Расчет дифференциального уравнения первого второго и третьего порядка методом Эйлера
Міністерство освіти України
ДАЛПУ
Кафедра
автоматизації
технологічних
процесів і приладобудування
КУРСОВА РОБОТА
з курсу “Математичне моделювання на
ЕОМ”
на тему “Розв’язок диференціального
рівняння
виду апу(п)+ап-1у(п-1)+…+а1у1+а0у=кх при заданих
початкових
умовах з автоматичним вибором кроку
методом Ейлера”
Виконала
студентка групи БА-4-97
Богданова
Ольга Олександрівна
Холоденко
Вероніка Миколаївна
Перевірила Заргун Валентина Василівна
1998
Блок-схема алгоритма
Блок-схема алгоритма
начало
у/=f(x,y)
y(x0)=y0
x0, x0+a
h, h/2
k:=0
xk+1/2:=xk+h/2
yk+1/2:=yk+f(xk,
yk)h/2
αk:= f(xk+1/2, yk+1/2)
xk+1:=xk+h
yk+1:=yk+αkh
нет k:=n
да
x0, y0,
x1, y1…
xn, yn
конец
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
И МЕТОД РЕШЕНИЯ
Решить
дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом -
это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…,
хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие
значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…,
n) и F(x0)=y0.
Таким образом, численные методы позволяют вместо
нахождения функции
У=F(x) получить таблицу значений этой функции для
заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1
называется шагом интегрирования.
Метод
Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы
приближенных значений искомой функции у(х). Он
является сравнительно грубым и применяется в основном для
ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера,
являются исходными для ряда других методов.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
y/=f(x,y)
(1)
с
начальным условием
x=x0,
y(x0)=y0 (2)
Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].
Разобьем отрезок [a,
b] на n равных
частей и получим последовательность х0, х1,
х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг
интегрирования.
В методе Эйлера приближенные значения у(хi)»yi
вычисляются
последовательно по формулам уi+hf(xi,
yi) (i=0,1,2…).
При этом искомая интегральная кривая у=у(х),
проходящая через точку М0(х0, у0), заменяется
ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,…); каждое
звено МiMi+1
этой ломаной,
называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением
той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку Мi.
Если правая часть уравнения (1) в
некотором прямоугольнике R£a, удовлетворяет условиям:
|f(x, y1)- f(x, y2)| £ N|y1-y2|
(N=const),
|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)|
£ M (M=const),
то имеет место следующая оценка погрешности:
|y(xn)-yn|
£ hM/2N[(1+hN)n-1],
(3)
где у(хn)-значение точного решения
уравнения(1) при х=хn, а уn-
приближенное значение, полученное на n-ом шаге.
Формула (3) имеет в основном теоретическое
применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с
шагом h, затем
шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2.
Погрешность более точного значения уn* оценивается формулой
|yn-y(xn)|»|yn*-yn|.
Метод Эйлера
легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на
дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть
предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.
Модифицированный метод Эйлера более точен.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y/=f(x,y)
с начальным условием y(x0)=y0.
Разобьем наш участок интегрирования на n
равных частей. На малом участке [x0,x0+h]
у
интегральную
кривую заменим прямой
Nk/ y=y(x) линией. Получаем
точку Мк(хк,ук).
Мк Мк/
yk+1
yk
хк хк1/2 xk+h=xk1 х
Через Мк проводим касательную: у=ук=f(xk,yk)(x-xk).
Делим
отрезок (хк,хк1) пополам:
xNk/=xk+h/2=xk+1/2
yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2
Получаем
точку Nk/. В этой точке строим
следующую касательную:
y(xk+1/2)=f(xk+1/2,
yk+1/2)=αk
Из точки Мк проводим прямую с угловым
коэффициентом αк и определяем точку пересечения этой прямой с прямой
Хк1. Получаем точку Мк/. В качестве ук+1
принимаем ординату точки Мк/. Тогда:
ук+1=ук+αкh
xk+1=xk+h
(4) αk=f(xk+h/2, yk+f(xk,Yk)h/2)
yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h
(4)-рекурентные формулы метода
Эйлера.
