Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса-башфорта
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
*
Условия задачи
*
Метод прогноза и коррекции
*
Модифицированный метод Гаусса
*
ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА
*
ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ
*
Выводы
*
Листинг программы
*
Список литературы
*
ВВЕДЕНИЕ
Задачи прогноза протекания процессов , с дальнейшей их коррекцией весьма распространенны во многих областях науки и техники.
Решение таких задач связано с необходимостью использования численных методов , таких как : метод прогноза и коррекции , метод Адамса-Башфорта , метод Эйлера , метод Рунге-Кута , и др. Так же необходимо уметь решать системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методов интегрирования , на произвольном промежутке времени .
Пяти точечный Метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта - дает высокую точность результатов. При необходимости большего повышения точности употребляют трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага - это приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования .
Важнейшей вспомогательной научно-технической задачей является разработка программных средств, реализующих расчет точного прогноза протекания процессов.
Условия задачи
Используя метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта пятого порядка , требуется получить значения неизвестных для заданных временных интервалов . Для определения метода следует использовать метод прогноза и коррекции третьего порядка с переменным шагом , на заданных временных промежутках.
Метод прогноза и коррекции
Преимущества трех шагового метода прогноза и коррекции заключаются в его высокой точности , авто подборе шага , что во много раз повышает точность самого метода Адамса-Башфорта , и делает его оптимальным для задач такого рода .
Модифицированный метод Гаусса
Для решения системы четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными модифицированным методом Гаусса необходимо:
Составить систему;
Каждое уравнение поделить на коэффициент при X
1;
Образовать нули в первом столбце матрицы системы;
Повторить еще раз эти операции, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными , решение которой можно получить по формулам Крамера Значения X1 и X2 можно получить , подставив в какое-либо из уравнений систем и разрешив эти уравнения относительно соответствующей переменной .
ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА
В начале программы выводится сообщение, а именно о начальных условий и матрицы коэффициентов системы линейных дифференциальных уравнений первого рода , начального шага интегрирования , левого и правого условий Рунге , время интегрирования по трех шаговому методу прогноза и коррекции , время интегрирования по пяти точечному методу Адамса-Башфорта .
Дополнительные начальные условия находим с помощью метода Эйлера. Решение систем линейных дифференциальных уравнений мы описываем отдельной процедурой, что облегчает дальнейшую алгоритмизацию .
Далее составляем цикл, для реализации алгоритма нахождения всех Yk+1 точек на заданном малом промежутке времени , и проверкой на условия Рунге , по трех шаговому методу прогноза и коррекции с авто подбором шага . После чего мы организовываем цикл, реализующий алгоритм нахождения точек по методу Адамса-Башфота , на заданном большом промежутке времени и с шагом автоматически подобранным предыдущим методом .
Вычисленные данные записываем файл, по ним формируем массив данных, которые выводим в соответствии с масштабированием на экран в виде графиков.
ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ
Программа реализующая универсальный алгоритм для решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка произвольного вида, - построена по принципам объектно-ориентированного программирования.Основная программа построена на объектной библиотеке VFH , реализующей возможности реализации гибкого интерфейса между программой и пользователем .
Основная программа включает в себя только один модуль PACM , и использует всего два метода объекта TApplPandC , - метод Application - рабочий цикл программы ; деструктор Done – реализует разрушение таблицы виртуальных методов, и операций , связанных с завершением программы .
Модуль PACM включает в себя модули библиотек - реализующих построение интерфейса . Модуль реализующий алгоритм метода Адамса-Башфорта , и по вычесленным данным строящий график , есть – PACMBtn .
Главным родителем всех объектов есть объект – Tobject . Основным рабочим объектом библиотеки VFH есть объект Tform . Рассмотрим потомка являющегося типичным представителем родителя TForm - TApplPandC . Он имеет два виртуалых метода: MouseHandler: Boolean Б – выходным параметром которого есть признак закрытия формы , и метод FormCreate - реализующий построение интерфейса формы . Не виртуальный метод Application - предназначен для создания формы , конфигурирования программной среды , и дальнейшего управления программой .
