Приближенное вычисление корней в уравнениях
Приближенное вычисление корней в уравнениях
Содержание.
Приближённое решение уравнений :
1.1 Способ хорд (или способ линейной интерполяции).
Способ касательных (или способ Ньютона).
Комбинированный способ (комбинированное применение способов хорд и касательных).
Заключение.
Список литературы.
Приближённое решение уравнений. Если квадратные уравнения решали уже древние греки, то способы решения алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени были открыты лишь в XVI веке. Эти классические способы дают точные значения корней и выражают их через коэффициенты уравнения при помощи радикалов различных степеней. Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому имеют малую практическую ценность.
В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней доказано, что в общем случае их решения не выражаются через коэффициенты при помощи радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни уже такого простого по виду уравнения, как:
х^5-4х-2=0
Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения уравнения высших степеней. Имеется много способов приближенного решения уравнений - алгебраических и неалгебраических (или, как их называют, трансцендентных), позволяющих вычислять их корни с любой, заранее заданной степенью точности, что для практических целей вполне достаточно.
На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет идти о вычислении действительных корней.
Пусть нужно решить уравнение: f(x)=0 (1)
Если обратиться к рисунку, то каждый корень уравнения (1) представляет собой абсциссу точки пересечения графика функции y=f(х)
C осью Ох (рисунок №1)
С помощью графика функции или каким-нибудь иным способом обычно удаётся установить приблизительные значения корней. Это позволяет для каждого корня получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Такого рода грубых приближений во многих случаях оказывается достаточно, чтобы, отправляясь от них, получить все значения корня с требуемой точностью. Об этом и пойдёт речь.
Итак, пусть корень Е уравнения (1) "зажат" между двумя его приближениями а и b по недостатку и по избытку а< E<b . При этом будем предполагать, что f(х), f`(х) ,f``(х) непрерывны на отрезке [ а, b ], причём f`(х) и f``(х) сохраняют знак. Сохранение знака у f`(х) говорит о монотонности f(х) (и, следовательно, f(a) u f(b) имеют разные знаки). Сохранение же знака у f``(х) означает, что выпуклость кривой y=f(х) для всех х отрезка [ а, b ] обращена в одну сторону. На рисунке №2 изображены 4 случая, отвечающих возложенным комбинациям знаков у f`(х) и f``(х) .
Способ хорд (или способ линейной интерполяции).
Проведём хорду АВ (рисунок№3) и за первое приближённое значение корня примем абсциссу x1 точки С пересечения хорды с осью Ох.
Уравнение хорды имеет вид:
y-f(a)/f(b)-f(a)=x-a/b-a.
Поэтому в точке С:
-f(a)/f(b)-f(a)= x1-a/b-a
откуда:
x1=a- (b-a)*f(a)/ f(b)-f(a) Рассмотрение всех четырёх случаев, изображённых на рисунке №2, показывает, что точка x1 лежит между a и b с той стороны от Е, где f(х) имеет знак, противоположный знаку f``(х).
Остановим внимание на первом случае: f`(х)>0, f``(х)>0 (рисунок №3), - в остальных случаях рассуждение вполне аналогично. В этом первом случае x1 лежит между a и Е. С отрезком [x1, b] поступаем так же, как мы поступаем с отрезком [a, b] (рисунок №4). При этом для нового приближённого значения корня получаем: x1 = x2-(b- x1)*f(x1)/f(b)-f(x1)
( в формуле (2) заменяем x1 на x2, а на x1 ); значение x2 оказывается между x1 и Е. Рассматриваем отрезок [x2, b] и находим новое приближённое x3, заключённое между x2 и Е и. т. д. В результате получим последовательность а<x1<x2<x3<…<xn<…<E(3), всё более и более точных приближённых значений корня, причём хn+1 через xn выражается формулой:
хn+1= xn-(b- xn)*f(xn)/f(b)-f(xn) (4)
Для оценки погрешности соответсвующих приближений воспользуемся формулой Лагранжа:
f(xn)-f(E)=f`(c)*( xn-E) (xn<c<E) или, поскольку f(E)=0: f(xn)=f`(c)( xn-E),
откуда: xn-Е= f(xn)/ f`(c)
Если обозначить через m наименьшее значение |f`(х)| на рассматриваемом отрезке, то для оценки погрешности получим формулу:
|xn-E|<|f`( xn)|/m (5)
Эта формула, заметим, совершенно не связана со способом отыскивания величин xn и, следовательно, приложила к приближённым значениям корня, получаемым любым методом. Формула (5) позволяет судить о близости xn к Е по величине значения f(xn). Однако в большинстве случаев она даёт слишком грубую оценку погрешности, т. е. фактическая ошибка оказывается значительно меньше.
