Решение нелинейного уравнения методом касательных
Пензенский приборостроительный колледж
на тему:
Метод касательных решения
нелинейных уравнений
Выполнил: Ст-т
22п группы ЛЯПИН Р.Н.
Проверила: ______________
Ковылкино – 1999 г.
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
студент Ляпин Р.Н. группа
22п
1.
Тема:
"Метод касательных решения нелинейных уравнений".
2.
Изучить
теоретический материал по заданной
теме.
3.
Составить
блок схему алгоритма решения задачи .
4.
Написать
программу на языке Турбо-Паскаль для решения задачи в общем виде.
5.
Выполнить
программу с конкретными значениями исходных данных.
6.
Определить
корни уравнения х3 + 0,1 * х2 + 0,4 * х – 1,2 = 0
аналитически и уточнить один из них с точностью до 0,000001 методом касательных
7.
Срок
представления работы к защите: 10 мая 1999 г.
8.
Исходные
данные для исследования: научная и техническая литература.
Руководитель курсовой
работы: Кривозубова С.А.
Задание принял к
исполнению: Ляпин
Р.Н.
РЕФЕРАТ
Курсовая
работа содержит: страниц, 1 график, 5 источников.
Перечень
ключевых понятий:
производная, метод касательных, программирование, нелинейное уравнение.
Объект
исследования: Корни
нелинейного уравнения.
Цель
работы: Определение
корней нелинейного уравнения.
Методы
исследования: изучение
работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме.
Полученные
результаты: изучен метод
касательных решения нелинейных уравнений; рассмотрена возможность составления
программы на языке программирования Турбо-Паскаль 7.0
Область
применения: в работе
инженера.
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ........................................ 5
1.
Краткое описание сущности метода касательных
( метода секущих Ньютона).................... 7
2.
Решение нелинейного уравнения аналитически .. 9
3. Блок схема программы ........................ 11
4.
Программа на языке PASCAL 7.0 ............... 12
5.
Результаты выполнения программы ............. 13
СПИСОК
ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ ............... 14
ВВЕДЕНИЕ
Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ
достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов:
1.
Постановка
задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем или получается им в виде задания).
2.
Математическая
формулировка задачи.
3.
Разработка
алгоритма решения задачи.
4.
Написание
программы на языке программирования.
5.
Подготовка
исходных данных .
6.
Ввод
программы и исходных данных в ЭВМ.
7.
Отладка
программы.
8.
Тестирование
программы.
9.
Решение
задачи на ЭВМ и обработка результатов.
В настоящей курсовой работе условие задачи
дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1
и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на
ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических
действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению
результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких
пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая
формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой
последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При
этом алгоритм обладает следующими свойствами: детерминированностью, означающей,
что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к
одному и том уже результату;
массовость, позволяющей получать результат при различных исходных данных;
результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число
шагов.
Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в
виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих
определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается
информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную
нумерацию.
Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются
ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80.
На этапе 4 составляется
программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо
использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В
качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и
облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в
дальнейшем использовать для решения более трудных задач.
Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими,
поэтому им уделяется большое внимание.
В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные,
вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных
осуществляется с клавиатуры дисплея.
Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных
на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается
компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение
семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором
проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных
данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения.
Задание при обработке на ЭВМ
проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение.
Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые
результаты оформлены в виде, удобном для восприятия.
1. Краткое описание сущности метода касательных
( метода секущих Ньютона)
Пусть на отрезке [a; b]
отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на
отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[
существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”.
Так как f ’(x) ¹ 0 ,
то запишем уравнение
f (x) = 0
в виде :
x
= x – ( f (x) / f ’(x)) (1)
Решая его методом итераций можем записать :
xn+1
= x n– ( f (x n) / f ’(x n)) (2)
Если на отрезке [a;b] f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое
приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим
график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0
(рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет
иметь вид :
y = f (b) + f ’(b) * (x – b)
Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) ¹ 0, решаем
его относительно x. Получим
:
x = b
(f (b) /f ‘(b))
Нашли абсциссу x1 точки c1
пересечения касательной с осью ox :
x1 = b – (f (b) – f ’ (b))
Проведем касательную к графику
функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу
x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox :
x2 = x1 – (f (x1) / ( f ’(x1))
Вообще :
xk+1 = x k – ( f (x k) / f ’(x k)) (3)
Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk)
корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в
точке b k (x k; f (x k0)
метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с
помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x)
касательной, одной к одной из крайних
точек . Начальное приближение x 0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся
последовательность приближения х k принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f
, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0
берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f ’(х0) * f (х0)
> 0. Для оценки приближения используется общая формула :
|c-x k-1
| £ | f (x k+1)/m| , где m = min f ’(x) на отрезке [a;b] .
