Теория вероятностей и математическая статистика
Задача 1.
Генерация случайных чисел с
заданным законом распределения с помощью случайных чисел, равномерно
распределенных на интервале (0,1):
a) используя
центральную предельную теорему, с помощью сумм 6 независимых равномерно
распределенных на интервале (0,1) случайных чисел получить 25 случайных числа
со стандартным нормальным законом распределения; найти выборочное среднее и
выборочную дисперсию;
b) получить
11 случайных чисел с законом распределения Стьюдента с 10 степенями свободы;
найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.
Решение:
С помощью сумм 6 независимых
равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных чисел получим 24
случайных числа со стандартным нормальным законом распределения по формуле
,
где zi -
равномерно распределенные на интервале (0,1) случайные числа.
Получены следующие числа: -1.235 -0.904 -1.674 1.918 -0.335 1.082 -0.584 -0.565 0.149 0.528 1.076 1.011 0.671 -1.011 -1.502 0.627 -0.489 -0.486 1.022 -0.472 -0.844 0.92 -0.583 0.645 -0.495
Найдем выборочное среднее по формуле
Найдем выборочную дисперсию по
формуле
Получим 11 случайных чисел с
законом распределения Стьюдента с 10 степенями свободы:
Случайные числа, распределенные по закону «хи квадрат» с 10 степенями свободы:
, где xi – нормальные независимые
случайные величины.
Случайные числа, распределенные
по закону Стьюдента с 10 степенями свободы:
, где x – нормальная
случайная величина, а c2 – независимая от x величина, которая распределена по закону «хи квадрат» с 10
степенями свободы.
Получены следующие числа: -0.58 -2.496 -0.06 -0.932 1.547 0.418 1.658 1.51 -0.171 -0.821 -1.728
Найдем выборочное среднее по
формуле
Найдем выборочную дисперсию по
формуле
Задача 2.
Проверка статистической гипотезы:
a)
получить 100 случайных чисел {x1,…,x100},
распределенных по показательному закону с параметром l = 1/6, найти такое наименьшее целое число N, что N ³ xk для всех k = 1,…,100;
b)
разделить отрезок
[0, N] на 10 равных отрезков; получить группированную выборку {n1,…,n10},
где ni – число чисел, попавших в i-ый интервал; построить
гистограмму относительных частот; по группированной выборке найти оценку lВ
параметра l;
c) проверить с помощью критерия «хи квадрат»
гипотезу о соответствии группированной выборки показательному распределению с
параметром lВ
при уровне значимости 0.05.
Решение:
Получим 100 случайных чисел {x1,…,x100},
распределенных по показательному закону с параметром l = 1/6: 4,9713 3,2905 2,7849 4,1093 2,1764 9,9659 10,343 4,6924 13,966 14,161 0,4258 0,6683 8,8884 5,3392 2,7906 4,7696 3,0867 0,9414 2,8222 3,4177 10,148 3,5312 8,4915 3,0179 3,2209 4,2259 1,8006 2,8645 1,3051 3,3094 0,5557 1,9075 2,4227 6,9307 7,1085 13,322 0,9665 11,19 15,203 2,6685 3,6408 5,3646 4,5871 11,277 1,823 1,142 0,8126 7,2223 12,371 1,4527 2,9692 15,762 2,5493 13,533 8,8944 0,5005 2,4678 4,2491 4,1972 4,0488 2,2424 3,0025 30,785 13,778 0,8824 1,7475 5,8036 3,5565 0,2718 10,404 12,166 0,297 21,487 17,302 12,166 0,875 1,9573 25,326 2,0727 9,1516 10,669 6,4555 6,005 1,3209 3,8486 1,3525 11,593 5,4617 11,946 16,293 3,3376 3,6084 7,0011 1,279 7,5471 0,6641 1,776 6,1109 8,857 8,8327
Находим такое наименьшее целое
число N, что N ³ xk для всех k = 1,…,100:
N = 31
Разделяем отрезок [0, 31] на
10 равных отрезков и получим группированную выборку {n1,…,n10},
где ni – число чисел, попавших в i-ый интервал: xi Xi+1 ni ni/n 0 3,1 39 0,39 3,1 6,2 25 0,25 6,2 9,3 12 0,12 9,3 12,4 12 0,12 12,4 15,5 6 0,06 15,5 18,6 3 0,03 18,6 21,7 1 0,01 21,7 24,8 0 0 24,8 27,9 1 0,01 27,9 31 1 0,01
Гистограмма относительных частот:
Находим выборочное среднее по формуле
По группированной выборке находим оценку lВ параметра l по формуле
Проверяем с помощью критерия «хи квадрат» гипотезу о соответствии
группированной выборки показательному распределению с параметром lВ
при уровне значимости 0.05:
Находим вероятности попадания X в частичные интервалы (xi, xi+1)
по формуле
Вычисляем теоретические частоты
по формуле xi Xi+1 ni Pi fi (ni - fi)2 / fi 0 3,1 39 0,3955 39,55 0,0076 3,1 6,2 25 0,2391 23,91 0,0499 6,2 9,3 12 0,1445 14,45 0,4162 9,3 12,4 12 0,0874 8,74 1,2188 12,4 15,5 6 0,0528 5,28 0,0977 15,5 18,6 3 0,0319 3,19 0,0116 18,6 21,7 1 0,0193 1,93 0,4482 21,7 24,8 0 0,0117 1,17 1,1668 24,8 27,9 1 0,0071 0,71 0,1231 27,9 31 1 0,0043 0,43 0,7717
Находим наблюдаемое значение
критерия по формуле
По таблице критических точек
распределения «хи квадрат», по заданному уровню значимости 0.05 и числу степеней свободы 8 находим
критическую точку
Гипотезу о соответствии группированной выборки
показательному распределению с параметром lВ не
отвергаем.