Модуль реализующий создание и управления главного и субменю, есть – PACMMenu , позволяющий пользователю изменять параметры и настройки системы, предоставляющий справку о разработчике , а также дает доступ к справочной системе PrandCo M Help System . Данные свойства меню реализуют объекты TMenu , и THelpForm , объектной библиотеки VFH .
Теперь рассмотрим модуль PACMBtn – рреализующий алгоритм построения вычисленных данных. Процедура реализующая алгоритм пяти точечного метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта , - MethodAdamsaBashforta ( h,tp,ta : real ; NU : array[1..N] of real ) – параметры которой представляют : h - начальный шаг интегрирования ; tp – время интегрирования трех точечным методом прогноза и коррекции , ta – время интегрирования по методу Адамса-Башфорта , NU – массив начальных условий. Данная процедура способна производить решения систем линейных дифференциальных уравнений произвольного размера, на произвольном промежутке времени интегрирования. Вычисленные данные записываются в файлы prandcom*.df . Метод реализующий алгоритм построения вычисленных данных произвольной степени сложности , с возможностью построения графиков с не линейно изменяющимся шагом , построения одновременно любого количества графиков, - есть объект TCartFile , обладающего всеми свойствами родителей Tform , Tchart .
Стоит заметить, что программа PrandCo M version 2.41 - разработана на языке Borland Pascal под защищенный режим работы процессора и имеет доступ ко всей оперативной памяти компьютера. Реализует гибкий интерфейс, облегчающим работу с программным обеспечением. Позволяет решить систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Адамса-Башфорта , с возможность просмотра результатов вычисления в виде графиков .
Тестовые программы подтвердили то, что разработанный алгоритм предоставляет точность вычислений, погрешность которых не превышает 1% .
Выводы
В данной работе был создан алгоритм, а также программа для решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта .
Проделаны тестовые расчеты, которые точно определили высокую эффективность метода Адамса-Башфорта со стартованием трех точечным методом прогноза и коррекции с переменным шагом.
Также были проделаны необходимые исследования решения систем как с постоянным шагом, так и с переменным шагом на сходимость к постоянному шагу.
Все результаты, полученные нами точны.
Листинг программы
Кафедры Автоматического Управления Движением
{$M 10000,0,0}
(****************************************************************************)
(****** Дата последней разработки : 05.05.2001 **********************)
(****************************************************************************)
Program Prognoz_and_Correction_Modification;
(****************************************************************************)
Uses PACM;
(****************************************************************************)
var
TPC : TApplPandC;
(****************************************************************************)
(******************************) begin (*************************************)
TPC.Application;
TPC.Done;
(*******************************) end. (*************************************)
(****************************************************************************)
(****************************************************************************)
(**** Дата последней разработки модуля : 15.04.2001 *****************)
(****************************************************************************)
(****************************************************************************)
(*******************************) Unit PACM; (*******************************)
(****************************************************************************)
(*******************************) INTERFACE (********************************)
(****************************************************************************)
Uses FormObj,MouseObj,PACMEr,PACMMenu,PACMBtn,PACMPnl,PACMPC,PACMCnst;