Сначала
вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2
в точках хк+1/2, затем находят значение
правой части уравнения (1) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.
Для оценки погрешности в точке хк
проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и
берут 1/3 разницы этих значений:
| ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk),
где
у(х)-точное решение дифференциального уравнения.
Таким образом, методом Эйлера можно решать
уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c начальными условиями y/(x0)=y/0,
y(x0)=y0, выполняется замена:
y/=z
z/=f(x,y,z)
Тем
самым преобразуются начальные условия: y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0.
РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА
Приведем расчет дифференциального уравнения первого,
второго и третьего порядка методом
Эйлера
1. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:
y/=2x-y
Требуется
найти решение на отрезке [0,1] c шагом h=(1-0)/5=0,2
Начальные
условия: у0=1;
Пользуясь
рекурентными формулами (4), находим:
1). x1=0,2; х1/2=0,1; y(x1)=y(x0)+α0h; y(x1/2)=y(x0)+f(x0,y0)h/2;
f(x0,y0)=2*0-1=-1
y(x1/2)=1-1*0,1=0,9
α0=2*0,1-0,9=-0,7
y1=1-0,1*0,2=0,86
2). y(x2)=y(x1)+α1h; x2=0,2+0,2=0,4;
x1+1/2=x1+h/2=0,2+0,1=0,3
y(x1+1/2)=y(x1)+f(x1,y(x1))h/2
f(x1,y1)=2*0,2-0,86=-0,46
y(x1+1/2)=0,86-0,46*0,1=0,814
α1=2*0,3-0,814=-0,214
y2=0,86-0,214*0,2=0,8172
3). x3=0,4+0,2=0,6; x2+1/2=x2+h/2=0,4+0,1=0,5
f(x2,y2)=2*0,4-0,8172=-0,0172
y2+1/2=0,8172-0,0172*0,1=0,81548
α2=2*0,5-0,81548=0,18452
y3=0,8172+0,18452*0,2=0,854104
4).x4=0,8; x3+1/2=x3+h/2=0,6+0,1=0,7
f(x3,y3)=2*0,6-0,854104=0,345896
y3+1/2=0,854104+0,345896*0,1=0,8886936
α3=2*0,7-0,89=0,5113064
y4=0,854104+0,5113064*0,2=0,95636528
5).x5=1; x4+1/2=0,8+0,1=0,9
f(x4,y4)=2*0,8-0,956=0,64363472
y4+1/2=0,956+0,643*0,1=1,020728752;
α4=2*0,9-1,02=0,779271248
y5=0,956+0,7792*0,2=1,11221953
2. Дано
уравнение второго порядка:
y//=2x-y+y/
Находим решение на том же
отрезке [0,1] c шагом h=0,2;
Замена: y/=z
z/=2x-y+z
Начальные условия: у0=1
z0=1
1).x1=0,2; x1/2=0,1
y(z1)=y(z0)+α0h z(x1,y1)=z(x0,y0)+β0h
y(z1/2)=y(z0)+f(z0,y0)h/2 z(x1/2,y1/2)=z(x0,y0)+f(x0,y0,z0)h/2
f(z0,y0)=f10=1 f(x0,y0,z0)=f20=2*0-1+1=0
y1/2=1+1*0,1=1,1 z1/2=1+0*0,1=1
α0=z0=1 β0=2*0,1-1,1+1=0,1
y1=1+0,2*1=1,2 z1=1+0,2*0,1=1,02
2).x2+0,4; x1+1/2=0,3
f11=z1=1,02 f21=2*0,2-1,2+1,02=0,22
y1+1/2=1,2+1,02*0,1=1,1 z1+1/2=1,02+0,22*0,1=1,042
α1=z1+1/2=1,042 β1=2*0,3-1,302+1,042=0,34
y2=1,2+1,042*0,2=1,4084 z2=1.02+0,34*0,2=1,088
3).x3=0,6; x2+1/2=0,5
f12=z2=1,088 f22=2*0,4-1,4084+1,088=0,4796
y2+1/2=1,4084+1,088*0,1=1,5172 z2+1/2=1,088+0,4796*0,1=1,13596
α2=z2+1/2=1,13596 β2=2*0,5-1,5172+1,13596=0,61876
