõ ðàáîò
Ã. Êàíòîðà, â
êîòîðûõ îí
èçëîæèë
íà÷àëà
ó÷åíèÿ î òðàíñôèíèòíûõ
÷èñëàõ
(êîëè÷åñòâåííûõ
è ïîðÿäêîâûõ),
ìàòåìàòèêè,
ëîãèêè,
ôèëîñîôû è
îñîáåííî
òåîëîãè
îòíåñëèñü ê
åãî èäåÿì
âåñüìà
ñäåðæàííî.
Íåêîòîðûå
èç íèõ
âûñòóïèëè ñ
îòêðûòîé
êðèòèêîé
îñíîâíîãî
ïîíÿòèÿ
ó÷åíèÿ
Êàíòîðà —
ïîíÿòèÿ àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè.
Êàíòîð
îòâåòèë íà
ýòè âûñòóïëåíèÿ
â
íåñêîëüêèõ
ñòàòüÿõ è â ïåðåïèñêå,
êîòîðóþ
âïîñëåäñòâèè
÷àñòè÷íî
îïóáëèêîâàë.
Íàèáîëåå
ñåðüåçíûì
ïðîòèâíèêîì
êîíöåïöèè
Êàíòîðà áûë
Ë. Êðîíåêåð. Îí
ñ÷èòàë, ÷òî äåéñòâèòåëüíî
ñóùåñòâóþùèìè,
ðåàëüíûìè
ìîæíî
ïðèçíàòü
ëèøü
íàòóðàëüíûå
÷èñëà, âñëåäñòâèå
÷åãî îíè
ÿâëÿþòñÿ
åäèíñòâåííûì
îáúåêòîì
÷èñòîé
ìàòåìàòèêè.
Êðîíåêåð
óòâåðæäàë,
÷òî âñå
òåîðåìû ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà
ïðàâîìåðíû
ëèøü
ïîñòîëüêó,
ïîñêîëüêó èõ
ìîæíî èñòîëêîâàòü
êàê
îïèñàíèÿ
çàêîíîâ,
ãîñïîäñòâóþùèõ
â îáëàñòè
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë. Ñ ýòîé
òî÷êè
çðåíèÿ,
ïèñàë
Êàíòîð, èçâåñòíàÿ
ðåàëüíîñòü
ïðèïèñûâàåòñÿ
òàêæå
ðàöèîíàëüíûì
÷èñëàì,
ïîñêîëüêó
îíè
íåïîñðåäñòâåííî
âûòåêàþò” èç
àðèôìåòèêè
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë.
Êðîíåêåð
òðàêòîâàë
èððàöèîíàëüíûå
÷èñëà êàê
óäîáíûå ñèìâîëû
äëÿ îïèñàíèÿ
åäèíûì
ñïîñîáîì
ñâîéñòâ
ãðóïï
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë;
ïîíÿòèå
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè
îí ïîëíîñòüþ
îòðèöàë.
Ñëåäóÿ ýòèì
èäåÿì,
Êðîíåêåð
îïóáëèêîâàë
èññëåäîâàíèå,
â êîòîðîì
íàìåòèë
êîíòóðû íåêîòîðûõ
âñïîìîãàòåëüíûõ
òåîðèé”, ïî
åãî ìíåíèþ
ïîçâîëÿþùèõ
îñâîáîäèòü
÷èñòóþ
ìàòåìàòèêó
îò èððàöèîíàëüíûõ
÷èñåë.
Êàíòîð
îòìå÷àë, ÷òî
êîíöåïöèÿ
Êðîíåêåðà, â
ñðàâíåíèè ñ
îáùåïðèçíàííûìè
òåîðèÿìè
÷èñòîé ìàòåìàòèêè,
îáëàäàåò íåêîòîðûìè
ïðåèìóùåñòâàìè.
Åñëè ñòðîãî
ïðèäåðæèâàòüñÿ
êîíöåïöèè
Êðîíåêåðà, òî
âîçìîæíî
ïîòðåáîâàòü”,
÷òîáû äîêàçàòåëüñòâà
àíàëèòè÷åñêèõ
òåîðåì áûëè
èñïûòàíû ïî
ñâîåìó
òåîðåòèêî-÷èñëîâîìó
ñîäåðæàíèþ”
è ÷òîáû
êàæäûé
îáíàðóæèâàþùèéñÿ
â íèõ ïðîáåë
áûë
çàïîëíåí
ñîãëàñíî
ïðèíöèïàì
àðèôìåòèêè.
 âîçìîæíîñòè
ïîäîáíîãî
äîïîëíåíèÿ
çàêëþ÷àåòñÿ
íàñòîÿùèé
ïðîáíûé
êàìåíü äëÿ
ïðàâèëüíîñòè
è ïîëíîé
ñòðîãîñòè
äîêàçàòåëüñòâ.
Òàêèå
äîïîëíåíèÿ
ñïîñîáíû
ïðåäîõðàíèòü
èññëåäîâàòåëåé
îò îøèáîê è
óäåðæàòü
ïîëåò èõ
òâîð÷åñêîé
ôàíòàçèè â
íàäëåæàùèõ
ãðàíèöàõ. Îäíàêî,
ïîä÷åðêèâàë
Êàíòîð,
ìåòîäîëîãè÷åñêèå
ïðèíöèïû
êîíöåïöèè
Êðîíåêåðà íå
ÿâëÿþòñÿ
ïëîäîòâîðíûìè.
Ìû íå
îáÿçàíû èì
íèêàêèìè èñòèííûìè
óñïåõàìè è,
åñëè áû ìû â
äåéñòâèòåëüíîñòè
òî÷íî
ðóêîâîäñòâîâàëèñü
èìè, òî
ðàçâèòèå
íàóêè
îñòàíîâèëîñü
áû èëè áûëî
ââåäåíî â
ñàìûå óçêèå
ãðàíèöû.”
Âïðî÷åì, çàìåòèë
Êàíòîð,
îêîí÷àòåëüíîå
ñóæäåíèå î
êîíöåïöèè
Êðîíåêåðà ñòàíåò
âîçìîæíûì
ëèøü òîãäà,
êîãäà îíà
áóäåò
ðàçðàáîòàíà
â öåëîì è â
äåòàëÿõ, â
ñâÿçè ñ ÷åì
âûÿñíèòñÿ
å¸ îòíîøåíèå
ê ãåîìåòðèè
è ìåõàíèêå.
