Применение графиков в решении уравнений
Применение графиков в решении уравнений
Основная часть: Применение графиков в решении уравнений.
I)Графическое решение квадратного уравнения:
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;
Перепишем его так:x
2
=-px-q.(1)
Построим графики зависимостей:y=x
2 и y=-px-q.
График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.
Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим параболу у=х
2
, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.
Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.
Примеры:
1.Решить уравнение:4x
2
-12x+7=0
Представим его в виде x
2
=3x-7/4.
Построим параболу y=x
2 и прямую y=3x-7/4.
Рисунок 1.
Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x
1
=0.8 и x
2
=2.2 (см. рисунок 1).
2.Решить уравнение : x
2
-x+1=0.
Запишем уравнение в виде: x
2
=x-1.
Построив параболу у=х
2 и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.
Рисунок 2.
Проверим это. Вычислим дискриминант: D=(-1)2-4=-3<0,
А поэтому уравнение не имеет корней.
3. Решить уравнение: x
2
-2x+1=0
Рисунок 3.
Если аккуратно начертить параболу у=х
2
и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1;уравнение имеет один корень х=1(обязательно проверить это вычислением). II)
Системы уравнений.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х
2
2 –парабола, уравнения х
2
+у
2
=4 – окружность, и т.д..
Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения. Пример1:решить систему ⌠ x
2
+y
2
=25 (1) ⌠y=-x
2
+2x+5 (2)
Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):
Построим в одной системе координат графи) х
2
+у
2
=25 и у=-х
2
+2х+5
Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения: х1≈-2,2 , у1≈-4,5; х2≈0, у2≈5; х3≈2,2 , у3≈4,5; х4≈4, у4≈-3.
Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье – приближёнными. III)Тригонометрические уравнения:
Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения на примере.
Рисунок5.
Пример1:sinx+cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5)
Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2πп,где пЄZ и х=π
/2+2π
k,где kЄZ(Обязательно проверить это вычислениями). Рисунок 6.
Пример2:Решить уравнение:tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего. Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х=πп, пЄZ u x=2πk/3, где kЄZ.(Проверить это вычислениями) Применение графиков в решении неравенств.
1)Неравенства с модулем.
Пример1.
Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.
На интеграле(-1;-∞) по определению модуля имеем |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству –2х<4,которое справедливо при х>-2. Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.
На интеграле (1;+∞) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.
Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.
Рисунок 7.
На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)
II)Неравенства с параметрами.
Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.
Например, неравенство√а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.
Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.
Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения. Пример1:
Решить неравенство|х-а|+|х+а|<b, a<>0.
Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций. Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.
Очевидно, что при b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, то прямая y=b пересекает график функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при –b/2<x<b/2,так как при этих значениях переменной кривая y=|x+a|+|x-a| расположена под прямой y=b.
Ответ:Если b<=2|a| , то решений нет, Если b>2|a|, то
x ˆ
(-b/2;b/2). III)
Тригонометрические неравенства:
При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a, sin x<a, sin x<=a.
Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2π. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2πп, пЄZ. Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2.(рисунок 10)
Сначала решим это неравенство на отрезке[-π
/2;3π/2]. Π
ассмотрим его левую часть – отрезок [-π
/2;3π/2].Η
десь уравнение sin x=-1/2 имеет одно решение х=-
π/6; ΰ функция sin x монотонно возрастает. Значит, если –π/2<=x<= -
π
/6, то
sin x<=sin(-π/6)=-1/2
, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=
π
/2 то sin x>sin(-
π
/6) = –1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.
На оставшемся отрезке [π
/2;3π/2] τ
ункция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если π/2<=x<7
π
/, то sin x>sin(7
π
/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є[7
π
/6;3
π
/2] имеем sin x<= sin(7
π
/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются . Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π
/2;3π/2] ε
сть интеграл (-π
/6;7π/6).
В силу периодичности функции sin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-
π/6+2πn;7π/6 +2πn),n
Z, также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются .
Ответ: -π
/6+2π
n<x<7
π
/6+2
π
n, где nЄZ.
Применение графиков к решению неравенств первой степени с одним неизвестным. Как используя рисунок определить какая из систем уравнений не имеет решений. Приминение графикоф к решению неравенств первой степени с одним неизвестным. Графический способ решения уравнений неравенств систем с двумя переменными. Уравнение множество решений уранений график уравнения с двумя переменными. Прешите квадратно неравеннство используя соответсвующий рисунок параболы. Построить области изменения переменной х удовлетворяющей неравенствам. Презентация по теме Неравенства с двумя переменными и их системы кл. Графический способ решения систем уравнений самостоятельная работа. Программа для решения уравнений с параметрами графическим способом. Реферат на тему применение высшей математики в инженерной графике. По графику скорости тела записать уравнение и начертить график и. Уравнение прямой наилучшим образом приближающей множество точек. Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными. Презентация по теме графическое решение систем уравнений класс.
|
