Теория устойчивости
4. Критерий
устойчивости Михайлова.
Частотные
критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так
как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более
простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости
можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам;
в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве
переходных процессов в системе.
А.В. Михайлов
первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные
методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным
им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо
этого критерия.
Пусть
характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
D (
l ) = l n + a1
l n-1 + a2 l n-2 + ... + an = 0. (13)
Зная его корни l 1 , l 2 , ... , l n , характеристический
многочлен для уравнения (13) запишем в виде
D (
l ) = ( l - l 1 ) ( l - l 2 ) ... ( l - l n ). (14) Im Im 0 Re 0 Re а) б)
Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей
характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :
а - для двух
корней l и l i ;
б - для четырех
корней l 1 , l ‘1 , l 2
, l ‘2
Графически
каждый комплексный корень l можно представить точкой на плоскости.
Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно
представить в виде разности двух векторов ( l - l i ), как это
показано на рис.12,а. Положим теперь, что l =
j w ; тогда определяющей является точка w на мнимой оси (рис.12,б). При изменении w от - ¥ до + ¥ векторы j w - l 1 и j w - l ‘1 комплексных корней l и l ‘1 повернуться против часовой
стрелки, и приращение их аргумента равно + p , а векторы j w - l 2 и j w - l ‘2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их
аргумента равно - p . Таким образом,
приращение аргумента arg( j w - l i ) для корня характеристического уравнения l i ,
находящегося в левой полуплоскости, составит + p , а для корня, находящегося
в правой полуплоскости, - p .
Приращение результирующего аргумента D
arg D( j w ) равно сумме приращений аргументов его
отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m
лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит
D
arg D( j w ) = (
n - m ) p - m p = ( n - 2m ) p . (15)
- ¥ < w < ¥ для левой для
правой
полуплоскости полуплоскости
Отметим теперь,
что действительная часть многочлена
D ( j w ) = ( j w )n
+ a1 ( j w )n-1
+ a2 ( j w )n-2
+ ... + an (16)
содержит лишь четные степени
w , а мнимая его часть -
только нечетные, поэтому
arg D ( j w ) = - arg D ( -j w ), (17)
и можно рассматривать
изменение частоты только на интервале w от 0 до ¥ . В этом случае приращение аргумента годографа
характеристического многочлена
D
arg D( j w ) = ( n - 2m ) p / 2
.
(18)
0 £ w < ¥
Если система
устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение
аргумента
D
arg D( j w ) = n p / 2 . (19)
0 £ w < ¥
На основании
полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова:
для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в
замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части
действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не
попадая в начало координат, n
квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического
уравнения системы). j V’ j V’ 0 U’ 0 U’ а) б)
Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных
характеристических уравнений замкнутых систем:
а - устойчивые
системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые
системы при n = 4 и различных параметрах
Соответствующие
устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков
построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для
неустойчивых систем при n = 4.
Введение
Одной из
основных задач теории автоматического регулирования является изучение
динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические
системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим
работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов.
Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического
регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям.
Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или
какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к
значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает
физический смысл понятия устойчивости.
Теория
устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М.
Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный
раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости
являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н.
Красовский.
1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости
по Ляпунову.
Рассмотрим
задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений x’ = f ( t , x )
(1)
с начальными условиями x ( t0 ) = x0 (2)
где x
= ( x1, x2,
... , xn ) - n - мерный
вектор; t Î I = [t0, + ¥ [ -
независимая переменная, по которой производится дифференцирование;
f ( t, x ) = ( f1
( t , x ) , f2 ( t , x ) , ... , fn ( t , x ) ) - n -
мерная вектор - функция.
Комментарии к задаче Коши (1),
(2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу
Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t0 ) = x0. С целью
упрощения все рисунки п. 10
,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1. x 0 t Рис.1
Так как задача теории
устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято
интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в
пространстве Rn+1 (рис.1)
Пусть задача Коши (1),
(2) удовлетворяет условиям теоремы
существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t0 , x0
) области единственности решений проходит только одна интегральная
кривая. Если начальные данные ( t0 , x0 ) изменяются, то изменяется и решение. Тот
факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим образом: x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ). Изменение этого решения в
данной математической модели с
изменением начальных данных ( t0 , x0 ) приводят к существенному
изменению решения x ( t ; t0
, x0 ) , приводит к тому,
что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные ( t0 , x0 ) получаются из опыта, а изменения не могут
быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели
пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных
данных.
Определим понятие
устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова.
Для этого отклоение решения x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ) , вызванное
отклонением D x0
начального значения x0 , будем записывать следующим образом:
| x ( t ; t0 , x0
+ D x0 ) - x ( t ) |
= | x ( t ; t0 , x0 + D x0
) - x ( t ; t0 , x0 ) |.