(****************************************************************************)
type
TApplPandC = object ( TForm )
Function MouseHandler : boolean;Virtual;
Procedure FormCreate;Virtual;
Procedure Application;
end;
(****************************************************************************)
(******************************) IMPLEMENTATION (****************************)
(****************************************************************************)
Procedure TApplPandC.FormCreate;
var
Pnl : TPanel;
Pnl1 : TPanel;
TMenu1 : TCreateMenus;
begin
Pnl.Init(548,35,619,50,1,7,1,1,1,1,false,false);
Pnl.Panel;
Pnl1.Init(470,407,630,460,1,7,1,0,1,4,true,false);
Pnl1.Panel;
TPnl1.ToolBarCreate;
TPnl1.PanelCreate;
TPageControl1.PageControlCreater;
TBitBtns.BitBtnCreaters;
TMenu1.MenusCreate;
end;
(********************************)
Function TApplPandC.MouseHandler;
var
TMouse1 : TMouse;
b,x,y : word;
TMenu1 : TCreateMenus;
TSubMenu1 : TCreateMenus;
ST1 : TSystemTime;
begin
MouseHandler:=false;
TMouse1.GetMouseState(b,x,y);
ST1.Init(549,36,618,49,1,15);
ST1.SystemTime;
TBitBtns.BitBtnHandlers(b,x,y);
MouseHandler:=fExitBtn;
TMenu1.MenusVisible(x,y);
TMenu1.MenusHandlers(b,x,y);
TPageControl1.PageControlHandlers(b,x,y);
end;
Procedure TApplPandC.Application;
var
TIEr : TInitErrors;
begin
TIEr.FatalErrorVFH;
TIEr.LoadFont('km_defj8.fnt');
TIEr.FindImEr1('x.bi');
InitObjGraph;
if InitMouseJVU then
begin
TIEr.LfLoad('Lf.sys');
TIEr.ErrorExec('x.bi');
TIEr.FindFile('f1.dat');
TIEr.FindFile('f2.dat');
TIEr.FindFile('f3.dat');
TIEr.FindFile('f4.dat');
TIEr.FindFile('km_defj8.fnt');
TIEr.FindFile('f_nfrj8.fnt');
TIEr.FindFile('t_nfrj8.fnt');
TIEr.FindFile('asdf.bi');
TIEr.FindFile('pacm_n1.bi');
TIEr.FindFile('pacm_n2.bi');
TIEr.FindFile('pacm_n3.bi');
TIEr.FindFile('pacm_n4.bi');
TIEr.FindFile('PrandCoM.hlp');
TIEr.FindFile('litj.chr');
TIEr.FindFile('scri.chr');
TIEr.FindFile('trip.chr');
TIEr.FindFile('tscr.chr');
TIEr.FindFile('initm.mtr');
TIEr.FindFile('initnu.mtr');
if not fQuickHalt then
begin
TIEr.LoadCFG('PrandCom.cfg');
With HT do
begin
hx1:=575;
hy1:=20;
hx2:=637;
hy2:=34;
hc:=true;
hs:='Закрыть';
end;
Init(1,1,639,479,7,1,'Prognoz & Corrections Modifications');
Form;
end;
end
else
begin
TIEr.ErrorVFH;
end;
end;
(****************************************************************************)
(***********************************) END. (*********************************)
(****************************************************************************)
Список литературы
Дж.Ортега , У.Пул “Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений
. Пер.с англ.; под редакцией А.А.Абрамова - М.;Наука.Гл.ред.физ.мат.лит.1986.-288с.
Р.В.Хемминг “Численные методы для научных работников и инженеров ”: Пер с англ.:Под редакцией Р.С.Гутера .- Гл.ред.физ.мат.лит.1968.-203 с.
3..Т.Шуп.”Решение инженерных задач наЭВМ. Практическое пособие “Пер.с англ.-М.Мир.1982.-238с.
Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса Башфорта. Программа для решения систем линейных уравнений методом Крамера Москва Россия Москве. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса го порядка. Особенности программирования систем линейных дифференциальных уравнений на АВМ. Листинг программы Решение систем линейных уравнений методом Крамера в паскаль. Реферат на тему Линейные системы дифференциальных уравнений первого порядка. Решение систеы дифференциальных уравнений методом адамса башфорта порядка. Численное решение дифференциального уравнения методом Адамса в паскале. Решение систем двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными в среде. Решение систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Метода прогноза и коррекции для системы дифференциальных уравнений. Реферат на тему решение систем линейных уравнений методом крамера. Реферат на тему Решение систем линейных уравнений с переменными. Программа решения системы уравнений используя метод крамера. Решение системы дифференциальных уравнений методом адамса.