Ïîêà ýòîãî
åù¸ íåò, ïðèãîäíîñòü
êîíöåïöèè
Êðîíåêåðà íå
ìîæåò áûòü
íàçâàíà
äîñòàòî÷íî
îáîñíîâàííîé.
Êðèòè÷åñêèå
çàìå÷àíèÿ
Êàíòîðà â
àäðåñ êîíöåïöèè
Êðîíåêåðà
èìåþò
ìåòîäîëîãè÷åñêèì
ñòåðæíåì
åãî òðåòüå
îãðàíè÷èòåëüíîå
òðåáîâàíèå”.
Îíè âåðíû è
íå ïîòåðÿëè
ñâîåãî
çíà÷åíèÿ äî
íàøåãî
âðåìåíè. Íî
âðÿä ëè ìîæíî
íàçâàòü
ïðàâèëüíûì
ñëåäóþùèå
êðèòè÷åñêèå
çàìå÷àíèÿ
Êàíòîðà, êîòîðûå
îí,
ïî-âèäèìîìó,
ñ÷èòàë
íàèáîëåå
ñåðüåçíûìè:
ìîùíîñòü
êîíòèíóóìà
âûøå
ìîùíîñòè
ìíîæåñòâà
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë.
Ñëåäîâàòåëüíî,
çàïàñ
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë
íåäîñòàòî÷åí
äëÿ îïèñàíèÿ
òî÷åê âðåìåííîãî
è
ïðîñòðàíñòâåííîãî
êîíòèíóóìà,
ïîýòîìó
êîíöåïöèÿ
Êðîíåêåðà íå
ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ
ñîâåðøåííîé.
Ýòà àðãóìåíòàöèÿ
êàíòîðà
îáëàäàåò
äîêàçàòåëüíîé
ñèëîé ëèøü
äëÿ
ïðèâåðæåíöåâ
ó÷åíèÿ î
ñ÷åòíûõ è
íåñ÷åòíûõ
ìíîæåñòâàõ;
åãî
ïðîòèâíèêè
ñ÷èòàòüñÿ ñ
ýòîé àðãóìåíòàöèåé
Êàíòîðà íå
îáÿçàíû.
Èäåè
Êðîíåêåðà â
íåêîòîðîé
ìåðå
ñïîñîáñòâîâàëè
ñíà÷àëà
îôîðìëåíèþ
êîíöåïöèè èíòóèöèîíèçìà,
à ïîòîì è
êîíñòðóêòèâíîé
ìàòåìàòèêè.
Äî
ïîñëåäíåãî
äåñÿòèëåòèÿ
XIX âåêà
ìàòåìàòèêè,
ëîãèêè è
ôèëîñîôû
ïðèçíàâàëè
ïîíÿòèÿ
èððàöèîíàëüíîãî
÷èñëà, íî îòðèöàëè
ïîíÿòèå
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè;
îíè ñ÷èòàëè
åãî
âíóòðåííå
ïðîòèâîðå÷èâûì.
Íåêîòîðûå
èç íèõ
ïûòàëèñü
ýòî
äîêàçàòü.
Êàíòîð èçó÷èë
ìåòîäîëîãè÷åñêóþ
îñíîâó
òàêèõ äîêàçàòåëüñòâ
è ïîêàçàë èõ
ïîëíóþ
íåñîñòîÿòåëüíîñòü.
Âñå òàê
íàçûâàåìûå
äîêàçàòåëüñòâà
ïðîòèâ
âîçìîæíîñòè
àêòóàëüíî
áåñêîíå÷íûõ
÷èñåë,— ïèñàë
Êàíòîð,—
îøèáî÷íû,
ïîòîìó, ÷òî îíè çàðàíåå
ïðèïèñûâàþò
èëè, ñêîðåå,
íàâÿçûâàþò
ðàññìàòðèâàåìûì
÷èñëàì âñå
ñâîéñòâà êîíå÷íûõ
÷èñåë. Ìåæäó
òåì,
áåñêîíå÷íûå
÷èñëà — åñëè
òîëüêî èõ
äîëæíî
ìûñëèòü â
êàêîé-íèáóäü
ôîðìå — äîëæíû
îáðàçîâàòü
áëàãîäàðÿ
ñâîåé ïðîòèâîïîëîæíîñòè
ê êîíå÷íûì
÷èñëàì
ñîâåðøåííî
íîâûé
÷èñëîâîé
âèä,
ñâîéñòâà
êîòîðîãî
âïîëíå
çàâèñÿò îò
ïðèðîäû
âåùåé è
îáðàçóþò
ïðåäìåò
èññëåäîâàíèÿ,
à íå íàøåãî
ïðîèçâîëà
èëè íàøèõ
ïðåäðàññóäêîâ.”
Çàêëþ÷èòåëüíàÿ
÷àñòü
ïðèâåäåííîãî
âûñêàçûâàíèÿ
Êàíòîðà
ÿâëÿåòñÿ
òî÷íîé
õàðàêòåðèñòèêîé
ñóùåñòâà
ìåòîäîëîãèè
åãî íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé.
Îíà ïîêàçûâàåò,
÷òî
èçáðàííûé
Êàíòîðîì
ïóòü
îáîñíîâàíèÿ
íàó÷íîé
ñàìîñòîÿòåëüíîñòè
ó÷åíèÿ î
ìíîæåñòâàõ
ÿâëÿåòñÿ, ïî
ñóòè,
ìàòåðèàëèñòè÷åñêèì;
îí ìîæåò
áûòü
ñîãëàñîâàí
ñ
èäåàëèçìîì
(ñóáúåêòèâíûì
èëè îáúåêòèâíûì
áåçðàçëè÷íî)
òîëüêî íà
ñëîâàõ, à íà
äåëå
ïðîòèâîðå÷èò
åìó.
Ñòðåìëåíèå
Êàíòîðà
îáîñíîâàòü
ñ ôèëîñîôñêèõ
ïîçèöèé
âîçìîæíîñòü
òàêîé ñîãëàñîâàííîñòè
è
îáóñëîâèëî
äâîéñòâåííîñòü
åãî
ôèëîñîôñêèõ
ïîçèöèé â
ïîíèìàíèè
ïðèðîäû ìàòåìàòèêè
è å¸ ìåòîäîâ.
3. Ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè)
òåîðèè ìíîæåñòâ
Íàðÿäó ñ
óêàçàííûìè
âûøå
òðóäíîñòÿìè
ïîñòðîåíèÿ
òåîðèè
ìíîæåñòâ â
íåé áûëè
îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû
(àíòèíîìèè) ïîñòàâèâøèå
ïîä
ñîìíåíèå
ó÷åíèå Ã.
Êàíòîðà â
öåëîì. Ýòè
ïàðàäîêñû
ñòàëè
îáúåêòîì
îñîáîãî
âíèìàíèÿ ìàòåìàòèêîâ.
È, êîíå÷íî, íå
ñëó÷àéíî.
Êàê
óêàçûâàëîñü
âûøå, åù¸ ïðè
æèçíè Êàíòîðà
åãî òåîðèÿ
ìíîæåñòâ
ñòàëà
ôóíäàìåíòîì
âñåãî
çäàíèÿ
ìàòåìàòèêè,
à å¸ ìåòîäû —
äåéñòâåííûì
îðóäèåì
ðàçâèòèÿ
ìíîãèõ
âåäóùèõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
òåîðèé.
Ïåðâûé
ïàðàäîêñ
îáíàðóæèë
ñàì Êàíòîð â
1895 ãîäó è ñîîáùèë
î íåì â
ïèñüìå ê
Ãèëüáåðòó.
÷åðåç äâà
ãîäà ýòîò
ïàðàäîêñ
îáíàðóæèë
Áóðàëè-Ôîðòè;
îí ñäåëàë åãî
äîñòîÿíèåì
âñåõ
ìàòåìàòèêîâ.
Ïàðàäîêñ
Áóðàëè-Ôîðòè.
Ïóñòü Ð —
ìíîæåñòâî
âñåõ
ïîðÿäêîâûõ
÷èñåë. Ýòî ìíîæåñòâî
âïîëíå
óïîðÿäî÷åíî;
ñëåäîâàòåëüíî,
îíî
îïðåäåëÿåò
íåêîòîðîå
îðäèíàðíîå
òðàíñôèíèòíîå
÷èñëî ð.
Åñëè Ðð
ìíîæåñòâî
ïîðÿäêîâûõ
÷èñåë
ìåíüøå ð, òî Ðð
èìååò òîò æå
ïîðÿäêîâûé
òèï, ÷òî è Ð. Íî Ðð
îòðåçîê
ìíîæåñòâà Ð,
îïðåäåëÿåìûé
÷èñëîì
ð.
Ñëåäîâàòåëüíî
Ð è åãî
îòðåçîê Ðð
ïîäîáíû äðóã
äðóãó. Íî
Êàíòîð
äîêàçàë, ÷òî âïîëíå
óïîðÿäî÷åííîå
ìíîæåñòâî
íå ìîæåò
áûòü ïîäîáíî
ëþáîìó
ñâîåìó îòðåçêó.
 1899 ãîäó
Êàíòîð
îòêðûë åù¸
îäèí ïàðàäîêñ
è ñîîáùèë î
íåì Ð.
Äåäåêèíäó. Â 1901
ãîäó ýòîò
ïàðàäîêñ
ïðèâëåê âíèìàíèå
Á. Ðàññåëà.
Ïàðàäîêñ
Êàíòîðà.
Ïóñòü N —
ìíîæåñòâî
âñåõ
âîçìîæíûõ
ìíîæåñòâ, S
ìíîæåñòâî
âñåõ
âîçìîæíûõ
ïîäìíîæåñòâ
ìíîæåñòâà N. Ïîñêîëüêó
ìîùíîñòü
ìíîæåñòâà
âñåõ âîçìîæíûõ
ïîäìíîæåñòâ
ëþáîãî
ìíîæåñòâà
èìååò
ìîùíîñòü,
áîëüøóþ
ìîùíîñòè
ýòîãî ìíîæåñòâà,
òî ìîùíîñòü S äîëæíà
áûòü áîëüøå
ìîùíîñòè N. Ñ
äðóãîé
ñòîðîíû,
ìíîæåñòâî N åñòü
ìíîæåñòâî
âñåõ âîçìîæíûõ
ìíîæåñòâ;
ñëåäîâàòåëüíî
S
ÿâëÿåòñÿ
ïîäìíîæåñòâîì
N. Íî
ìîùíîñòü
ïîäìíîæåñòâà
íå áîëüøå
ìîùíîñòè
ìíîæåñòâà;
çíà÷èò
ìîùíîñòü S íå
áîëüøå
ìîùíîñòè N.
Íàèáîëüøóþ
èçâåñòíîñòü
ïðèîáðåë
ïàðàäîêñ,
îòêðûòûé
Á.Ðàññåëîì
â 1902 ãîäó è
îïóáëèêîâàííûé
èì â 1903 ãîäó.
Ýòîò
ïàðàäîêñ
îòêðûë è Ý.
Öåðìåëî, íî â
ïå÷àòè åãî
íå îïóáëèêîâàë.
Ïàðàäîêñ
Ðàññåëà.
Î
íåêîòîðûõ
ìíîæåñòâàõ
ìîæíî
ñêàçàòü, ÷òî
îíè
ñîäåðæàò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ñâîåãî ýëåìåíòà;
òàêîâî,
íàïðèìåð,
ìíîæåñòâî
âñåõ
ìíîæåñòâ.
Ðàñïðåäåëèì
âñå
âîçìîæíûå
ìíîæåñòâà
íà äâà
êëàññà. Ê
ïåðâûì
îòíåñåì òå
ìíîæåñòâà,
êîòîðûå íå
ñîäåðæàò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ñâîèõ
ýëåìåíòîâ.
Êî âòîðîìó îòíåñåì
âñå îñòàëüíûå,
ò. å. êîòîðûå
ñîäåðæàò
ñåáÿ â êà÷åñòâå
ñâîèõ ýëåìåíòîâ.