Определение 1. Решение x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ) системы (1) называется
устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно
непрерывно по x0 на интервале I = = [ t0, + ¥ [ , т.е. " e > 0 $ d
> 0 такое, что " D x0
| D x0 | £ d Þ | x ( t ; t0 , x0 + D x0
) - x ( t ) | £ e " t ³ t0.
Если, кроме
того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ®
+ ¥ для достаточно малых D x0 , т.е. $ D > 0 " D x0.
| D x0 | £ D Þ | x ( t ; t0 , x0 + D x0
) - x ( t ) | ® 0
, t ®
+ ¥ . (3)
то решение x ( t ) системы (1) называется
асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически
устойчивым).
Аналогично
определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.
Комментарий к
определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим
образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t0 , x0 + D x0
) , близкие в начальный момент t0 к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах d -
трубки ) , не выходят за пределы e -
трубки при всех значениях t ³ t0 . x 0 t Рис.2
2) Асимптотическая
устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x1
( t ) , начинающееся в момент t0 в D - трубке, с течением времени неограниченно приближается к
решению x ( t ) (рис.2). Трубка радиуса
D
называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x2 (
t ), начинающееся при t = t0 за пределами области притяжения, но в пределах d -
трубки, не покидает e -
трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).
Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ) системы (1) называется неустойчивып по
Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является
устойчивым в положительном направлении.
Аналогично
определяется неустойчивость в отрицательном направлении.
Комментарий к определению 2. Геометрически
неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный
момент t0 к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в
некоторый момент t1 ( свой для каждого такого решения) выйдет за
пределы e - трубки (рис.3).
Приведем примеры
из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для
одномерного случая, т.е. n = 1.
Рассмотрим
маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной
l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a ;
тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I.
Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться
возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному
отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать
сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет
уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически
устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то
малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель
не устойчивого положения равновесия.
x
0 t
Рис.3 Рис.4
Исследование устойчивости
произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию
устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно,
в системе (1) произведем подстановку y
( t ) = x - x (t). Тогда получим систему
y’ = F ( t, y ). (4)
где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) -
f ( t , x ( t ) ) , F (t, 0) º 0 " t ³ t0.
Решению x ( t ) системы (1)
соответствует нулевое решение y (t) º 0 системы (4).
В дальнейшем будем
предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0 " t ³ t0, и ограгничимся исследованием устойчивости
нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для
нулевого решения x ( t ) º 0 системы (1).
Определение 3. Нулевое решение x ( t ) º 0 системы (1) называется
устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если " e > 0 $ d = d
( e ) > 0 такое, что " x0
|
D x0 | £ d Þ | x ( t ; t0 , x0 ) | £ e " t ³ t0.
Если кроме того,
$ D > 0 " x0
| D x0 | £ D Þ | x ( t ; t0
, x0 ) | ® 0
, t ®
+ ¥ ,
то решение x ( t )
º 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в
положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .
Определение 4. Нулевое решение x ( t
) º 0 системы (1)
называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или
неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.
$ e
> 0 $ t1
> t0 " d > 0 x0 ¹ 0 | x0 | £ d Þ | x ( t ; t0 , x0 ) | > e .
Геометрическая
интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости
нулевого решения x ( t ) º 0 системы (1) дана
соответственно на рис.5-7.
x t 0 Рис.5 x t 0 Рис.6 x t 0 Рис.7
2. Устойчивость решения
автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
Система
обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или
стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая
переменная не входит явно в систему уравнений.
Нормальную
автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме :
dx / dt = f ( x ). (5)
Рассмотрим
задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем
предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы
существования и единственности.
Пусть x = x ( t ) - есть
решение системы (5). Направленная кривая
g , которую можно параметрически задать в виде xi = xi
( t ) ( i = 1, ... , n ),
называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x
= x ( t ). Пространство Rn с координатами ( x1 , ... , xn
), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым
пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы
(5) можно параметрически задать в виде
t = t , x1 = x1 ( t ), ... , xn = xn
( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rn+1
с координатами ( t , x1 , x2 , ... , xn ) , а
траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rn
параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2 , т.е. когда Rn+1
- трехмерное пространство, а фазовое пространство Rn - двумерная плоскость. На рис.8,а изображена
интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x1
= x1 ( t ) , x2 = x2 ( t ), на рис.8,б - ее проекция на плоскость, т.е. траектория,
заданная параметрическими уравнениями x1 = x1 ( t ) , x2
= x2 ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t. x2 x2 0 t 0 x1 x1 а) Рис.8 б)
Определение 5. Точка ( a1, a2 , ... , an )
называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если
правые части f1 , f2 , ... , fn системы (5) обращаются в этой точке в нуль,
т.е. f (a) = 0, где a = ( a1
, a2 , ... , an ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) .