На практике проще пользоваться другим правилом :
Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и e - заданная
точность решения, то неравенство | x k+1-x k| £ e влечет
выполнение неравенства |c-x k-1|
£ e .
В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех
пор, пока не выполнится неравенство :
|c-x k-1|
£ e .
2.
Решение нелинейного уравнения аналитически
Определим корни уравнения х3 +
0,1х2 + 0,4х – 1,2 = 0 аналитически. Находим : f
(x) = х3 + 0,1х2
+ 0,4х – 1,2
f ‘ (x) = 3х2
+ 0,1х + 0,4
f (–1) = –2,5
< 0 f (0) = –1,2 < 0 f (+1) = 0,3 > 0 x - ¥ -1 0 +1 + ¥ sign f (x) - - - + +
Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке
[ 0; +1 ].
Приведем уравнение к виду x = j (x) , так , чтобы | j ‘ (x)
| <1 при 0 £ x £ +1.
Так как max
| f ’(x) | = f ’(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5 то можно взять R = 2.
Тогда j (x) = x – ( f (x) / R) = x – 0,5 х3 – 0,05 х2
0,2 х + 0,6 = – 0,5 х3 – 0,05 х2 + 0,8 х + 0,6.
Пусть х0 = 0 , тогда х n+1 = j (х n).
Вычисления расположим в таблице. n хn х2n х3n j (хn). f (x) 1 1 1 1 0,85 -0,17363 2 0,85 0,7225 0,614125 0,9368125 0,08465 3 0,9368125 0,87761766 0,822163194 0,89448752 -0,04651 4 0,89448752 0,800107923 0,715686552 0,917741344 0,024288 5 0,917741344 0,842249174 0,772966889 0,905597172 -0,01306 6 0,905597172 0,820106238 0,74268589 0,912129481 0,006923 7 0,912129481 0,83198019 0,758873659 0,908667746 -0,0037 8 0,908667746 0,825677072 0,750266124 0,910517281 0,001968 9 0,910517281 0,829041719 0,754856812 0,909533333 -0,00105 10 0,909533333 0,827250884 0,752412253 0,910057995 0,000559 11 0,910057995 0,828205555 0,753715087 0,909778575 -0,0003 12 0,909778575 0,827697055 0,753021048 0,909927483 0,000159 13 0,909927483 0,827968025 0,753390861 0,909848155 -8,5E-05 14 0,909848155 0,827823665 0,753193834 0,909890424 4,5E-05 15 0,909890424 0,827900583 0,753298812 0,909867904 -2,4E-05 16 0,909867904 0,827859602 0,753242881 0,909879902 1,28E-05 17 0,909879902 0,827881437 0,753272681 0,90987351 -6,8E-06 18 0,90987351 0,827869803 0,753256804 0,909876916 3,63E-06 19 0,909876916 0,827876002 0,753265263 0,909875101 -1,9E-06 20 0,909875101 0,827872699 0,753260756 0,909876068 1,03E-06
График функции y = х3 + 0,1х2
+ 0,4х – 1,2
3.
Блок схема программы
4. Программа на языке PASCAL 7.0
program
metod_kasatel;{Название
программы}
uses
Crt; {Модуль
дисплейных функций}
var {Блок
описаний переменных}
xn,xn1,a,b,c,mx,y0,x0 :real;
function f1(x1:Real):
Real; {Основная функция}
begin
f1 := x1*x1*x1*(-0.5)-0.05*x1*x1+0.8*x1+0.6;
end;
function
f2(x4:Real): Real; {Производная от основной функции}
begin
f2 := x4*x4*x4+0.5*x4*x4+0.1*x4*x4+0.4*x4–1.2;
end;
begin {Начало основного тела программы}
Clrscr; {Очистка экрана перед выполнением
программы}
a:=0;b:=1;c:=0.00000001;
Writeln(' От
A=',a,' до B=',b); {Вывод
на экран}
Writeln('
Погрешность с=',c);
Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}
xn:=b;
xn1:= f1(xn);
y0:=f2(b);
while ABS(y0)>c do {Проверка
по точности вычисления корня}
begin {Тело
цикла}
xn:=xn1;
xn1:=f1(xn);
y0:= f2(xn1);
{Печать промежуточного результата}
Writeln('xn=',xn,' xn+1=',xn1,'
f(xn+1)=',y0);
Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}
end; {Конец тела цикла}
Writeln('Конечные