Ðàññìîòðèì
ïåðâûé êëàññ
ìíîæåñòâ. Ýòîò
êëàññ
ìíîæåñòâ â
ñâîþ î÷åðåäü
ÿâëÿåòñÿ
íåêîòîðûì
ìíîæåñòâîì N, à
ïîòîìó
ïðèíàäëåæèò
ê ïåðâîìó èëè
êî âòîðîìó
êëàññó.
Äîïóñòèì,
÷òî
ìíîæåñòâî N
ïðèíàäëåæèò
ê ïåðâîìó êëàññó.
Ïåðâûé êëàññ
ýòî êëàññ
ìíîæåñòâ,
êàæäîå èç
êîòîðûõ íå
ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå ýëåìåíòà.
Íî åñëè N
ïðèíàäëåæèò
ê ïåðâîìó
êëàññó, òî
òàê êàê ìíîæåñòâî
N åñòü
ìíîæåñòâî
âñåõ ìíîæåñòâ
ïåðâîãî
êëàññà, îíî
äîëæíî
ñîäåðæàòü è ñåáÿ
â êà÷åñòâå
ýëåìåíòà.
Èòàê, åñëè
ìíîæåñòâî N íå
ñîäåðæèò
ñåáÿ â êà÷åñòâå
ýëåìåíòà, òî
îíî ñîäåðæèò
ñåáÿ â êà÷åñòâå
ýëåìåíòà,
ñëåäîâàòåëüíî
íåëüçÿ ïðåäïîëàãàòü,
÷òî
ìíîæåñòâî N ïðèíàäëåæèò
ê ïåðâîìó
êëàññó.
Ïðåäïîëîæèì
òåïåðü, ÷òî
ìíîæåñòâî N
ïðèíàäëåæèò
êî âòîðîìó
êëàññó, ò. å.
ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà. Íî
ýëåìåíòàìè
ìíîæåñòâà N ÿâëÿþòñÿ
òîëüêî
ìíîæåñòâà,
íå ñîäåðæàùèå
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà.
Ñëåäîâàòåëüíî,
åñëè N
ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà, òî N íå
ñîäåðæèò
ñåáÿ â êà÷åñòâå
ýëåìåíòà. Ìû
îïÿòü ïðèøëè
ê ïðîòèâîðå÷èþ
è âûíóæäåíû
ïðèçíàòü,
÷òî
ìíîæåñòâî N íå
ìîæåò íè
ïðèíàäëåæàòü,
íè íå
ïðèíàäëåæàòü
ê ïåðâîìó
êëàññó.
 íàøå
âðåìÿ
èçâåñòíû è
äðóãèå
ïàðàäîêñû.
4. Àêñèîìàòè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ
òåîðèè ìíîæåñòâ ïî Öåðìåëî
Ñ íà÷àëà XX
âåêà è äî
íàøèõ äíåé
íå ïðåêðàùàþòñÿ
ïîïûòêè
ïðåîäîëåòü
òðóäíîñòè,
ñâÿçàííûå ñ
ïîñòðîåíèåì
è ïàðàäîêñàìè
òåîðèè
ìíîæåñòâ.
Óñòàíîâëåííûå
â ýòîì
íàïðàâëåíèè
ðåçóëüòàòû
íå ïîëó÷èëè,
îäíàêî,
âñåîáùåãî
ïðèçíàíèÿ.
Åñëè è ìîæíî
ãîâîðèòü î
öåííûõ
ðåçóëüòàòàõ,
çäåñü
íàéäåííûõ,
òî â ïåðâóþ
î÷åðåäü â
ñâÿçè ñ
ðàçëè÷íûìè
âàðèàíòàìè
àêñèîìàòè÷åñêîãî
ïîñòðîåíèÿ
òåîðèè
ìíîæåñòâ.
Âïåðâûå
àêñèîìàòè÷åñêîå
ïîñòðîåíèå
òåîðèè
ìíîæåñòâ
îñóùåñòâèë
Ý.Öåðìåëî â 1908
ãîäó.
Âïîñëåäñòâèè
àêñèîíîìàòèêà
Öåðìåëî áûëà
äîïîëíåíà è
âèäîèçìåíåíà
â ðàáîòàõ
À.Ôðåíêåëÿ (1922,
1925), Ò. Ñêîëåìà
(1922-1923, 1929), Äæ.Íåéìàíà
(1925, 1928), Ï.
Áåðíàéñà (1937-1954)
è äðóãèõ
ìàòåìàòèêîâ.
Òàê, Ôðåíêåëü
äîïîëíèë
àêñèîíîìàòèêó
Öåðìåëî
îäíîé
àêñèîìîé,
ïîñëå ÷åãî
ïîëó÷èëàñü
íîâàÿ
ñèñòåìà
àêñèîì — å¸
íàçâàëè ñèñòåìîé
Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ
áîëåå
ñèëüíàÿ, ÷åì èñõîäíàÿ
ñèñòåìà
àêñèîì
Öåðìåëî. Â
îòëè÷èå îò
ñèñòåìû
Öåðìåëî,
îáîçíà÷àåìîé
îáû÷íî
áóêâîé Z,
ñèñòåìó
Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ
îáîçíà÷àþò
äâóìÿ
áóêâàìè: ZF. Ñ
ïîìîùüþ ZF
ìîæíî ïîëó÷èòü
ðÿä
ôóíäàìåíòàëüíûõ
ðåçóëüòàòîâ,
íå äîêàçóåìûõ
ñ ïîìîùüþ Z.
Öåðìåëî
ñôîðìóëèðîâàë
ñèñòåìó
àêñèîì, â êîòîðîé
îïèñàë
íåêîòîðûå
ñâîéñòâà
ìíîæåñòâ.
Îñòàëüíûå
ñâîéñòâà
ìíîæåñòâ,
óñòàíîâëåííûå
â òåîðèè
ìíîæåñòâ
Êàíòîðà, Öåðìåëî
ïûòàëñÿ
âûâåñòè èç
ñâîèõ àêñèîì.
Îñíîâíîé
çàìûñåë
Öåðìåëî
ñîñòîÿë â
òîì, ÷òîáû
îãðàíè÷èòü
îáëàñòü
ïðèìåíåíèÿ
àêñèîíîìàòèêè
Z òîëüêî
òàêèìè
ìíîæåñòâàìè,
ðàññìîòðåíèå
êîòîðûõ íå
ïðèâîäèò ê
ïàðàäîêñàì.
