Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
МИНИСТЕРСТВО
ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р.Ф.
КУРГАНСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра
прикладной и высшей математики
Лабораторная работа № 43
на тему:
Решение смешанной задачи для уравнения
гиперболического типа методом сеток
Группа М-2136
Выполнил студент _______________________
Проверил преподаватель Воронова Лилия Ивановна
Курган 1998
Рассмотрим
смешанную задачу для волнового
уравнения ( ¶ 2 u/ ¶ t2) = c 2 * ( ¶ 2u/ ¶ x2) (1). Задача состоит в отыскании функции u(x,t) удовлетворяющей данному
уравнению при 0 < x < a, 0 < t £ T, начальным
условиям u(x,0) = f(x), ¶ u(x,0)/ ¶ t = g(x) , 0 £ x £ a и нулевыми краевыми
условиями u(0,t) = u(1,t)=0.
Так как замена
переменных t ® ct приводит уравнение (1) к
виду ( ¶ 2 u/ ¶ t2)
= (
¶ 2u/ ¶ x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.
Для построения
разностной схемы решения задачи строим в области D = (x,t) сетку xi = ih,
i=0,1 ... n , a = h * n, tj = j* ttt , j = 0,1 ... , m, t m = T и аппроксимируем уравнение (1) в каждом
внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”. t T j+1 j j-1 0 i-1 i i+1
Используя для
аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем
следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) . ui,j+1 - 2uij + ui,j-1 ui+1,,j - 2uij + ui-1, j t 2 h2
(4)
Здесь uij
- приближенное значение функции u(x,t) в узле (xi,tj).
Полагая,
что l = t / h , получаем трехслойную разностную схему
ui,j+1
= 2(1- l 2 )ui,j + l 2 (ui+1,j- ui-1,j) - ui,j-1
, i = 1,2 ... n. (5)
Для простоты в
данной лабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т.е. m 1(t)
º 0, m 2(t) º 0. Значит, в схеме (5) u0,j= 0, unj=0 для
всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных слоях с номерами
j-1, j , j+1. Схема (5) явная, т.е. позволяет в явном виде выразить ui,j
через значения u с предыдущих двух слоев.
Численное
решение задачи состоит в вычислении приближенных значений ui,j решения
u(x,t) в узлах (xi,tj) при i =1, ... n, j=1,2, ... ,m . Алгоритм
решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j = 2,3,4, ...
n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев ( j=0,1,2, ... ,
n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0) решение известно из
начального условия ui0 = f(xi).
Для вычисления
решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе принят простейший
способ, состоящий в том, что если положить ¶ u(x,0)/ ¶ t » ( u( x, t )
- u(x,0) )/ t (6) , то ui1=ui0+ + t (xi),
i=1,2, ... n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять
формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с
двух предыдущих слоев по формуле (5).
Описанная выше
схема аппроксимирует задачу с точностью до О( t +h2). Невысокий
порядок аппроксимации по t объясняется использованием
слишком грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6).
Схема устойчива,
если выполнено условие Куранта t < h. Это
означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на
первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому
временному слою. При выполнении условий Куранта схема обладает равномерной
сходимостью, т.е. при h ® 0
решение разностной задачи равномерно стремится к регшению исходной смешанной
задачи.
Недостаток схемы
в том, что как только выбраная величина шага сетки h в направлении x ,
появляется ограничение на величину шага
t по переменной t . Если необходимо произвести вычисление для
большого значения величины T , то может потребоваться большое количество шагов
по переменной t. Указанный гнедостаток характерен для всех явных разностных
схем.
Для оценки
погрешности решения обычно прибегают к методам сгущения сетки.
Для решения
смешанной задачи для волнового уравнения по явной разностной схеме (5)
предназначена часть программы, обозначенная Subroutine GIP3 Begn ... End .
Данная подпрограмма вычисляет решение на каждом слое по значениям решения с
двух предыдущих слоев.