Если ( a1 , ... ,
an ) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t )
= a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного
решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому
далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t ) º 0 , т.е. f ( 0 ) = 0, и
точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rn.
В пространстве Rn+1 точке покоя соответствует нулевое решение. Это
изображено на рис.8 для случая n = 2.
Таким образом,
устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала
координат фазового пространства системы (5), и наоборот.
Дадим геометрическую
интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала
плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в
двумерном случае на фазовую плоскость R2, причем проекциями e -
трубки и d - трубки являются
окружности с радиусами e
и d . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в
пределах d -
окружности, не покидают e -
окружность " t ³ t0 (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно
устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения D , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой e - окружности и всех d
> 0 существует хотя бы одна
траектория, покидающая ее (рис.11).
Нормальная система линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид
dx / dt
= A x, (6)
где A - постоянная матрица размера n ´ n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой
системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах. x2 0 x1 Рис.9 x2 0 x1 Рис.10 x2 0 x1 Рис.11
3. Простейшие типы точек покоя.
Пусть имеем систему дифференциальных
уравнений
æ dx / dt = P ( x , y ),
í (A)
î dy / dt = Q ( x , y ).
Точка ( x0 , y0
) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x0
, y0 ) = 0 , Q ( x0 , y0 ) = 0.
Рассмотрим
систему
æ dx / dt = a11 x + a12 y,
í (7)
î dy / dt = a21 x + a22 y.
где aij ( i , j = 1 , 2 ) -
постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем
расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в
виде
x
= a 1 e k
t , y = a 2
e k t . (8)
Для определения k получаем
характеристическое уравнение
a11 - k a12
= 0. (9)
a21 a22 - k
Рассмотрим возможные случаи.
I. Корни
характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :
1) k1
< 0, k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый
узел).
2) k1 >
0, k2 > 0. Точка
покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k1 > 0, k2 <
0. Точка покоя неустойчива (седло).
4) k1 = 0,
k2 > 0. Точка покоя неустойчива.
5) k1 = 0,
k2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.
II. Корни
характеристического уравнения комплексные :
k1 = p + q i, k2 = p - q i. Подслучаи :
1) p < 0 ,
q ¹ 0. Точка покоя
асимптотически устойчива (устойчивый фокус).
2) p > 0 ,
q ¹ 0. Точка покоя
неустойчива (неустойчивый фокус).
3) p = 0, q ¹ 0. Точка покоя устойчива
(центр). Асимптотической устойчивости нет.
III. Корни кратные: k1 = k2 . Подслучаи :
1) k1
= k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).
2) k1
= k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k1
= k2 = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай,
когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.
Для системы
линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
dxi n
= å ai j xj (
i = 1 , 2 , ... , n ) (10)
dt i=1
характеристическим
уравнением будет
a11 - k a12 a13 ... a1n
a21 a22 - k a23 ... a2n = 0. (11)
. . . . . . . .
an1 an2 an3 ... ann
- k
1) Если
действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы
(10) отрицательны, то точка покоя xi ( t ) º 0 ( i = 1 , 2 , ... , n
) асимптотически устойчива.
2) Если
действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11)
положительна, Re k i = p i > 0, то точка покоя xi
( t ) º 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.
3) Если
характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной
частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя xi ( t
) º 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не
асимптотически.
Для системы двух
линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами
.
æ x = a11 x + a12
y,
í . (12)
î y = a21 x + a22
y
характеристическое уравнение
(9) приводится к виду
k2 + a1
k + a2 = 0.
1) Если a1
> 0 , a2 > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически
устойчиво.
2) Если а1
> 0 , a2 = 0, или a1 = 0 , a2 > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не
асимптотически.
3) Во всех
остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a1 = a2
= 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не
асимптотически.
Список
литературы:
1. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное
исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука , 1981.
2. Шестаков А. А.,
Малышева И. А., Полозков Д. П. Курс высшей математики. М.: ВШ ,
1987.
3. Иващенко Н. Н. Автоматическое
регулирование. М.: ВШ , 1973.
4. Абрамович И. Г., Лунц
Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексого переменного.
Операционное исчисление. Теория устойчивости.
М.: Наука , 1968.
5. Чемоданов Б.К. Математические
основы теории автоматического
регулирования. М.: ВШ ,1977.
Определение устойчивости и асимптотической устойчивости. Геометрический смысл устойчивости по ляпунову.
|