Âïîñëåäñòâèè,
ïðè
ðàçðàáîòêå
íîâûõ âàðèàíòîâ
àêñèîíîìàòèêè
òåîðèè
ìíîæåñòâ,
ýòà îãðàíè÷èòåëüíàÿ
òåíäåíöèÿ ïîëó÷èëà
âñåîáùåå
ïðèçíàíèå.
Ïîçâîëèòåëüíî,
îäíàêî,
äóìàòü, ÷òî â
îäíîì
ñóùåñòâåííîì
ïóíêòå îíà
íå îòâå÷àåò
îñíîâíûì
óñòàíîâêàì
è çàìûñëó
ñàìîãî Ã.
Êàíòîðà. Êàíòîð
ñòðåìèëñÿ
ðàçâèòü
òåîðèþ
ìíîæåñòâ âî
âñåé
îáùíîñòè,
êàê òåîðèþ,
îòíîñÿùóþñÿ
ê ëþáûì
ìíîæåñòâàì;
íàçâàííàÿ
îãðàíè÷èòåëüíàÿ
òåíäåíöèÿ
áûëà äëÿ íåãî
ñîâåðøåííî
÷óæäîé.
Åñëè
ïðèíÿòü
ñèñòåìó Z, òî
â íåêîòîðûõ
ñóùåñòâåííûõ
ïóíêòàõ
òåîðèÿ
ìíîæåñòâ
Êàíòîðà
ïîëó÷èò
äîñòàòî÷íîå
îáîñíîâàíèå.
Îáóñëîâëèâàåòñÿ
ýòî
ñëåäóþùèìè
ïðè÷èíàìè.  ñèñòåìå
Öåðìåëî
èìååòñÿ òàê
íàçûâàåìàÿ
àêñèîìà
âûáîðà
(ðàíüøå å¸
îáû÷íî
íàçûâàëè ïðîñòî
àêñèîìîé
Öåðìåëî: â
äàëüíåéøåì
ìû ÷àñòî
áóäåì
íàçûâàòü å¸
èìåííî òàê):
Åñëè
äàíî
ìíîæåñòâî Ì,
ñîñòîÿùåå
èç ìíîæåñòâ
N, íå ïóñòûõ è
áåç îáùèõ
ýëåìåíòîâ,
òî èç
êàæäîãî ìíîæåñòâà
N ìîæíî
âûáðàòü ïî
îäíîìó
ýëåìåíòó;
ñîâîêóïíîñòü
âûáðàííûõ
ýëåìåíòîâ îáðàçóåò
íîâîå
ìíîæåñòâî Ð.
Âïîñëåäñòâèè
îðòîäîêñàëüíûå
ïîñëåäîâàòåëè
Ã. Êàíòîðà
íåðåäêî
èçìåíÿëè
ôîðìóëèðîâêó
àêñèîìû
Öåðìåëî òàê,
÷òî îíà
ñòàíîâèëàñü
óòâåðæäåíèåì
ñóùåñòâîâàíèÿ:
Äëÿ
êàæäîãî
ìíîæåñòâà Ì
ìíîæåñòâ N, íå
ïóñòûõ è íå
èìåþùèõ
îáùèõ ýëåìåíòîâ,
ñóùåñòâóåò
(ïî êðàéíåé
ìåðå îäíî) ìíîæåñòâî
Ð, ñîäåðæàùåå
ïî îäíîìó è
òîëüêî
îäíîìó
ýëåìåíòó èç
êàæäîãî ìíîæåñòâà
N.
Óòâåðæäåíèå
ñóùåñòâîâàíèÿ
ìíîæåñòâà Ð
ïîíèìàëîñü,
êîíå÷íî, â
ñìûñëå
Êàíòîðà.
Îïèðàÿñü
íà ýòó
àêñèîìó
Öåðìåëî
äîêàçàë, ÷òî âñÿêîå
ìíîæåñòâî
ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåíî
â ôîðìå
âïîëíå
óïîðÿäî÷åííîãî
ìíîæåñòâà, ò.
å., ÷òî
ìîùíîñòü
ëþáîãî
ìíîæåñòâà
åñòü àëåîð.
Êàê
óêàçûâàëîñü
âûøå, ýòîò
ôàêò
îáåñïå÷èâàåò
âîçìîæíîñòü
ïîñòðîåíèÿ
àðèôìåòèêè
êàðäèíàëüíûõ
òðàíñôèíèòíûõ
÷èñåë ïî÷òè
âî âñåé
îáùíîñòè. Äîñòàòî÷íî
ñêàçàòü, ÷òî
àêñèîìà
Öåðìåëî
ïîçâîëÿåò
ðåøèòü â
óòâåðäèòåëüíîì
ñìûñëå ïðîáëåìó
òðèõîòîìèè
è äàåò
îáîñíîâàíèå
òðàíñôèíèòíîé
èíäóêöèè.
Òîëüêî
ãèïîòåçà
êîíòèíóóìà
îñòàâàëàñü
ïî ïðåæíåìó çàãàäêîé.
Öåðìåëî ìîã
óòâåðæäàòü,
÷òî ìîùíîñòü
êîíòèíóóìà
åñòü àëåîð,
íî êàêîå
ìåñòî íà
øêàëå
àëåîðîâ
çàíèìàåò Ñ — ýòî
îñòàâàëîñü
íåèçâåñòíûì.
Ê ýòîìó ìîæíî
òîëüêî
ïðèáàâèòü,
÷òî
äîêàçàòåëüñòâà
ýêâèâàëåíòíîñòè
äðóã äðóãó
íåêîòîðûõ ôîðì
ãèïîòåçû
êîíòèíóóìà
òàêæå
îïèðàþòñÿ
íà àêñèîìó
Öåðìåëî.
Áîëåå
äåñÿòè ëåò ñ
ìîìåíòà
îïóáëèêîâàíèÿ
ìåìóàðîâ Öåðìåëî
ïðèëîæåíèÿ
àêñèîìû
âûáîðà
îãðàíè÷èâàëèñü
îáëàñòüþ
òåîðèè
ôóíêöèé
äåéñòâèòåëüíîãî
ïåðåìåííîãî.
