Сфера
Сфера и шар
Работа ученика 11 класса
средней школы №1906
юго-западного округа
г.Москвы
Кашина Виталия.
Сфера и шар.
Сфера-это фигура, состоящая
из всех точек пространства, удалённых от данной точки на данном расстоянии.
Точка О называется центром сферы, R-радиус
сферы.
Любой отрезок, соединяющий центр и
какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две
точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы.
Шар-это фигура, состоящая из всех точек
пространства, находящихся на расстоянии не большем данного от данной точки
(или
фигура, ограниченная сферой).
Уравнение сферы.
M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая
сфере.
след.
MC= т.к. MC=R, то
если т.М не лежит на сфере, то MCR, т.е. координаты
точки М
не
удовлетворяют уравнению.Следовательно, в прямоугольной системе координат
уравнение сферы радиуса R с центром C(x0;y0;z0;) имеет
вид :
Взаимное расположение сферы и плоскости.
d - расстояние от центра сферы до плоскости.
след.
C(0;0;d), поэтому сфера имеет уравнение
плоскость
совпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0
Если
т.М(x;y;z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плоскости и на
сфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.
след.
возможны 3 решения системы :
1)
d<R , d^2<R^2 , x^2 + y^2 = R^2 - d^2
> 0
уравнение имеет б.м. решений, пересечение
сферы и плоскости - окружность C(0;0;0)
и r^2=R^2 - d^2
2)
d=R , x^2 + y^2 =0 , x=y=0
след. сфера пересекается плоскостью в точке О(0;0;0)
3) d>R
, d^2>R^2 R^2 - d^2 < 0
x^2 + y^2 >=0 ,
x^2+y^2=R^2 - d^2 не имеет
решений
Касательная плоскость к сфере.
Плоскость, имеющая со сферой только одну
общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка
называется точкой касания плоскости и сферы.
Теорема:
Радиус сферы, проведённый в точку касания
сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Доказательство:
Предположим, что ОА не перпендикулярен
плоскости, след. ОА-наклонная к плоскости, след. ОА > R , но т.А принадлежит
сфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.
ч.т.д.
Теорема:
Если радиус сферы перпендикулярен к
плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость
является касательной к сфере.
Доказательство:
Из условия теоремы следует, что данный
радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной
плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу
сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это
означает, что данная плоскость является касательной к сфере.
ч.т.д.
Площадь сферы:
Для определения площади сферы воспользуемся
понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если сфера касается
всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.
Пусть описанный около сферы многогранник
имеет n-граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом,
чтобы наибольший размер кождой грани
стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей
поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю
наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и
получить формулу для вычесления площади сферы радиуса R :
S=4ПR^2
Сфера вписанная в цилиндрическую поверхность сфера вписанная в цилиндрическую поверхость. Геометрия Сфера Основные понятия Уравнение сферы Касательная плоскость к сфере. Взаимное расположение сферы и плоскости Касательная плоскость к сфере. Шар сфера плоскость касательная к сфере поверхность сферы объем шара. Кроссворд по геометрии в классе по теме Фигуры и тела вращения. Презентации по геометрии взаимное расположение сферы и прямой. Конспект по теме Взаимное расположение плоскости и сферы. Сфера шар взаимное расположение сферы шара и плоскости. Взаимное расположение сферы и плоскости площадь сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости презентация. Шар и сфера взаимное расположение плоскости и сферы. Творческая работа по геометрии по теме сфера шар. Уравнение сферы с касательной плоскостью. Взаимное расположение сферы и плоскости. Теорема о плоскости касательной к сфере.
|