Входные
параметры :
hx - шаг сетки h
по переменной х;
ht - шаг сетки t по переменной t;
k - количество
узлов сетки по x, a = hn;
u1 - массив из k
действительных чисел, содержащий значение решений на ( j - 1 ) временном слое,
j = 1, 2, ... ;
u2 - массив из n
действительных чисел, содержащий значение решений на j - м временном слое, j =
1, 2, ... ;
u3 - рабочий
массив из k действительных чисел.
Выходные
параметры :
u1 - массив из n
действительных чисел, содержащий значение решения из j - м временном слое, j =
1, 2, ... ;
u2 - массив из n
действительных чисел, содержащий значение решения из ( j +1) - м временном
слое, j = 1, 2, ... .
К части
программы, обозначенной как Subroutine GIP3 Begin ... End происходит
циклическое обращение, пеоред первым обращением к программе элементам массива
u2 присваиваются начальные значения, а элементам массива u1 - значения на
решения на первом слое, вычислинные по формулам (6). При выходе из подпрограммы
GIP3 в массиве u2 находится значение решения на новом временном слое, а в
массиве u1 - значение решения на предыдущем слое.
Порядок работы
программы:
1) описание
массивов u1, u2, u3;
2) присвоение
фактических значений параметрам n, hx, ht, облюдая условие Куранта;
3) присвоение
начального значения решения элементам массива и вычисленное по формулам (6)
значение решения на первом слое;
4) обращение к
GIP3 в цикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-м слое ( k ³ 2 ).
Пример: 1 0.5 0.5
Решить задачу о
колебании струны единичной длины с закрепленными концами, начальное положение
которой изображено на рисунке. Начальные скорости равны нулю. Вычисления
выполнить с шагом h по x, равным 0.1, с шагом
t по t, равным 0.05, провести вычисления для
16 временных слоев с печатью результатов на каждом слое. Таким образом, задача
имеет вид
( ¶ 2 u/ ¶ t2) = ( ¶ 2 u/ ¶ x 2) , x Î [ 0 , 1 ] , t Î [ 0 , T ] ,
u ( x , 0 ) = f
(x) , x Î [ 0 , a ], ¶ u(x,0)/ ¶ t =
g(x) , x Î [ 0 , a ],
u ( 0 , t ) =
0, u ( 1 , t ) = 0, t Î [ 0 , 0.8 ],
æ 2x , x Î [ 0 , 0.5 ] ,
f(x) = í g( x ) = 0
î 2 - 2x , x Î [ 0.5 , 1 ] ,
Строим сетку из
11 узлов по x и выполняем вычисления для 16 слоев по t. Программа, и результаты
вычисления приведены далее.
{
************************************************************* }
{
Приложение 3 ( выполнения лабораторной
работы. Вариант 12) }
{
------------ }
{ Программа решения смешанной задачи для
уравнения гиперболи- }
{ ческого типа методом сеток. }
{ Выполнил студент гр. МС-2136 Осинцев А.В. }
{
************************************************************* }
Program
Laboratornaya_rabota_43_variant_12;
Const
hx = 0.1 ; { Шаг по x - hx }
ht = 0.05 ; { Шаг по t - ht }
n =
11 ; { Количество узлов }
Function
f(x : Real) : Real; { Данная функция }
{ вычисляющая
решение при t=0 }
Begin
f := sin(pi * x) * cos(x);
End;
Function
g(x : Real) : Real; { Данная функция }
{ вычисляющая
производную решения при t=0 }
Begin
g := 0;
End;
Var
xp : Array[1..n] of Real;
i,j,n1 : Word;
x,t,a1,b1 : Real;
u1,u2,u3 : Array[1..n] of Real;
Begin
n1 := n;
WriteLn('Приложение 4');
WriteLn('------------');
WriteLn('Результат, полученный при
вычислении программы :');
WriteLn;
xp[1] := 0;
xp[n] := 1;