Задача 3.
Проверка гипотезы о равенстве
дисперсий:
a) получить
2 случайных числа, распределенных по стандартному нормальному закону с помощью
сумм 5 независимых равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных
чисел: аналогично, получить 9 случайных чисел, распределенных по стандартному
нормальному закону с помощью сумм 9 независимых равномерно распределенных на
интервале (0, 1) случайных чисел;
b) проверить
гипотезу о равенстве генеральных дисперсий полученных совокупностей при уровне
значимости 0.1.
Решение:
Получим 2 случайных числа,
распределенных по стандартному нормальному закону с помощью сумм 5 независимых
равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных чисел по формуле
,
где zi
- равномерно распределенные на
интервале (0, 1) случайные числа.
Получены следующие числа: -0,848 -1,662
Получим 9 случайных числа,
распределенных по стандартному нормальному закону с помощью сумм 9 независимых
равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных чисел по формуле
,
где zi
- равномерно распределенные на
интервале (0, 1) случайные числа.
Получены следующие числа: 0.885 1.25 -0.365 -1.139 0.891 -1.176 0.237 1.807 -0.96
Проверим гипотезу о равенстве
генеральных дисперсий полученных совокупностей при уровне значимости 0.1:
Найдем выборочное среднее первой
совокупности по формуле
Найдем выборочное среднее второй
совокупности по формуле
Найдем исправленную дисперсию
первой совокупности по формуле
Найдем исправленную дисперсию
второй совокупности по формуле
Вычислим наблюдаемое значение
критерия (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей) по формуле
По таблице критических точек
распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости 0.1 и числам
степеней свободы 1 и 9 найдем критическую точку
Гипотезу о равенстве генеральных
дисперсий полученных совокупностей при уровне значимости 0.1 не отвергается.
Задача 4.
Уравнение линии регрессии:
a) получить
50 случайных независимых значений {x1,…,x50} случайной
величины X, равномерно распределенной на интервале (0, 9); получить 50
случайных независимых значений {y1,…,y50} случайной
величины Y следующим образом: yi – случайное число, распределенное
по показательному закону с параметром
b) найти
уравнение прямой линии регрессии Y на X по этим данным;
c) проверить
с помощью критерия «хи квадрат» гипотезу о нормальном распределении с нулевым
математическим ожиданием отклонений имеющихся данных от прямой регрессии при
уровне значимости 0.05; при этом рассмотреть группированную выборку, разделив
отрезок [-Dmax, Dmax] на 5 равных частей, где Dmax – наибольшее по абсолютной
величине отклонение yi от линии регрессии.