Êðîìå óêàçàííûõ,
ìîæíî,
íàïðèìåð,
óïîìÿíóòü
ïðèëîæåíèÿ
ýòîé
àêñèîìû â
òåîðèè
òî÷å÷íûõ
ìíîæåñòâ è, â
÷àñòíîñòè,
â òåîðèè
èçìåðèìûõ
ìíîæåñòâ.
 20-õ è 30-õ
ãîäàõ ÕÕ
âåêà ïîëå
ïðèëîæåíèÿ
àêñèîìû
Öåðìåëî
çíà÷èòåëüíî
ðàñøèðèëîñü.
Ìîæíî,
íàïðèìåð,
óêàçàòü íà
èññëåäîâàíèÿ
Áèðêãîôà
ñèñòåì
äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé, â
êîòîðûõ îí
ïðèìåíÿë
òðàíñôèíèòíóþ
èíäóêöèþ. Îñîáåííî
âàæíî
óêàçàòü íà
òåîðèþ
ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ,
êîòîðóþ Æ.
Àäàìàð â
íà÷àëå 30-õ ãîäîâ
íàçûâàë
íàèáîëåå
ñèëüíûì ìåòîäîì
èññëåäîâàíèÿ
ñîâðåìåííîé
ìàòåìàòèêè.
Òåîðèÿ ëèíåéíûõ
îïåðàòîðîâ
ðàçâèâàåòñÿ
íà áàçå îáùåãî
ó÷åíèÿ î
ìíîæåñòâàõ
è ïîëüçóåòñÿ
àêñèîìîé
Öåðìåëî äëÿ
óñòàíîâëåíèÿ
íåêîòîðûõ
âàæíåéøèõ
ñâîèõ
ïðåäëîæåíèé.
Øèðîêîå ïîëå
äëÿ ïðèìåíåíèÿ
àêñèîìû
Öåðìåëî äàëè
àëãåáðà è òîïîëîãèÿ.
Ñâîåîáðàçèå
àêñèîìû
Öåðìåëî
çàêëþ÷àåòñÿ
â òîì, ÷òî
îíà íå
òîëüêî
ÿâëÿåòñÿ
îðóäèåì
îòûñêàíèÿ
íîâûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ôàêòîâ è
ïðèäàåò
èçâåñòíóþ
îáùíîñòü
ó÷åíèþ î
ìíîæåñòâàõ,
íî è óñóãóáëÿåò
òðóäíîñòè
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè.
Îäíà èç
òðóäíîñòåé
ñîñòîèò â
òîì, ÷òî, ðàññìàòðèâàÿ
âïîëíå
îïðåäåëåííûå
(â ñìûñëå Êàíòîðà)
ìíîæåñòâà, ñ
ïîìîùüþ
àêñèîìû
Öåðìåëî
ìîæíî
äîêàçàòü
ñóùåñòâîâàíèå
ìíîæåñòâ,
íåîïðåäåëèìûõ
â ñìûñëå
Êàíòîðà. Âîò
ïðèìåð.
Ðàññìîòðèì
âñå ôóíêöèè
äåéñòâèòåëüíîãî
ïåðåìåííîãî õ,
îïðåäåëåííûå
íà ñåãìåíòå
[0, 1] è íå ðàâíûå
íà ýòîì
ñåãìåíòå
òîæäåñòâåííî
íóëþ. Ðàçäåëèì
ýòè ôóíêöèè
íà ïàðû,
îòíîñÿ â
îäíó ïàðó
òàêèå äâå ôóíêöèè,
êîòîðûå
îòëè÷àþòñÿ
òîëüêî çíàêîì,
ò. å.
ôóíêöèè f(x)ï–f(x). Ïî
àêñèîìå
Öåðìåëî
ñóùåñòâóåò
ìíîæåñòâî Ð,
âêëþ÷àþùåå
ïî îäíîé è
òîëüêî îäíîé
ôóíêöèè
êàæäîé ïàðû.
Ñëåäîâàòåëüíî,
ñîãëàñíî àêñèîìå
Öåðìåëî, ìîæíî
óòâåðæäàòü
ñóùåñòâîâàíèå
Ð
ôóíêöèé
äåéñòâèòåëüíîãî
ïåðåìåííîãî õ,
îïðåäåëÿåìûõ
íà ñåãìåíòå
[0, 1] è íå ðàâíûõ
íà ýòîì
ñåãìåíòå
òîæäåñòâåííî
íóëþ, òàêîãî,
÷òî
à) êàêîâû
áû íè áûëè
ôóíêöèè f1 è f2
ìíîæåñòâà Ð,
âñåãäà ;
á) êàêîâà
áû íè áûëà
ôóíêöèÿ j(õ),
îïðåäåëåííàÿ
íà ñåãìåíòå
[0, 1] è íå ðàâíàÿ
íà íåì
òîæäåñòâåííî
íóëþ,
ñóùåñòâóåò
îäíà è
òîëüêî îäíà
ôóíêöèÿ f ìíîæåñòâà
Ð,
òàêàÿ, ÷òî
ëèáî f+j=0,
ëèáî f–j=0
äëÿ ëþáîãî õ, .
Îäíàêî
ìíîæåñòâî Ð íå
îïðåäåëåíî â
ñìûñëå
Êàíòîðà, òàê
êàê ìû íå
ìîæåì
ñêàçàòü î
ëþáîé
ôóíêöèè j(õ),
ïîä÷èíÿþùåéñÿ
âûñòàâëåííûì
óñëîâèÿì,
ïðèíàäëåæèò
ëè îíà Ð
èëè íå
ïðèíàäëåæèò.
Äðóãàÿ
òðóäíîñòü
ñîñòîèò â
òîì, ÷òî ñ ïîìîùüþ
àêñèîìû
Öåðìåëî
÷àñòî
âîçìîæíî îïðåäåëèòü
êëàññ
ìíîæåñòâ, â
òî âðåìÿ êàê
íè îäíîãî
îáúåêòà èç
ýòîãî
êëàññà
îïðåäåëèòü
(ðàçëè÷èòü)
íå óäàåòñÿ.
Íàïðèìåð,
ñîãëàñíî
àêñèîìå
Öåðìåëî
ñóùåñòâóåò êëàññ
íåèçìåðèìûõ
ìíîæåñòâ.