y3=1,4084+1,136*0,2=1,635592 z3=1,088+0,61876*0,2=1,211752
4).x4=0,8; x3+1/2=0,7
f13=z3=1,211752 f23=2*0,6-1,636+1,212=0,77616
y3+1/2=1,636+1,212*0,1=1,7567672 z3+1/2=1,212+0,776*0,1=1,289368
α3=z3+1/2=1,289368 β3=2*0,7-1,7568+1,289=0,9326008
y4=1,6+1,289*0,2=1,8934656 z4=1,212+0,93*0,2=1,39827216
5).x5=1; y4+1/2=0,9
f14=z4=1,39827216 f24=2*0,8-1,893+1,398=1,10480656
y4+1/2=1,893+1,398*0,1=2,0332928 z4+1/2=1,398+1,105*0,1=1,508752816
α4=z4+1/2=1,508752816 β4=2*0,9-2,03+1,5=1,27546
y5=1,893+1,5*0,2=2,195216163 z5=1,398+1,275*0,2=1,65336416
3. Чтобы
решить уравнение третьего порядка
y///=2x-y-y/+y//
на
отрезке [0,1], с шагом h=0,2 и начальными условиями
y0//=1
y0/=1
y0=1
необходимо
сделать 3 замены: y/=a y0/=a0=1
y//=a/=b y0//=b0=1
b/=2x-y-a+b
1).x1=0,2; x1/2=0,1
y(a1)=y(a0)+a0h y(a1/2)=y(a0)+f10h/2
a(b1)=a(b0)+β0h a(b1/2)=a(b0)+f20h/2
b(x1,y1,a1)=b(x0,y0,a0)+γ0h b(x1/2,y1/2,a1/2)=b(x0,y0,a0)+f30h/2
f10=f(a0,y(a0))=1 y1/2=1+1*0,1=1,1
f20=f(b0,a(b0))=1 a1/2=1+1*0,1=1,1
f30=f(x0,y0,a0,b0)=-1 b1/2=1-1*0,1=0,9
α0=a1/2=1,1
y(a1)=1+1,1*0,2=1,22
β0=b1/2=0,9
a(b1)=1+0,9*0,2=1,18
γ0=2*0,1-1,1-1,1+0,9=-1,1 b(x1,y1,a1)=1-1,1*0,2=0,78
2).x2=0,4; x1+1/2=x1+h/2=0,3
f11=a1=1,18
y1+1/2=1,22+1,18*0,1=1.338
f21=b1=0,78
a1+1/2=1,18+0,78*0,1=1,258
f31=2*0,2-1,22-1,18+0,78=-1,22 b1+1/2=-1,22*0,1+0,78=0,658
α1=a1+1/2=1,258 y2=1,22+1,258*0,2=1,4716
β1=b1+1/2=0,658 a2=1,18+0,658*0,2=1,3116
γ1=2*0,3-1,338-1,258+0,658=-1,338 b2=0,78-1,338*0,2=0,5124
3).x3=0,6; x2+1/2=0,5
f12=a2=1,3116 y2+1/2=1,47+1,3*0,1=1,60276
f22=b2=0,5124 a2+1/2=1,3116+0,5*0,1=1.36284
f32=2*0,4-1,47-1,31+0,512=-1,4708 b2+1/2=0,4-1,4*0,1=0,36542
α2=1,36284
y3=1,4716+1,3116*0,2=1,744168
β2=0,36542
a3=1,3116+0,3654*0,2=1,384664
γ2=2*0,5-1,6-1,36+0,365=-1,60018 b3= 0,51-1,60018*0,2=0,192364
4).x4=0,8; x3+1/2=0,7
f13=1,384664 y3+1/2=1,74+1,38*0,1=1,8826364
f23=0,192364 a3+1/2=1,38+0,19*0,1=1,4039204
f33=2*0,6-1,7-1,38+0,19=-1,736488 b3+1/2=0,19-1,7*0,1=0,0187152
α3=1,4039204 y4=1,74+1,4*0,2=2,0249477
β3=0,0187152 a4=1,38+0,9187*0,2=1,388403
γ3=2*0,7-1,88-1,4+0,0187=-1,8678416 b4=0,192-1,87*0,2=-0,1812235
5).x4=1; x4+1/2=0,9
f14=1,388403
y4+1/2=2,02+1,388*0,1=2,16379478
f24=-0,1812235 a4+1/2=1,4-0.181*0,1=1,370306608
f34=2*0,8-2,02-1,388-0,18=-1,9945834 b4+1/2=-0,18-1,99*0,1=-0,38066266
α4=1,3703
y5=2,02+1,37*0,2=2,2990038
β4=-0,38066
a5=1,388-0,38*0,2=1,3122669
γ4=2*0,9-2,16-1,37-0,38=-2,114764056 b5=-0,181-2,1*0,2=-0,6041734
Программа на Turbo Pascal
uses
crt,pram,kurs1_1;
var
yx,xy,l,v,p,ff,ay,by,x:array [0..10] of
real;
y,a,b:array[0..10,0..1] of real;
i,n,o:integer;
c,d,h,k:real;
label
lap1;
begin
screen1;
clrscr;
writeln('введите
наивысший порядок производной не больше трех ');
readln(n);
if
n=0 then begin
writeln('это