For i := 2 to ( n - 1 ) do
Begin
x := (i-1) * hx;
xp[i] := x;
u1[i] := f(x); { u(x,0) на 0 слое }
u2[i] := u1[i] + ht * g(x); { u(x,ht) на 1 слое }
End;
{
/// Задание граничных
условий \\\ }
u1[1] := 0 ; { u(0,0) }
u1[n] := 0 ; { u(1,0) }
u2[1] := 0 ; { u(0,ht) }
u2[n] := 0 ; { u(1,ht) }
u3[1] := 0 ; { u(0,2ht) }
u3[n] := 0 ; { u(1,2ht) }
{
/// Печать заголовка \\\
}
Write(' ');
For i := 1 to n do Write(' x=', xp[i]:1:1);
WriteLn;
t := 0;
{
/// Печать решения на нулевом
слое \\\ }
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
If u1[i] >= 0 then Write(' ',u1[i]:3:3)
else Write(u1[i]:3:3) ;
t := t + ht;
{
/// Печать решения на первом
слое \\\ }
WriteLn;
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
If u2[i] >= 0 then Write(' ',u2[i]:3:3)
else Write(u2[i]:3:3);
For j := 1 to 15 do
Begin
{Subroutine GIP3 Begin}
n1 := n1-1;
{Вычисление параметра сетки для проверки
условия Куранта}
a1 := ht/hx;
if a1 > 1 then WriteLn('Нарушено
условие Куранта') else
Begin
b1 := a1 * a1;
a1 := 2 * ( 1 - b1);
{Вычисление решения на очередном
слое}
For i := 2 to n do u3[i] := a1*u2[i]
+ b1 * (u2[i+1] +
u2[i-1]) - u1[i];
For i := 2 to n do
Begin
u1[i] := u2[i];
u2[i] := u3[i]
End;
End;
u1[n] := 0;
u2[n] := 0;
u3[n] := 0;
{Subroutine GIP3 End}
t := t + ht;
WriteLn;
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
{Вывод результатов}
If u2[i] >= 0 then Write('
',u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);
End;
WriteLn;
WriteLn;
End.
{
************************************************************* }
{
Приложение 3 ( выполнения лабораторной
работы. Вариант 13) }
{
------------ }
{ Программа решения смешанной задачи для
уравнения гиперболи- }
{ ческого типа методом сеток. }
{ Выполнил студент гр. МС-2136 Скворчевский Д.Ю. }
{
************************************************************* }
Program
Laboratornaya_rabota_43_variant_13;
Const
hx = 0.1 ; { Шаг по x - hx }
ht = 0.05 ; { Шаг по t - ht }
n =
11 ; { Количество узлов }
Function
f(x : Real) : Real; { Данная функция }
{ вычисляющая
решение при t=0 }
Begin
f := sin(pi * x * x);
End;
Function
g(x : Real) : Real; { Данная функция }
{ вычисляющая
производную решения при t=0 }
Begin
g := 0;
End;
Var
xp : Array[1..n] of Real;
i,j,n1 : Word;
x,t,a1,b1 : Real;
u1,u2,u3 : Array[1..n] of Real;
Begin
n1 := n;
WriteLn('Приложение 4');
WriteLn('------------');
WriteLn('Результат, полученный при
вычислении программы :');
WriteLn;
xp[1] := 0;
xp[n] := 1;
For i := 2 to ( n - 1 ) do
Begin
x := (i-1) * hx;
xp[i] := x;
u1[i] := f(x); { u(x,0) на 0 слое }
u2[i] := u1[i] + ht * g(x); { u(x,ht) на 1 слое }
End;
{
/// Задание граничных
условий \\\ }
u1[1] := 0 ; { u(0,0) }
u1[n] := 0 ; { u(1,0) }
u2[1] := 0 ; { u(0,ht) }
u2[n] := 0 ; { u(1,ht) }
u3[1] := 0 ; { u(0,2ht) }
u3[n] := 0 ; { u(1,2ht) }
{
/// Печать заголовка \\\
}
Write(' ');
For i := 1 to n do Write(' x=', xp[i]:1:1);
WriteLn;
t := 0;
{
/// Печать решения на нулевом
слое \\\ }
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
If u1[i] >= 0 then Write(' ',u1[i]:3:3)
else Write(u1[i]:3:3) ;
t := t + ht;
{
/// Печать решения на первом
слое \\\ }
WriteLn;
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
