Структура сходящихся последовательностей
Последовательность, у
которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не
являющаяся сходящейся называется расходящейся.
Определение: Последовательность {xn} называется
сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn-а} является бесконечно малой.
При этом число а называется пределом последовательности {xn}.
В соответствии с этим
определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и
имеет своим пределом число ноль.
Можно, также, дать еще одно
определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn}
называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого
положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³N все элементы xn
этой последовательности удовлетворяют неравенству:
|xn-a|<e.
При этом число а называется пределом последовательности.
Некоторые свойства сходящихся
последовательностей:
ТЕОРЕМА: Сходящаяся
последовательность имеет только один предел.
Доказательство: Пусть a и b – пределы
сходящейся последовательности {xn}. Тогда, используя специальное
представление для элементов xn сходящейся последовательности {xn},
получим xn=а+an,
xn=b+bn,
где an и bn – элементы бесконечно малых
последовательностей {an}
и {bn}.
Вычитая данные соотношения,
найдем an-bn=b-a. Так как все элементы
бесконечно малой последовательности {an-bn} имеют одно и то же
постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой
последовательности {an}
равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Сходящаяся
последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть {xn} -
сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:
xn=а+an,
где an- элемент бесконечно малой
последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {an} ограничена (по теореме:
Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А,
что для всех номеров n справедливо неравенство |an|£А. Поэтому | xn |
£ |a| + A для всех номеров n,
что и означает ограниченность последовательности {xn}. Теорема
доказана.
Ограниченная
последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1,
-1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы
эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из
последовательностей {xn-a} и
{xn+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме:
Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая
последовательность.) {(xn-a) – (xn+1-a)}={xn–
xn+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |xn–
xn+1| = 2 для любого номера n.
ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся
последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хn}
и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b –
соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}.
Тогда:
xn=а+an, yn=b+bn,
где {an} и {bn) – бесконечно малые
последовательности. Следовательно, (хn + yn) - (а + b) =an+bn.
Таким образом,
последовательность {(хn + yn) - (а + b)} бесконечно
малая, и поэтому последователдьность {хn + yn} сходится и
имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Разность сходящихся
последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей
{хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно
пределы последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:
xn=а+an, yn=b+bn,
где {an} и {bn) – бесконечно малые
последовательности. Следовательно, (хn - yn) - (а - b) =an-bn.
Таким образом, последовательность
{(хn - yn) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому
последователдьность {хn - yn} сходится и имеет своим
пределом число а-b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся
последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен произведению пределов
последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b –
соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn},
то xn=а+an, yn=b+bn и xn×yn=a×b+a×bn+b×an+an×bn. Следовательно,
xn×yn-а×b=a×bn+b×an+an×bn.
(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно
малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a×bn+b×an+an×bn} бесконечно малая, и
поэтому последовательность {xn×yn-а×b} тоже бесконечно малая, а
значит последовательность {xn×yn} сходится и
имеет своим пределом число а×b. Теорема доказана.
ЛЕММА: Если последовательность {yn}
сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера,
определена последовательность , которая является ограниченной.
Доказательство: Пусть . Так как b¹0, то e>0. Пусть N – номер, соответствующий этому e, начиная с которого
выполняется неравенство:
|yn-b|<e или |yn-b|<
из этого неравенства следует, что при n³N выполняется неравенство |yn|>. Поэтому при n³N имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем
рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.
ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся
последовательностей {xn} и {yn} при условии, что предел
{yn} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел
которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.
Доказательство: Из доказанной ранее леммы
следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {yn}
отличны от ноля и последовательность ограничена. Начиная с
этого номера, мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы последовательностей {xn} и
{yn}. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В
самом деле, так как xn=а+an, yn=b+bn, то
.
Так как последовательность ограничена, а
последовательность бесконечно мала, то
последовательность бесконечно малая.
Теорема доказана.
Итак, теперь можно сказать,
что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к
таким же арифметическим операциям над их пределами.
ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся
последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют
неравентству xn³b (xn£b), то и предел а этой последовательности
удовлетворяет неравенству а³b (a£b).
Доказательство: Пусть все элементы xn,
по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn³b. Предположим, что а<b.
Поскольку а – предел последовательности {xn}, то для положительного e=b-a можно указать номер N
такой, что при n³N выполняется неравенство
|xn-a|<b-a.