Решение:
Получим 50 случайных независимых
значений {x1,…,x50} случайной величины X, равномерно
распределенной на интервале (0, 9): 8.83174196071923 6.99053263384849 8.93890746776015 0.385410904884338 5.75393992289901 4.51090870331973 0.00656201597303152 7.97929550148547 6.6076143393293 4.54793028719723 1.40597840119153 2.18026433419436 5.0019520400092 5.61958408355713 0.148369995877147 4.25108801946044 4.77254802547395 1.53819094598293 6.14594876859337 0.812219920568168 6.2368449093774 1.69562757108361 0.777272606268525 2.94200689997524 7.07131071947515 2.973582518287 8.08092284202576 2.89726528152823 8.8169469544664 3.27939590346068 0.570096284151077 8.46246168483049 2.00763375777751 2.70446146745235 8.67470343410969 1.92118153441697 1.92350933980197 1.31150823365897 1.80795181263238 3.65427995938808 8.97048242390156 2.54362053237855 0.0568648930639029 6.36279229167849 1.68422971665859 4.25911642424762 2.50030734948814 4.91532963048667 7.35895295999944 4.39228433836252
Получим 50 случайных независимых
значений {y1,…,y50} случайной величины Y следующим
образом: yi – случайное число, распределенное по показательному закону с
параметром : 24.9323592452182 15.7441606069719 15.5028112434691 2.87790855039727 4.16156795216443 0.190460347139702 0.252207251176988 5.55884492608762 11.5417165759534 11.8189116910915 9.57191092954621 6.48268208064067 10.6729845988228 11.9201379351172 0.0563900402236241 6.07239051882238 10.8341890845962 2.77373256888689 1.4735808529829 0.683544240471081 1.536352690789 0.100495382422226 6.48630115206778 1.01940005703768 6.79791391486788 2.34472037157293 2.06912254815368 3.42524848981833 9.45107565557296 3.18848770214796 1.69800713475763 2.42887690987151 6.18175839336735 4.85432860734921 3.12088295311468 0.14473630724364 0.312712437424258 1.16492882917332 2.95306149294792 6.38190212865322 0.293019110223049 0.664514453422601 3.47608211592645 20.3599120342622 1.45318365215952 9.23209976014301 0.965294785502523 6.29747102157127 6.46689933291391 3.14474865192493
Найдем уравнение прямой линии
регрессии Y на X по этим данным по формулам
Уравнение прямой линии регрессии
Y на X:
Получены следующие значения
отклонений имеющихся данных от прямой регрессии: 15.1803992483777 7.69319511536507 5.65184678474214 0.929060620003659 -2.74697588437076 -5.56971364166513 -1.34664251825399 -3.40558552590376 3.84450875080244 6.024535447371 6.68021544884769 2.87566537149934 4.45916201865442 5.13571824955786 -1.67346851299683 0.55225091890577 4.83230056456327 -0.240106987952807 -5.79711892247662 -1.65960963866345 -5.81832115202078 -3.05879142493402 4.17543322148284 -3.29134973659658 -1.32767811582337 -1.99520044159931 -6.98919595084991 -0.844166923187427 -0.287216028830924 -1.43395768887411 -0.421461708068378 -6.98192485416478 2.73422581111747 0.763034293093572 -6.48599757504491 -3.22292770452086 -3.0571021088348 -1.63949073262982 -0.309995654309725 1.41312147312541 -9.58711575629829 -3.27818755099385 1.8307602174006 12.8888821627727 -1.69557328905632 3.70454314781532 -2.93739249325208 0.163674237751803 -1.9244299300759 -2.50583465100064
Проверим с помощью критерия «хи
квадрат» гипотезу о нормальном распределении с нулевым математическим ожиданием
отклонений имеющихся данных от прямой регрессии при уровне значимости 0.05:
Найдем наибольшее по абсолютной
величине отклонение yi от линии регрессии:
Рассмотрим группированную
выборку, разделив отрезок [-Dmax,
Dmax] на 5 равных частей: zi zi+1 ni -15.1803992483777 -9.10823954902661 1 -9.10823954902661 -3.03607984967554 12 -3.03607984967554 3.03607984967554 25 3.03607984967554 9.10823954902662 10 9.10823954902662 15.1803992483777 2
Вычислим шаг:
Вычислим выборочное среднее по
формуле
Вычислим выборочное среднее
квадратическое отклонение по формуле
Вычислим теоретические
вероятности попадания в интервалы (zi, zi+1) по формуле
Вычислим теоретические частоты по формуле zi zi+1 ni Pi fi (ni - fi)2 / fi -15.1803992 -9.10823954 1 0.02546995 0.02546995 0.02546995 -9.10823954 -3.03607984 12 0.23264461 0.23264461 0.23264461 -3.03607984 3.036079849 25 0.48256076 0.48256076 0.48256076 3.036079849 9.108239549 10 0.23264461 0.23264461 0.23264461 9.108239549 15.18039924 2 0.02546995 0.02546995 0.02546995
По таблице критических точек
распределения «хи квадрат», по заданному уровню значимости 0.05 и числу
степеней свободы 3 находим критическую точку:
Гипотезу о
нормальном распределении с нулевым математическим ожиданием отклонений
имеющихся данных от прямой регрессии при уровне значимости 0.05 не отвергаем.
Реферат по математике на тему теория вероятности и математическая статистика. СООБЩЕНИЕ НА ТЕМУ ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Бесплатный реферат на тему теория вероятностей в математической статистике. Реферат на тему понятие о теории вероятностей и математической статистике. Реферат на тему элементы теории вероятностей и математической статистики. Элементы теории вероятностей Элементы математической статистики реферат. Из таблицы случайных чисел на удачу взято одно число теория вероятности. Реферат на тему элементы теории вероятности и математической статистики. Таблица критических точек распределения хи квадрат по уровню значимости. Расширенная таблица критические точки распределения Фишера Снедекора. Теория вероятности Таблица равномерно распределенных случайных чисел. Таблица равномерно распределенных случайных чисел и случайное число. Реферат понятие о теории вероятностей и математической статистике. Таблица значений критических точек распределения фишера снедекора. Элементы теории вероятностей и математической статистики реферат.
|