If u2[i] >= 0 then Write(' ',u2[i]:3:3)
else Write(u2[i]:3:3);
For j := 1 to 15 do
Begin
{Subroutine GIP3 Begin}
n1 := n1-1;
{Вычисление параметра сетки для проверки
условия Куранта}
a1 := ht/hx;
if a1 > 1 then WriteLn('Нарушено
условие Куранта') else
Begin
b1 := a1 * a1;
a1 := 2 * ( 1 - b1);
{Вычисление решения на очередном
слое}
For i := 2 to n do u3[i] := a1*u2[i]
+ b1 * (u2[i+1] +
u2[i-1]) - u1[i];
For i := 2 to n do
Begin
u1[i] := u2[i];
u2[i] := u3[i]
End;
End;
u1[n] := 0;
u2[n] := 0;
u3[n] := 0;
{Subroutine GIP3 End}
t := t + ht;
WriteLn;
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
{Вывод результатов}
If u2[i] >= 0 then Write('
',u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);
End;
WriteLn;
WriteLn;
End.
{
************************************************************* }
{
Приложение 3 ( выполнения лабораторной
работы. Вариант 14) }
{
------------ }
{ Программа решения смешанной задачи для
уравнения гиперболи- }
{ ческого типа методом сеток. }
{ Выполнил студент гр. МС-2136 Сухоруков А.В. }
{
************************************************************* }
Program
Laboratornaya_rabota_43_variant_14;
Const
hx = 0.1 ; { Шаг по x - hx }
ht = 0.05 ; { Шаг по t - ht }
n =
11 ; { Количество узлов }
Function
f(x : Real) : Real; { Данная функция }
{ вычисляющая
решение при t=0 }
Begin
f := x * sin( 2 * (x - 1) );
End;
Function
g(x : Real) : Real; { Данная функция }
{ вычисляющая
производную решения при t=0 }
Begin
g := 0;
End;
Var
xp : Array[1..n] of Real;
i,j,n1 : Word;
x,t,a1,b1 : Real;
u1,u2,u3 : Array[1..n] of Real;
Begin
n1 := n;
WriteLn('Приложение 4');
WriteLn('------------');
WriteLn('Результат, полученный при
вычислении программы :');
WriteLn;
xp[1] := 0;
xp[n] := 1;
For i := 2 to ( n - 1 ) do
Begin
x := (i-1) * hx;
xp[i] := x;
u1[i] := f(x); { u(x,0) на 0 слое }
u2[i] := u1[i] + ht * g(x); { u(x,ht) на 1 слое }
End;
{
/// Задание граничных
условий \\\ }
u1[1] := 0 ; { u(0,0) }
u1[n] := 0 ; { u(1,0) }
u2[1] := 0 ; { u(0,ht) }
u2[n] := 0 ; { u(1,ht) }
u3[1] := 0 ; { u(0,2ht) }
u3[n] := 0 ; { u(1,2ht) }
{
/// Печать заголовка \\\
}
Write(' ');
For i := 1 to n do Write(' x=', xp[i]:1:1);
WriteLn;
t := 0;
{
/// Печать решения на нулевом
слое \\\ }
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
If u1[i] >= 0 then Write(' ',u1[i]:3:3)
else Write(u1[i]:3:3) ;
t := t + ht;
{
/// Печать решения на первом
слое \\\ }
WriteLn;
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
If u2[i] >= 0 then Write(' ',u2[i]:3:3)
else Write(u2[i]:3:3);
For j := 1 to 15 do
Begin
{Subroutine GIP3 Begin}
n1 := n1-1;
{Вычисление параметра сетки для проверки
условия Куранта}
a1 := ht/hx;
if a1 > 1 then WriteLn('Нарушено
условие Куранта') else
Begin
b1 := a1 * a1;
a1 := 2 * ( 1 - b1);
{Вычисление решения на очередном
слое}
For i := 2 to n do u3[i] := a1*u2[i]
+ b1 * (u2[i+1] +
u2[i-1]) - u1[i];
For i := 2 to n do
Begin
u1[i] := u2[i];
u2[i] := u3[i]
End;
End;
u1[n] := 0;
u2[n] := 0;
u3[n] := 0;
{Subroutine GIP3 End}
t := t + ht;
WriteLn;
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
{Вывод результатов}
If u2[i] >= 0 then Write('
',u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);
End;
WriteLn;
WriteLn;
End.