прямолинейная зависимость и решается без метода Эйлера');
goto
lap1;end;
writeln('введите
коэффициенты {a0,a1}');
for
i:=0 to n do
readln(l[i]);
if
(n=1) and (l[1]=0) or (n=2) and (l[2]=0) or (n=3) and (l[3]=0) then begin
writeln('деление на ноль');
goto lap1;
end;
writeln('введите
коэффициент при x');
readln(k);
writeln('введите
отрезок ');
readln(c,d);
o:=5;
h:=abs(d-c)/o;
writeln('шаг=',h:1:1);
writeln('задайте
начальные условия y(x)= ');
for
i:=0 to n-1 do
readln(v[i]);
if
n=3 then begin
yx[0]:=v[0];
ay[0]:=v[1];
by[0]:=v[2];
p[0]:=(k*c-l[0]*v[0]-l[1]*v[1]-l[2]*v[2])/l[3];
x[0]:=c;
gotoxy(32,1);
write(' ');
gotoxy(32,2);
write(' x y a b ');
gotoxy(32,3);
write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,'
',ay[0]:7:7,' ',by[0]:7:7,' ');
for i:=0 to o-1 do begin
x[i]:=x[i]+h/2;
y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];
a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*by[i];
b[i,1]:=by[i]+(h/2)*p[i];
ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1]-l[2]*b[i,1])/l[3];
xy[i]:=x[i]+h/2;
yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];
ay[i+1]:=ay[i]+h*b[i,1];
by[i+1]:=by[i]+h*ff[i];
x[i+1]:=x[i]+h/2;
p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1]-l[2]*by[i+1])/l[3];
end;
for i:=0 to o-1 do begin
gotoxy(32,4+i);
write(' ',xy[i]:7:7,'
',yx[i+1]:7:7,' ',ay[i+1]:7:7,' ',by[i+1]:7:7,' ');
end;
gotoxy(32,4+o);
write(' ');
end;
if
n=2 then begin
x[0]:=c;
yx[0]:=v[0];
ay[0]:=v[1];
p[0]:=(k*c-l[0]*yx[0]-l[1]*v[1])/l[2];
gotoxy(32,1);
write(' ');
gotoxy(32,2);
write(' x y a ');
gotoxy(32,3);
write(' ',c:7:7,'
',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ');
for i:=0 to o-1 do begin
x[i]:=x[i]+h/2;
y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];
a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*p[i];
ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1])/l[2];
xy[i]:=x[i]+h/2;
yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];
ay[i+1]:=ay[i]+h*ff[i];
x[i+1]:=x[i]+h/2;
p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1])/l[2];
end;
for i:=0 to o-1 do begin
gotoxy(32,4+i);
write(' ',xy[i]:7:7,'
',yx[i+1]:7:7,'
',ay[I+1]:7:7,' ');
end;
gotoxy(32,4+o);
write(' ');
end;
if n=1 then begin
x[0]:=c;
yx[0]:=v[0];
p[0]:=(k*x[0]-l[0]*yx[0])/l[1];
for i:=0 to o-1 do begin
x[i]:=x[i]+h/2;
y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*p[i];
xy[i]:=x[i]+h/2;
ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1])/l[1];
yx[i+1]:=yx[i]+h*ff[i];
x[i+1]:=x[i]+h/2;
p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1])/l[1];
end;
gotoxy(32,1);
write(' ');
gotoxy(32,2);
write(' x y ');
gotoxy(32,3);
write('
',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ');