Îäíàêî äî ñèõ
ïîð íèêòî íå
ñìîã
ïîñòðîèòü
(äàòü) èíäèâèäóàëüíîãî
ïðèìåðà íåèçìåðèìîãî
ìíîæåñòâà.
5. Ïðîáëåìà ñóùåñòâîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå
 êîíöå XIX è
íà÷àëå ÕÕ
âåêà
èññëåäîâàíèÿ
ïî âîïðîñàì
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè
èìåëè
ïðåèìóùåñòâåííî
ïðåîäîëåíèå
ñëåäóþùèõ
îñíîâíûõ
òðóäíîñòåé.
1. Òåîðèÿ
ìíîæåñòâ
ñòàëà â ýòî
âðåìÿ ôóíäàìåíòîì
ìàòåìàòèêè,
à å¸ ìåòîäû —
îñíîâîé
ìåòîäîâ
âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ
äèñöèïëèí.
Âìåñòå ñ òåì
ñàìà òåîðèÿ
ìíîæåñòâ
îêàçàëàñü
íåîáîñíîâàííîé
â ðÿäå ðåøàþùèõ
ïóíêòîâ
(ãèïîòåçà
êîíòèíóóìà,
ïðîáëåìà
óïîðÿäî÷èâàíèÿ).
2. Â
òåîðèè
ìíîæåñòâ
áûëè
îáíàðóæåíû
ïàðàäîêñû
(àíòèíîìèè),
óñòðàíåíèå
êîòîðûõ — êàê
ïîêàçàëè
èññëåäîâàíèÿ
ìàòåìàòèêîâ
è ëîãèêîâ,
íà÷èíàÿ ñ
Ðàññåëà —
îêàçàëîñü
îòíþäü íå
ïðîñòûì äåëîì.
3. Ïàðàäîêñû
òåîðèè
ìíîæåñòâ
îêàçàëèñü
èìåþùèìè íå
òîëüêî
ìàòåìàòè÷åñêóþ,
íî è ëîãè÷åñêóþ
ïðèðîäó; â
ýòîé ñâÿçè
åñòåñòâåííî
âîçíèê
âîïðîñ î
ñðåäñòâàõ ëîãèêè,
äîïóñòèìûõ
â
ìàòåìàòèêå.
Ýòè
òðóäíîñòè
ïîñòàâèëè
ïåðåä
ìàòåìàòèêàìè
ïðîáëåìó
ïîíèìàíèÿ
ñóùåñòâîâàíèÿ
â
ïðèìåíåíèè
ê
ìàòåìàòè÷åñêèì
îáúåêòàì.
×òîáû
ëó÷øå
óÿñíèòü
ñìûñë
ïðîáëåìû
ñóùåñòâîâàíèÿ,
óñòàíîâè
ñíà÷àëà
ðàçëè÷èå
ìåæäó òàê
íàçûâàåìûìè
ýôôåêòèâíûìè
è
íåýôôåêòèâíûìè
äîêàçàòåëüñòâàìè
ñóùåñòâîâàíèÿ.
Ýòè
ðàçëè÷èÿ ìû
ïîñòàðàåìñÿ
îïèñàòü
ñîîòâåòñòâåííî
ïðåäñòàâëåíèÿì,
ãîñïîäñòâîâàâøèõ
â ìàòåìàòèêå
ïðèìåðíî äî
êîíöà 20-õ —
íà÷àëà 40-õ
ãîäîâ ÕÕ
âåêà.
Äîêàæåì,
÷òî êàêîâû
áû íè áûëè
íàòóðàëüíûå
÷èñëà Ð1,
, Ðï,
ñóùåñòâóåò
íàòóðàëüíîå
÷èñëî Ð,
âçàèìíî
ïðîñòîå ñ êàæäûì
èç ýòèõ
÷èñåë.
Ðàññìîòðèì
÷èñëî Ð=Ð1*…*Ðï+1;
ïðè äåëåíèè
íà ëþáîå èç
÷èñåë Ð1,
, Ðï
ýòî ÷èñëî
äàåò â
îñòàòêå 1.
Ñëåäîâàòåëüíî,
îíî âçàèìíî
ïðîñòîå ñ
êàæäûì èç
÷èñåë Ð1,
, Ðï.
Èòàê, ÷èñëî Ð ñóùåñòâóåò.
Ýòî
äîêàçàòåëüñòâî
ýôôåêòèâíî.
Ìû äîêàçàëè
ñóùåñòâîâàíèå
÷èñëà Ð
òåì, ÷òî
ïîêàçàëè,
êàê ñ
ïîìîùüþ
îáû÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ
äåéñòâèé
íàéòè ýòî
÷èñëî. Ê ÷èñëó
ýôôåêòèâíûõ
äîêàçàòåëüñòâ
îòíîñÿòñÿ
òàêæå
äîêàçàòåëüñòâà
ôîðìóë äëÿ ðåøåíèÿ
àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé
òðåòüåé è
÷åòâåðòîé
ñòåïåíåé,
äîêàçàòåëüñòâî
ñóùåñòâîâàíèÿ
îïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà
îò
íåïðåðûâíîé
ôóíêöèè è ò. ï.
Ïðè ýòîì,
åñòåñòâåííî,
ñ÷èòàþòñÿ
îáîñíîâàííûìè
ñîîòâåòñòâóþùèå
àëãåáðàè÷åñêèå
îïåðàöèè,
àðèôìåòèêà
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë è
îïåðàöèÿ
ïåðåõîäà ê ïðåäåëó.
Âîîáùå
âñÿêîå
ýôôåêòèâíîå
äîêàçàòåëüñòâî
òåì è õàðàêòåðèçóåòñÿ,
÷òî ñ
ïîìîùüþ òàê
èëè èíà÷å
îáîñíîâàííûõ
ïîñûëîê îíî
ïîçâîëÿåò èíäèâèäóàëüíî
îõàðàêòåðèçîâàòü
(âû÷èñëèòü,
ïîñòðîèòü è
ò. ï.) îáúåêò,
ñóùåñòâîâàíèå
êîòîðîãî
äîêàçûâàþò.