{
************************************************************* }
{
Приложение 3 ( выполнения лабораторной
работы. Вариант 20) }
{
------------ }
{ Программа решения смешанной задачи для
уравнения гиперболи- }
{ ческого типа методом сеток. }
{ Выполнил студент гр. МС-2136 Шлепанов О.А. }
{
************************************************************* }
Program
Laboratornaya_rabota_43_variant_20;
Const
hx = 0.1 ; { Шаг по x - hx }
ht = 0.05 ; { Шаг по t - ht }
n =
11 ; { Количество узлов }
Function
f(x : Real) : Real; { Данная функция }
{ вычисляющая
решение при t=0 }
Begin
f := 10 * x * ( x * x * x - 1 );
End;
Function
g(x : Real) : Real; { Данная функция }
{ вычисляющая
производную решения при t=0 }
Begin
g := 0;
End;
Var
xp : Array[1..n] of Real;
i,j,n1 : Word;
x,t,a1,b1 : Real;
u1,u2,u3 : Array[1..n] of Real;
Begin
n1 := n;
WriteLn('Приложение 4');
WriteLn('------------');
WriteLn('Результат, полученный при
вычислении программы :');
WriteLn;
xp[1] := 0;
xp[n] := 1;
For i := 2 to ( n - 1 ) do
Begin
x := (i-1) * hx;
xp[i] := x;
u1[i] := f(x); { u(x,0) на 0 слое }
u2[i] := u1[i] + ht * g(x); { u(x,ht) на 1 слое }
End;
{
/// Задание граничных
условий \\\ }
u1[1] := 0 ; { u(0,0) }
u1[n] := 0 ; { u(1,0) }
u2[1] := 0 ; { u(0,ht) }
u2[n] := 0 ; { u(1,ht) }
u3[1] := 0 ; { u(0,2ht) }
u3[n] := 0 ; { u(1,2ht) }
{
/// Печать заголовка \\\
}
Write(' ');
For i := 1 to n do Write(' x=', xp[i]:1:1);
WriteLn;
t := 0;
{
/// Печать решения на нулевом
слое \\\ }
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
If u1[i] >= 0 then Write(' ',u1[i]:3:3)
else Write(u1[i]:3:3) ;
t := t + ht;
{
/// Печать решения на первом
слое \\\ }
WriteLn;
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
If u2[i] >= 0 then Write(' ',u2[i]:3:3)
else Write(u2[i]:3:3);
For j := 1 to 15 do
Begin
{Subroutine GIP3 Begin}
n1 := n1-1;
{Вычисление параметра сетки для проверки
условия Куранта}
a1 := ht/hx;
if a1 > 1 then WriteLn('Нарушено
условие Куранта') else
Begin
b1 := a1 * a1;
a1 := 2 * ( 1 - b1);
{Вычисление решения на очередном
слое}
For i := 2 to n do u3[i] := a1*u2[i]
+ b1 * (u2[i+1] +
u2[i-1]) - u1[i];
For i := 2 to n do
Begin
u1[i] := u2[i];
u2[i] := u3[i]
End;
End;
u1[n] := 0;
u2[n] := 0;
u3[n] := 0;
{Subroutine GIP3 End}
t := t + ht;
WriteLn;
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
{Вывод результатов}
If u2[i] >= 0 then Write('
',u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);
End;
WriteLn;
WriteLn;
End.