for i:=0 to o-1 do begin
gotoxy(32,4+i);
write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ');
end;
gotoxy(32,o+4);
write(' ');
end;
lap1:readln;
pramo;
delay(10000);
clrscr;
end.
ЗАПУСК ПРОГРАММЫ НА ВЫПОЛНЕНИЕ
Программа находится в файле kursova1.pas, и имеет 2 модуля, в которых содержатся
заставки. Модули находятся в файлах pram.tpu и kurs1_1.tpu.
Для запуска файла kursova1.pas
в Turbo Pascal необходимо нажать F9. Появится первая заставка,
далее нажать enter и ввести все необходимые начальные условия: порядок
производной, коэффициенты при членах рада, отрезок и начальные значения у(х0).
На экране выводится шаг вычисления и таблица с ответами. После нажатия enter выводится
вторая заставка, после чего мы возвращаемся к тексту программы.
ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ
1 – ввод данных, используемых
в программе
2 – использование метки,
очистка экрана, ввод требований, решение
дифференциального уравнения в зависимости от ввода начальных
условий
3 – присвоение начальных
условий для дифференциального уравнения
третьего порядка
4 – вывод таблицы со значениями
5 – ввод формул метода Эйлера
для уравнения третьего порядка
6 – присвоение начальных условий
для решения дифференциального
уравнения второго порядка
7 – вывод таблицы для
уравнения второго порядка
8 – формулы метода Эйлера для
уравнения второго порядка
9 – начальные условия для
дифференциального уравнения первого порядка
10 – формулы метода Эйлера для
решения уравнения первого порядка
11 – вывод таблицы
12 – обращение к метке,
задержка для просмотра результатов, очистка
экрана, конец программы.
Вывод уравнения эйлера из принципа максимума понтрягина для уравнения с запаздыванием. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах с модификационным методом эйлера. Решение дифференциального уравнения второго порядка метод эйлера алгоритм. Реферат на тему Обыкновенные дифференциальное уравнение первого порядка. Об устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений и метода Эйлера. Модифицированный метод Эйлера блок схема алгоритма Москва Россия Москве. Решение дифференциального уравнения второго порядка методом Эйлера в. Решение дифференциального уравнения третьего порядка методом Эйлера. Пример решения дифференциальных уравнений го порядка методом эйлера. Примеры нахождения значения функции с использованием метода Эйлера. Решение дифференциального уравнения второго порядка методом Эйлера. Решение дифференциальных уравнений второго порядка методом эйлера. Решение дифференциальных уравнений первого порядка методом эйлера. Реферат решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера. Программа дифференциальное уравнение на отрезке методом эйлера.
|
