Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E.
"
e
"
x
Î
E
$
u: ║x-u║<
e
Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП L
Ì
E,
"
e
Î
(0,1)
$
z
e
Î
E\L ║z
e
║=1
r
(z
e
,L)>1-
e
Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.
Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.
Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.
Определение: L плотное в E, если
"
x
Î
E
$
u
Î
L: ║x-u║<
e
Теорема: Чтобы L было плотно в H
ó ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.
Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.
Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.
Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy
Определение: Непрерывный оператор – Ax
à
Ax
0
при x
à x
0
Определение:
L
(X,Y) – пространство линейных операторов
Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.
Определение: Ограниченный оператор -
"
¦x║≤1
$
с: ║Ax║≤c
Теорема: A – ограниченный
ó
"
x
Î
X ║Ax║≤c║x║
Теорема: Для того чтобы А был непрерывен
ó чтобы он была ограничен
Теорема: {A
n
} равномерно ограничена
è {A
n
}- ограничена.
Теорема: {A
n
x} – ограниченно
ó {║A
n
║}- ограничена.
Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║A
n
-A║
à
0, n
à
¥
, обозначают A
n
à
A
Определение: Слабая сходимость -
"
x
Î
X ║(A
n
-A)x║
Y
à
0, n
à
¥
Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость
ó {A
n
} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1
Теорема: Банаха-Штенгауза A
n
à
A n
à
¥ слабо
è 1) {║A
n
║}- ограничена 2) A
n
à
A, x’
Ì
X, x’=x
Теорема: Хана Банаха. A:D(A)
à
Y, D(A)
Ì
X
è
$ A’:X
à
Y 1) A’x=Ax, x
Î
D(A) 2) ║A’║=║A║
Определение: Равномерная ограниченность -
$
a
"
x: ║x(t)║≤a
Определение: Равностепенная непрерывность
"
t
1
,t
2
$
d
: ║x(t
1
)-x(t
2
)║<
e
Теорема:
L
(X,Y) полное, если Y – полное.
Определение: Ядро – x
Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X
*
:=
L
(X,E)
Определение: Сопряженный оператор A
*
: Y
*
à
X
*
Теорема: Банаха A:X
à
Y и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда
$ A
-1
и ограничен.
Определение: Оператор А – обратимый
Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A
-1
-ограничен.
Теорема: A
-1
$ и ограничен
ó
$
m>0
"
x
Î
X ║Ax║≥m║x║
Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X
à
Y – линейный ограниченный функционал
è
$
! y
Î
H
"
x
Î
H f(x)=(x,y)
Определение: M
Ì
X называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.
Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.
Теорема: Хаусдорфа. M
Ì
X компактно
ó
"
e
>0
$ конечная
e
-сеть
Теорема: Арцела. M
Ì
C[a,b] компактно
ó все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.
Определение:
s
(X,Y) – подпространство компактных операторов
Теорема: Шаудера. A
Î
s
(X,Y)
ó A
*
Î
s
(X
*
,Y
*
)
Линейные нормированные пространства
Пространства векторов
сферическая норма
кубическая норма
ромбическая норма
p>1
Пространства последовательностей
p>1
или
пространство ограниченных последовательностей
пространство последовательностей, сходящихся к нулю
пространство сходящихся последовательностей
Пространства функций
пространство непрерывных на функций
пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций
£
p
[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово) - пополнение
£
p
[a,b] (Гильбертово)
Неравенство Гёльдера p,q>0
Неравенство Минковского
Подпространство конечномерного нормированного пространства замкнуто Москва Россия Москве. Теорема о наилучшем элементе приближения в нормированных пространствах. Теорема Виета прямая и обратная доказательство одной из них. Теорема пифогора по алгебре теорема пифогора по алгебре. Пространство сходящихся последовательностей не полно. Об одной теореме из теории непрерывных многообразий. Теорема рисса о представлении линейного функционала. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве. Реферат на тему доказательства теоремы пифогора. Определение непрерывных операторов. Теорема Банаха Хана доказательство. Теорема о проекциях скоростей. Обратимые линейные операторы. Виет теорема реферат казакша. Теорема пчёлки или невесты.