{
************************************************************* }
{
Приложение 1 (пример выполнения
лабораторной работы) }
{
------------ }
{ Программа решения смешанной задачи для
уравнения гиперболи- }
{ ческого типа методом сеток. }
{ Выполнили студенты гр. МС-2136 Шлепанов О.А. }
{ Луканин
А.Е. }
{ Скворчевский
Д.Ю. }
{ Сухоруков
А.В. }
{ Осинцев
А.В. }
{
************************************************************* }
Program
Laboratornaya_rabota_43;
Const
hx = 0.1 ; { Шаг по x - hx }
ht = 0.05 ; { Шаг по t - ht }
n =
11 ; { Количество узлов }
Function
f(x : Real) : Real; { Данная функция }
{ вычисляющая
решение при t=0 }
Begin
If x <= 0.5 then
f := 2 * x
else
f := 2 - 2 * x;
End;
Function
g(x : Real) : Real; { Данная функция }
{ вычисляющая
производную решения при t=0 }
Begin
g := 0;
End;
Var
xp : Array[1..n] of Real;
i,j,n1 : Word;
x,t,a1,b1 : Real;
u1,u2,u3 : Array[1..n] of Real;
Begin
n1 := n;
WriteLn('Приложение 2');
WriteLn('------------');
WriteLn('Результат, полученный при
вычислении программы :');
WriteLn;
xp[1] := 0;
xp[n] := 1;
For i := 2 to ( n - 1 ) do
Begin
x := (i-1) * hx;
xp[i] := x;
u1[i] := f(x); { u(x,0) на 0 слое }
u2[i] := u1[i] + ht * g(x); { u(x,ht) на 1 слое }
End;
{
/// Задание граничных
условий \\\ }
u1[1] := 0 ; { u(0,0) }
u1[n] := 0 ; { u(1,0) }
u2[1] := 0 ; { u(0,ht) }
u2[n] := 0 ; { u(1,ht) }
u3[1] := 0 ; { u(0,2ht) }
u3[n] := 0 ; { u(1,2ht) }
{
/// Печать заголовка \\\
}
Write(' ');
For i := 1 to n do Write(' x=', xp[i]:1:1);
WriteLn;
t := 0;
{
/// Печать решения на нулевом
слое \\\ }
Write('t=',t:2:2,' ');
For i
:= 1 to n do
If u1[i] >= 0 then Write(' ',u1[i]:3:3)
else Write(u1[i]:3:3) ;
t := t + ht;
{
/// Печать решения на первом
слое \\\ }
WriteLn;
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
If u2[i] >= 0 then Write(' ',u2[i]:3:3)
else Write(u2[i]:3:3);
For j := 1 to 15 do
Begin
{Subroutine GIP3 Begin}
n1 := n1-1;
{Вычисление параметра сетки для проверки
условия Куранта}
a1 := ht/hx;
if a1 > 1 then WriteLn('Нарушено
условие Куранта') else
Begin
b1 := a1 * a1;
a1 := 2 * ( 1 - b1);
{Вычисление решения на очередном
слое}
For i := 2 to n do u3[i] := a1*u2[i]
+ b1 * (u2[i+1] +
u2[i-1]) - u1[i];
For i := 2 to n do
Begin
u1[i] := u2[i];
u2[i] := u3[i]
End;
End;
u1[n] := 0;
u2[n] := 0;
u3[n] := 0;
{Subroutine GIP3 End}
t := t + ht;
WriteLn;
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
{Вывод результатов}
If u2[i] >= 0 then Write('
',u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);
End;
WriteLn;
WriteLn;
End.