Ðàññìîòðèì
òåïåðü
äðóãîé
ïðèìåð. ÷èñëî
íàçûâàåòñÿ
àëãåáðàè÷åñêèì,
åñëè îíî
ÿâëÿåòñÿ
êîðíåì êàêîãî-ëèáî
àëãåáðàè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ ñ
öåëûìè
êîýôôèöèåíòàìè.
Íàïðèìåð,
÷èñëî àëãåáðàè÷åñêîå,
ò. ê. îíî
ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
óðàâíåíèÿ õ2–2=0.
Íàïðîòèâ,
÷èñëî, íå
óäîâëåòâîðÿþùåå
íèêàêîìó àëãåáðàè÷åñêîìó
óðàâíåíèþ ñ
öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè,
íàçûâàåòñÿ
òðàíñöåíäåíòíûì
÷èñëîì.
Äîêàæåì, ñëåäóÿ
Êàíòîðó, ñóùåñòâîâàíèå
òðàíñöåíäåíòíûõ
÷èñåë. Èçâåñòíî,
÷òî
ìíîæåñòâî
âñåõ
àëãåáðàè÷åñêèõ
÷èñåë
ñ÷¸òíî, â òî
âðåìÿ êàê
ìíîæåñòâî
âñåõ
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë
íåñ÷¸òíî.
Åñëè áû
òðàíñöåíäåíòíûå
÷èñëà íå
ñóùåñòâîâàëè,
êàæäîå
äåéñòâèòåëüíîå
÷èñëî áûëî
áû
àëãåáðàè÷åñêèì
è, ñëåäîâàòåëüíî,
ìíîæåñòâî
âñåõ
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë áûëî
áû ñ÷åòíûì.
÷òîáû
èçáåæàòü
ïðîòèâîðå÷èÿ
îñòàåòñÿ
ïðèíÿòü, ÷òî
òðàíñöåíäåíòíûå
÷èñëà ñóùåñòâóþò,
õîòü
äîêàçàòåëüñòâî
íå äàåò íàì
íè îäíîãî
ïðèìåðà
òðàíñöåíäåíòíîãî
÷èñëà. Ýòî
ïðèìåð
íåýôôåêòèâíîãî
äîêàçàòåëüñòâà.
 íåýôôåêòèâíûõ
äîêàçàòåëüñòâàõ
ñóùåñòâîâàíèÿ
(îñíîâàííûå,
íàïðèìåð, íà
ïðèíöèïå
èñêëþ÷åííîãî
òðåòüåãî) íå
äàåòñÿ íèêàêîãî
ïðèìåðà
îáúåêòîâ,
ñóùåñòâîâàíèå
êîòîðûõ
äîêàçûâàåòñÿ.
Ïàðàäîêñû
òåîðèè
ìíîæåñòâ
ÿâèëèñü
äîïîëíèòåëüíûì
(íî íå
åäèíñòâåííûì)
îñíîâàíèåì
ïîñòàâèòü
ïîä
ñîìíåíèå íå
òîëüêî ýôôåêòèâíûå
äîêàçàòåëüñòâà
ñóùåñòâîâàíèÿ,
áàçèðóþùèåñÿ
íà àêñèîìå
Öåðìåëî, íî è
ëþáûå
íåýôôåêòèâíûå
äîêàçàòåëüñòâà
ñóùåñòâîâàíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
îáúåêòîâ.
Ìîæíî ëè,
ñïðàøèâàëè
ìàòåìàòèêè,
âûñêàçûâàâøèå
ýòè
ñîìíåíèÿ, ñ÷èòàòü
ñóùåñòâóþùèì
ìàòåìàòè÷åñêèé
îáúåêò,
êîòîðûé ìû
íå óìååì
ïîñòðîèòü,
ìíîæåñòâî,
íå îäíîãî
ýëåìåíòà
êîòîðîãî ìû
íå ñóìååì
óêàçàòü?
Êàêîå
çíà÷åíèå
èìåëè
ñîìíåíèÿ â
ïðàâîìåðíîñòè
íåýôôåêòèâíûõ
äîêàçàòåëüñòâ
ñóùåñòâîâàíèÿ
äëÿ
ìàòåìàòèêè
íà÷àëà ÕÕ
âåêà? Î÷åíü
áîëüøîå! Îíè,
ïî ñóòè, ñòàâèëè
ïîä ñîìíåíèå
êîíöåïöèþ
Êàíòîðà,
òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå
îáîñíîâàíèå
ìàòåìàòèêè
è ðÿä
êîíêðåòíûõ
ðåçóëüòàòîâ
êëàññè÷åñêèõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
òåîðèé.
Íîâîå â
ïîñòàíîâêå
ïðîáëåìû
ñóùåñòâîâàíèÿ
â
ìàòåìàòèêå
íà÷àëà ÕÕ
âåêà
ñîñòîÿëî â
òîì, ÷òî ýòà
ïðîáëåìà
ìíîãî øèðå è
ãëóáæå, ÷åì
ðàíüøå,
çàõâàòèëà
îñíîâíûå
âîïðîñû
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè
è ëîãèêè è
îêàçàëàñü
òåñíî
ñâÿçàííîé è
ñ ôèëîñîôèåé.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû.
1. È. Í.
Áóðîâà.
Ïàðàäîêñû
òåîðèè
ìíîæåñòâ è äèàëåêòèê.
2. À. Í.
Êîëìîãîðîâ.
Ìàòåìàòèêà
â å¸
èñòîðè÷åñêîì
ðàçâèòèè.
3. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ýíöèêëîïåäèÿ.
4. Â. Í.
Ìîëîäøèé.
Î÷åðêè ïî
ôèëîñîôñêèì
âîïðîñàì
ìàòåìàòèêè.
5. Ã. È.
Ðóçàâèí. Î
ïðèðîäå
ìàòåìàòè÷åñêîãî
çíàíèÿ.
6. Ôèëîñîôñêèå
ïðîáëåìû
åñòåñòâîçíàíèÿ. Ïîä ðåä.
Ñ. Ò. Ìèëþõèíà.
7. È. Ç.
Öåõìèñòðî.
Äèàëåêòèêà
ìíîæåñòâåííîãî
è åäèíîãî.
8. Ñ. À.
ßíîâñêàÿ.
Ìåòîäîëîãè÷åñêèå
ïðîáëåìû íàóêè.
|
