Теория устойчивости
Теория устойчивости
Введение
Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.
Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.
1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.
Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
(1)
с начальными условиями x ( t
0
) = x
0
(2)
где x = ( x
1
, x
2
, ... , x
n ) - n - мерный вектор; t
О I = [t
0
, +
[ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;
f ( t, x ) = ( f
1 ( t , x ) , f
2 ( t , x ) , ... , f
n ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.
Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t
0 ) = x
0
. С целью упрощения все рисунки п. 1
0 ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.
Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве R
n+1 (рис.1)
Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t
0
, x
0
) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные
данные ( t
0 , x
0 ) изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим
образом: x ( t ) =
x ( t ; t
0 , x
0 ). Изменение этого решения в данной
математической модели с изменением начальных данных ( t
0 , x
0 )
приводят к существенному изменению решения x ( t ; t
0 , x
0 ) , приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку
начальные данные ( t
0 , x
0 ) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.
Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) =
x ( t ; t
0 , x
0 ) , вызванное отклонением
D x
0 начального значения x
0 , будем записывать следующим образом:
| x ( t ; t
0 , x
0
+
D x
0
) - x ( t ) | = | x ( t ; t
0 , x
0
+
D x
0
) - x ( t ; t
0 , x
0
) |.
Определение 1. Решение x ( t ) =
x ( t ; t
0 , x
0 ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x
0 на интервале I = = [ t
0
, +
[ , т.е.
"
e > 0
$
d > 0 такое, что
"
D x
0
|
D x
0 |
Ј
d
Ю | x ( t ; t
0 , x
0
+
D x
0
) - x ( t ) |
Ј
e
" t
t
0
.
Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t
® +
для достаточно малых
D x
0 , т.е.
$
D > 0
"
D x
0
.
|
D x
0 |
Ј
D
Ю | x ( t ; t
0 , x
0
+
D x
0
) - x ( t ) |
® 0 , t
® +
.
(3)
то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).
Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.
Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t
0 , x
0
+
D x
0
) , близкие в начальный момент t
0 к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах
d - трубки ) , не выходят за пределы
e - трубки при всех значениях t
t
0 .
2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x
1 ( t ) , начинающееся в момент t
0 в
D - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t ) (рис.2). Трубка радиуса
D называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x
2 ( t ), начинающееся при t = t
0
за пределами области притяжения, но в пределах
d - трубки, не покидает
e - трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).
Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t ; t
0 , x
0 ) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.
Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.
Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t
0 к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t
1 ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы
e - трубки (рис.3).
Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.
Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол
a ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия.
x
0 t
Рис.3 Рис.4
Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему
y’ = F ( t, y ).
(4)
где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F (t, 0)
0
" t
t
0
.
Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t)
0 системы (4).
В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0
" t
t
0
, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x ( t )
0 системы (1).
Определение 3. Нулевое решение x ( t )
0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если
"
e > 0
$
d =
d (
e ) > 0 такое, что
" x
0
|
D x
0 |
Ј
d
Ю | x ( t ; t
0 , x
0
) |
Ј
e
" t
t
0
.
Если кроме того,
$
D > 0
" x
0 |
D x
0 |
Ј
D
Ю | x ( t ; t
0 , x
0
) |
® 0 , t
® +
,
то решение x ( t )
0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .
Определение 4.
Нулевое решение x ( t )
0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.
$
e > 0
$ t
1 > t
0
"
d > 0 x
0
0 | x
0 |
Ј
d
Ю | x ( t ; t
0 , x
0
) | >
e .
Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x ( t )
0 системы (1) дана соответственно на рис.5-7.
2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.
Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме :
dx / dt = f ( x ).
(5)
Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.
Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная кривая
g , которую можно параметрически задать в виде x
i = x
i ( t ) ( i = 1, ... , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство R
n с координатами ( x
1 , ... , x
n ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t , x
1 = x
1 ( t ), ... , x
n = x
n ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству R
n+1 с координатами ( t , x
1
, x
2 , ... , x
n ) , а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство R
n параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2 , т.е. когда R
n+1 - трехмерное пространство, а фазовое пространство R
n - двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x
1 = x
1 ( t ) , x
2 = x
2
( t ), на рис.8,б - ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x
1 = x
1 ( t ) , x
2 = x
2
( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.
Определение 5. Точка ( a
1
, a
2 , ... , a
n ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f
1 , f
2 , ... , f
n системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0,
где a = ( a
1
, a
2 , ... , a
n ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) .
Если ( a
1 , ... , a
n ) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t )
0 , т.е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства R
n
. В пространстве R
n+1 точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.
Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.
Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R
2
, причем проекциями
e - трубки и
d - трубки являются окружности с радиусами
e и
d . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах
d - окружности, не покидают
e - окружность
" t
t
0 (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения
D , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой
e - окружности и всех
d > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).
Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид
dx / dt = A x,
(6)
где A - постоянная матрица размера n
n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.
3. Простейшие типы точек покоя.
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
ж dx / dt = P ( x , y ),
н
(A)
о dy / dt = Q ( x , y ).
Точка ( x
0
, y
0 ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x
0 , y
0 ) = 0 , Q ( x
0 , y
0 ) = 0.
Рассмотрим систему
ж dx / dt = a
11 x + a
12 y,
н
(7)
о dy / dt = a
21 x + a
22 y.
где a
ij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде
x =
a
1
e
k t
, y =
a
2
e
k t
.
(8)
Для определения k получаем характеристическое уравнение
a
11
- k a
12
= 0.
(9)
a
21
a
22 - k
Рассмотрим возможные случаи.
I.
Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :
1) k
1 < 0, k
2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).
2) k
1 > 0, k
2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k
1 > 0, k
2 < 0. Точка покоя неустойчива (седло).
4) k
1 = 0, k
2 > 0. Точка покоя неустойчива.
5) k
1 = 0, k
2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.
II.
Корни характеристического уравнения комплексные : k
1 = p + q i, k
2 = p - q i. Подслучаи :
1) p < 0 , q
0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).
2) p > 0 , q
0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).
3) p = 0, q
0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.
III.
Корни кратные
: k
1
= k
2 . Подслучаи :
1) k
1 = k
2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).
2) k
1 = k
2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k
1 = k
2 = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.
Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
dx
i
n
=
е a
i j
x
j ( i = 1 , 2 , ... , n )
(10)
dt
i=1
характеристическим уравнением будет
a
11
- k a
12
a
13
... a
1n
a
21
a
22
- k a
23 ... a
2n
= 0.
(11)
. . . . . . . .
a
n1
a
n2
a
n3 ... a
nn
- k
1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя x
i ( t )
0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотически устойчива.
2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k
i
= p
i > 0, то точка покоя x
i ( t )
0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.
3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя x
i ( t )
0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.
Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами
.
ж x = a
11 x + a
12 y,
н .
(12)
о y = a
21 x + a
22 y
характеристическое уравнение (9) приводится к виду
k
2
+ a
1 k + a
2 = 0.
1) Если a
1 > 0 , a
2 > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.
2) Если а
1 > 0 , a
2 = 0, или a
1 = 0 , a
2 > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.
3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a
1 = a
2 = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.
4. Критерий устойчивости Михайлова.
Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.
А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
D (
l ) =
l
n + a
1
l
n-1 + a
2
l
n-2 + ... + a
n = 0.
(13)
Зная его корни
l
1 ,
l
2 , ... ,
l
n , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде
D (
l ) = (
l -
l
1 ) (
l -
l
2 ) ... (
l -
l
n ).
(14)
Рис.12.
Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :
а - для двух корней
l и
l
i ;
б - для четырех корней
l
1 ,
l ‘
1 ,
l
2 ,
l ‘
2
Графически каждый комплексный корень
l можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов (
l -
l
i ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что
l = j
w ; тогда определяющей является точка
w на мнимой оси (рис.12,б). При изменении
w от -
до +
векторы j
w -
l
1 и j
w -
l ‘
1 комплексных корней
l и
l ‘
1 повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно +
p , а векторы j
w -
l
2 и j
w -
l ‘
2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно -
p . Таким образом, приращение аргумента arg( j
w -
l
i ) для корня характеристического уравнения
l
i
, находящегося в левой полуплоскости, составит +
p , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, -
p . Приращение результирующего аргумента
D arg D( j
w ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит
D arg D( j
w ) = ( n - m )
p - m
p = ( n - 2m )
p .
(15)
-
<
w <
для левой для правой
полуплоскости полуплоскости
Отметим теперь, что действительная часть многочлена
D ( j
w ) = ( j
w )
n + a
1 ( j
w )
n-1 + a
2
( j
w )
n-2 + ... + a
n
(16)
содержит лишь четные степени
w , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому
arg D ( j
w ) = - arg D ( -j
w ),
(17)
и можно рассматривать изменение частоты только на интервале
w от 0 до
. В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена
D arg D( j
w ) = ( n - 2m )
p / 2 .
(18)
0
Ј
w <
Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента
D arg D( j
w ) = n
p / 2 .
(19)
0
Ј
w <
На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).
Рис.13.
Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:
а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах
Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.
|