{
************************************************************* }
{
Приложение 3 ( выполнения лабораторной
работы. Вариант 11) }
{
------------ }
{ Программа решения смешанной задачи для
уравнения гиперболи- }
{ ческого типа методом сеток. }
{ Выполнил студент гр. МС-2136 Луканин А.Е. }
{
************************************************************* }
Program
Laboratornaya_rabota_43_variant_11;
Const
hx = 0.1 ; { Шаг по x - hx }
ht = 0.05 ; { Шаг по t - ht }
n =
11 ; { Количество узлов }
Function
f(x : Real) : Real; { Данная функция }
{ вычисляющая
решение при t=0 }
Begin
f := x * ( x * x - 1 );
End;
Function
g(x : Real) : Real; { Данная функция }
{ вычисляющая
производную решения при t=0 }
Begin
g := 0;
End;
Var
xp : Array[1..n] of Real;
i,j,n1 : Word;
x,t,a1,b1 : Real;
u1,u2,u3 : Array[1..n] of Real;
Begin
n1 := n;
WriteLn('Приложение 4');
WriteLn('------------');
WriteLn('Результат, полученный при
вычислении программы :');
WriteLn;
xp[1] := 0;
xp[n] := 1;
For i := 2 to ( n - 1 ) do
Begin
x := (i-1) * hx;
xp[i] := x;
u1[i] := f(x); { u(x,0) на 0 слое }
u2[i] := u1[i] + ht * g(x); { u(x,ht) на 1 слое }
End;
{
/// Задание граничных
условий \\\ }
u1[1] := 0 ; { u(0,0) }
u1[n] := 0 ; { u(1,0) }
u2[1] := 0 ; { u(0,ht) }
u2[n] := 0 ; { u(1,ht) }
u3[1] := 0 ; { u(0,2ht) }
u3[n] := 0 ; { u(1,2ht) }
{
/// Печать заголовка \\\
}
Write(' ');
For i := 1 to n do Write(' x=', xp[i]:1:1);
WriteLn;
t := 0;
{
/// Печать решения на нулевом
слое \\\ }
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
If u1[i] >= 0 then Write(' ',u1[i]:3:3)
else Write(u1[i]:3:3) ;
t := t + ht;
{
/// Печать решения на первом
слое \\\ }
WriteLn;
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
If u2[i] >= 0 then Write(' ',u2[i]:3:3)
else Write(u2[i]:3:3);
For j := 1 to 15 do
Begin
{Subroutine GIP3 Begin}
n1 := n1-1;
{Вычисление параметра сетки для проверки
условия Куранта}
a1 := ht/hx;
if a1 > 1 then WriteLn('Нарушено
условие Куранта') else
Begin
b1 := a1 * a1;
a1 := 2 * ( 1 - b1);
{Вычисление решения на очередном
слое}
For i := 2 to n do u3[i] := a1*u2[i]
+ b1 * (u2[i+1] +
u2[i-1]) - u1[i];
For i := 2 to n do
Begin
u1[i] := u2[i];
u2[i] := u3[i]
End;
End;
u1[n] := 0;
u2[n] := 0;
u3[n] := 0;
{Subroutine GIP3 End}
t := t + ht;
WriteLn;
Write('t=',t:2:2,' ');
For i := 1 to n do
{Вывод результатов}
If u2[i] >= 0 then Write('
',u2[i]:3:3) else Write(u2[i]:3:3);
End;
WriteLn;
WriteLn;
End.
Численные и аналитические методы решения неоднородного нестационарного волнового уравнения. Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке. Решение неоднородного уравнения гиперболического типа методом фурье. Решить начально краевую задачу для уравнения гиперболического типа. Неоднородная смешанная задача для волнового уравнения на отрезке. Решение начально краевой задачи для гиперболического уравнения. Решение начально краевых задач для уравнения теплопроводности. Смешанная задача для уравнений гиперболических функций. Метод сеток для уравнений гиперболического типа. Решение смешанных задач методом сеток примеры. Уравнение гиперболического типа программа на. Решение краевых задач гиперболического вида. Решение уравнения гиперболического типа. Решения уравнения гиперболического типа. Уравнения теплопроводности Метод сеток.
|