значения'); {Печать полученного результата}
Writeln(' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0);
Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}
end. {Конец
основного тела программы}
5. Результаты выполнения программы
От
A= 0.0000000000E+00 до B=
1.0000000000E+00
Погрешность с= 1.0000000000E-08
От
A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00
Погрешность с= 1.0000000000E-08
xn=
8.5000000000E-01 xn+1= 9.3681250000E-01 f(xn+1)= 8.4649960270E-02
xn=
9.3681250000E-01 xn+1= 8.9448751986E-01 f(xn+1)=-4.6507647892E-02
xn=
8.9448751986E-01 xn+1= 9.1774134381E-01 f(xn+1)= 2.4288343840E-02
xn=
9.1774134381E-01 xn+1= 9.0559717189E-01 f(xn+1)=-1.3064617920E-02
xn=
9.0559717189E-01 xn+1= 9.1212948085E-01 f(xn+1)= 6.9234699658E-03
xn=
9.1212948085E-01 xn+1= 9.0866774587E-01 f(xn+1)=-3.6990702320E-03
xn=
9.0866774587E-01 xn+1= 9.1051728099E-01 f(xn+1)= 1.9678960780E-03
xn= 9.1051728099E-01 xn+1=
9.0953333295E-01 f(xn+1)=-1.0493249720E-03
xn= 9.0953333295E-01 xn+1=
9.1005799543E-01 f(xn+1)= 5.5884091853E-04
xn= 9.1005799543E-01 xn+1=
9.0977857497E-01 f(xn+1)=-2.9781681224E-04
xn= 9.0977857497E-01 xn+1=
9.0992748338E-01 f(xn+1)= 1.5865717614E-04
xn= 9.0992748338E-01 xn+1=
9.0984815480E-01 f(xn+1)=-8.4537703515E-05
xn= 9.0984815480E-01 xn+1=
9.0989042365E-01 f(xn+1)= 4.5040009354E-05
xn= 9.0989042365E-01 xn+1=
9.0986790364E-01 f(xn+1)=-2.3997676180E-05
xn= 9.0986790364E-01 xn+1=
9.0987990248E-01 f(xn+1)= 1.2785800209E-05
xn= 9.0987990248E-01 xn+1=
9.0987350958E-01 f(xn+1)=-6.8122881203E-06
xn= 9.0987350958E-01 xn+1=
9.0987691573E-01 f(xn+1)= 3.6295678001E-06
xn= 9.0987691573E-01 xn+1=
9.0987510095E-01 f(xn+1)=-1.9338276616E-06
xn= 9.0987510095E-01 xn+1=
9.0987606786E-01 f(xn+1)= 1.0303429008E-06
xn= 9.0987606786E-01 xn+1=
9.0987555269E-01 f(xn+1)=-5.4896190704E-07
xn= 9.0987555269E-01 xn+1=
9.0987582717E-01 f(xn+1)= 2.9248803912E-07
xn= 9.0987582717E-01 xn+1=
9.0987568093E-01 f(xn+1)=-1.5583464119E-07
xn= 9.0987568093E-01 xn+1=
9.0987575885E-01 f(xn+1)= 8.3031409304E-08
xn= 9.0987575885E-01 xn+1=
9.0987571733E-01 f(xn+1)=-4.4236003305E-08
xn= 9.0987571733E-01 xn+1=
9.0987573945E-01 f(xn+1)= 2.3572283681E-08
xn= 9.0987573945E-01 xn+1=
9.0987572766E-01 f(xn+1)=-1.2558302842E-08
xn= 9.0987572766E-01 xn+1=
9.0987573394E-01 f(xn+1)= 6.6920620156E-09
Конечные значения
xn+1= 9.0987573394E-01 f(xn+1)=
6.6920620156E-09
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.
Алексеев
В. Е., Ваулин А.С., Петрова Г. Б. – Вычислительная техника и программирование.
Практикум по программированию :Практ .пособие/ –М.: Высш. шк. , 1991. – 400 с.
2.
Абрамов
С.А., Зима Е.В. – Начала программирования на языке Паскаль. – М.: Наука, 1987.
112 с.
3.
Вычислительная
техника и программирование: Учеб. для техн. вузов/ А.В. Петров, В.Е. Алексеев,
А.С. Ваулин и др. – М.: Высш. шк., 1990 – 479 с.
4.
Гусев
В.А., Мордкович А.Г. – Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. – 2-е
изд. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.
5.
Марченко
А.И., Марченко Л.А. – Программирование в среде Turbo
Pascal 7.0 – К.:
ВЕК+, М.: Бином Универсал, 1998. – 496 с.
Программа на С Метод Ньютона решение нелинейных уравнений Москва Россия Москве. Контрольная работа по теме решение нелинейных уравнений методом Ньютона.
|