Это неравенство эквивалентно
-(b-a)<xn-a<b-a
Используя правое из этих
неравенств мы получим xn<b, а это противоречит условию теоремы.
Случай xn£b рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Элементы сходящейся
последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn>b,
однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если xn=1/n,
то xn>0, однако .
Следствие 1: Если элементы xn
и уn у сходящихся последовательностей {xn} и {yn},
начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn £ уn, то их
пределы удовлетворяют аналогичному неравенству
.
Элементы последовательности
{yn-xn} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее
предел . Отсюда следует, что
.
Следствие 2: Если все элементы
сходящейся последовательности {xn} находятся на сегменте [a,b], то и
ее предел с также находится на этом сегменте.
Это выполняется, так как а£xn£b, то a£c£b.
ТЕОРЕМА: Пусть {xn} и {zn}-
сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того,
начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn}удовлетворяют
неравенствам xn£yn£zn. Тогда последовательность
{yn} сходится и имеет предел а.
Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a}
является бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого,
выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же
номера, будут выполнятся также неравенства xn-а £ yn-а £ zn-а. Отсюда
следует, что при n³N’ элементы последовательности {yn-a} удовлетворяют
неравенству
|yn-a| £ max .
Так как и , то для любого e>0 можно указать номера N1 и N2 такие, что при n³N1 |xn-a|<e, а при n³N2 |zn-a|<e. Итак последовательность {yn-a}
бесконечно малая. Теорема доказана.
Итак, мы показали
неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в
пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих
последовательностей.
ПРИМЕРЫ
1.
Последовательность
сходится и имеет
своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было e>0, по свойству Архимеда вещественных
чисел существует такое натуральное число ne, что ne>. Поэтому для всех n³ne, а это означает, что .
2.
Последовательность
сходится и , что следует из того, что
, и того, что .
ЗАДАЧИ
ЗАДАЧА
1
Пусть числовая последовательность а1, а2,
а3, … удовлетворяет условию
(m, n = 1, 2,
3, … ),
тогда последовательность
,…
должна либо расходиться к , причем предел этой последовательности будет равен ее нижней
грани.
РЕШЕНИЕ:
Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно
рассмотреть случай, когда нижняя грань a конечна.
Пусть e>0 и a+e. Всякое целое число n может быть представлено в форме
n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая единообразие а0=0,
имеем:
an=aqm+r£am+am+…+am+ar=qam+ar,
,
ЗАДАЧА
2
Пусть числовая последовательность а1, а2,
а3, … удовлетворяет условию
тогда существует конечный предел
,
причем
(n = 1, 2, 3, … ).
РЕШЕНИЕ:
Из неравенств 2am-1<a2m<2am+1
получаем:
(*)
Ряд
сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется
сходящимся рядом:
|a1|+2-1+2-2+2-3+…
запишем целое число n по двоичной системе:
n=2m+e12m-1+e22m-2+…+em (e1, e2, …, em = 0 или 1)
согласно предположению
.
Применяя теорему (1) для данных:
s0=0,
s1=, sm-1=, sm=, …, pn0=0, pn1=, …, pn, m-1=,
, pn,
m+1=0, …,
заключаем, что . Наконец, в силу (*) имеем:
.
ЗАДАЧА № 3
Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни
расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого
ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim
sup.
РЕШЕНИЕ:
Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s1,
s2, …, sn, … ограничены. Пусть , , l - целое
положительное число, l>2 и .
Разобьем числовую прямую на l интервалов точками
-¥, m+d, m+2d, …, M-2d, M-d, +¥.
Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |sn-sn+1|<d.
Пусть, далее, sn1 (n1>N) лежит в первом интервале и sn2 (n2> n1)
в последнем. Тогда числа конечной последовательности не смогут
перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной d.
Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не
«медленно восходящей», а «медленно нисхожящей».
ЗАДАЧА № 4
Пусть для последовательности t1, t2, …
, tn, … существует такая последовательность стремящихся к нулю
положительных чисел …, что для каждого n
.
Тогда числа t1, t2, … , tn, …лежат всюду
плотно между их нижним и верхним пределами.
РЕШЕНИЕ:
Существуют в сколь угодно большом удалении конечные
последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего предела
последовательности к ее нижнему пределу.
ЗАДАЧА № 5
Пусть v1, v2, … , vn, … -
положительные числа, v1 £
v2 £ v3 … Совокупность предельных точек
последовательности
, …
заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю,
если эта последовательность стремится к пределу).
РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА № 6
Числовая последовательность, стремящаяся к , имеет наименьший член.
РЕШЕНИЕ:
Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться
лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества
чисел существует одно или несколько наименьших.
ЗАДАЧА № 7
Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член,
либо наименьший, либо и тот и другой.
РЕШЕНИЕ:
При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой
последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по
крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет
равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.
ЗАДАЧА № 8
Пусть l1, l2, l3, … , lm,
- последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln
меньше всех предшествующих ему членов последовательности l1, l2,
l3, … , ln-1.
РЕШЕНИЕ:
Пусть задано целое положительное число m и h
наименьшее из чисел l1, l2, l3, … , lm;
h>0. Согласно предположению в рассматриваемой
последовательности существуют члены,
меньше чем h. Пусть n – наименьший номер, для которого ln<h.
Тогда:
n>m; ln<l1, ln<l2,
, ln<ln-1.
ЗАДАЧА № 9
Пусть l1, l2, l3, … , lm,
- последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln
превосходит все следующие за ним члены ln+1, ln+2, ln+3,…
ЗАДАЧА
10
Пусть числовые последовательности
l1,
l2, l3, … , lm, … (lm>0),
s1,
s 2, s 3, … , s m, … (s1>0, sm+1>sm,
m=1, 2, 3, …)
обладают тем свойством, что
, .
Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых
одновременно выполняются неравенства
ln>ln+1,
ln>ln+2,
ln>ln+3,
lnsn>ln-1sn-1,
lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,
РЕШЕНИЕ:
Будем называть lm «выступающим» членом
последовательности, если lm больше всех последующих членов. Согласно
предположению в первой последовательности содержится бесконечно много
выступающих членов; пусть это будут:
,…
Каждый невыступающий член lv заключается (для
v>n1) между двумя последовательными выступающими членами, скажем
nr-1<v<nr. Имеем последовательно:
,
значит
(*)
отсюда заключаем, что
Действительно, в противном случае , значит, в силу (*) и вся последовательность
l1s1, l2s2, … были бы ограничены,
что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m
и h – наименьшее из чисел ,… ; h>0. Согласно предположению в рассматриваемой
последовательности существуют члены,
меньше чем h. Пусть k – наименьший номер, для которого <h. Тогда:
k>m; .
ЗАДАЧА № 11
Если числовая последовательность ,… стремится к и А превышает ее
наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n³1, что n отношений
все не больше А, а бесконечное множество отношений
,…
все не меньше А.
РЕШЕНИЕ:
Имеем . Пусть минимум последовательности
L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …
Будет Ln-nA; тогда
Ln-u-(n-u)A³ Ln-nA; Ln+v-(n+v)A³ Ln-nA,
u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений
относительно А.
ЗАДАЧА № 12
Пусть относительно числовой последовательности l1,
l2, l3, … , lm, … предполагается лишь, что
.
Пусть, далее, А>l1. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства
.
Если А®¥, то также n®¥.
РЕШЕНИЕ:
Пусть
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.
Так как L1-A<0, то L0-0 не является
минимумом в предыдущем решении. ln+1³A; поэтому ln+1,
а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.
ЗАДАЧА № 13
Пусть числовая последовательность l1, l2,
l3, … , lm, … удовлетворяет условиям
,
Пусть, далее, l1>A>0. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства
.
Если А®0, то также n®0.
РЕШЕНИЕ:
Положим
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.
Тогда . Последовательность
L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …
стремится к -¥. Пусть ее
наибольший член будет Ln-nA. Тогда интересующие нас неравенства
будут выполняться для этого номера n.
В последовательности L0, L1, …, Lm,
содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие. Пусть Ls
будет один из них. Тогда числа:
все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них,
соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, Ln) должны
быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.
Пример произведения двух расходящихся последовательностей сходящаяся последовательность. Теорема об арифметических операциях над сходящимися последовательностями доказательство. Теорема об арифметических операциях над последовательностями имеющими предел. Даны целые числа каждое из которых отлично от нуля Если в последовател. Пример расходящихся последовательностей сумма которых сходится. Произведение сходящейся и расходящейся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь бесконечно малой последовательности со сходящейся. Теорема операции над сходящимися последовательностями. Укажите номер наибольшего члена последовательности. Реферат на тему Последовательности пределы и ряды. Номер наименьшего члена последовательности. Последовательности пределы и ряды Реферат. Доказательство предела последовательности. Укажите номер последовательности равного.
|