Легко доказать, что последовательность приближений:
x1,x2,x3,…xn,… (6)
для корня Е, получаемых по способу хорд, всегда сходится к Е. Из случая, рассматривающегося выше, мы видим, что последовательность (6) - монотонная и ограниченная. Поэтому она имеет некоторый предел n<E. Переходя к пределу в равенстве (4), в силу непрерывности f(x) получим:
n=n-(b-n)f(n)/f(b)-f(n)
откуда F(n)=0. Так как f(x) возрастает на отрезке [a, b], то уравнение f(х)=0 имеет единственный корень, и этим корнем по условию является Е. Поэтому n=E, т. е. lim xn=E.
Пример № 1. Методом хорд найдём положительный корень уравнения
х^4-2х-4=0
с точностью до 0,01.
Решение:
Положительный корень будет находиться в промежудке (1; 1,7), так как f(1)=-5<0, а f(1,7)=0,952 >0
Найдём первое приближённое значение корня по формуле (2):
х1=1-91,7-1)* f(1)/ f(1,7)- f(1)=1,588;
так как f(1,588)=-0,817<0, то, применяя вторично способ хорд к промежутку (1,588; 1,7), найдём второе приближённое значение корня: х2= 1,588-(1,7-1,588) f(1,588)/ f(1,7)- f(1,588)=1,639;
f(1,639)=-0,051<0.
Теперь найдём третье приближённое значение:
х3=1,639-(1,7-1,639) f(1,639)/ f(1,7)- f(1,639)=1,642;
f(1,642)=-0,016<0.
Теперь найдём четвёртое приближённое значение:
х4=1,642-(1,7-1,642) f(1,642)/ f(1,7)- f(1,642)=1,643;
f(1,643)=0,004>0
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.
1.2 Способ касательных (или способ Ньютона).
В том из концов дуги АВ (рисунок №5), в котором знаки f(х) и f``(х) совпадают, проводим касательную и за первое приближённое значение корня принимаем абсциссу х1` точки Д пересечения этой касательной с осью Ох. Обратимся вновь к первому случаю, соответствующему первому рисунку №2 (f`(x)>0, f``(x)>0), - в остальных случаях рассуждают опять-таки аналогично. Уравнение интересующей нас касательной имеет вид:
y-f(b)=f`(b)(x-b),
и поэтому в точке Д:
-f(b)=f`(b)(x1`-b),
откуда: x1`=b-f(b)/f`(b).
Из рисунка видно, что x1` лежит между Е и b. С отрезком [a, x1`] поступаем так же, как с отрезком [a, b] ( рисунок №5), и в результате для нового приближённого значения корня получим:
х2` = x1`- f( x1`)/ f`( x1`).
Значение х2` оказывается между Е и x1`. Рассматриваем отрезок [a, х2`] и находим новое приближение х3` и т. д. В результате получим последовательность:
b> x1`> х2`> х3`>…>xn`>…>E (7)
все более точных приближённых значений корня, причём:
xn+1`= xn`- f(xn`)/ f`( xn`) (8)
Эта формула справедлива для всех четырёх случаев, изображённых на рисунке 32. Для оценки погрешностей полученных приближений можно опять воспользоваться формулой (5), как и в первом случае, легко устанавливается сходимость последовальности x1`, х2`, х3`,…,xn`,… к значению Е
Пример №2. Методом касательных найдём положительный корень уравнения
x^4-2x-4=0
с точностью до 0,01.
Решение:
В этом уравнении f(х)=х^4-2x-4, f`(х)=4х^3-2,а f``(х)=12x^2.Так как f(х) и f``(х) при х0 = 1,7 имеют один и тот же знак, а именно: f(1,7)=0,952>0 и f``(1,7)>0, то применяем формулу:
x1`= х0- f(х0)/ f`( х0), где f`(1,7)=4*1,7^3-2=17,652. Тогда
x1=1,7- 0,952/17,652=1,646.
Применяем второй раз способ касательных:
х2= x1- f(x1)/ f` (x1), где f(x1)= f(1,646)=0,048, f` (1,646) =15,838;
x^2=1,646-0,048/15,838=1,643;
f(1,643)=0,004, f` (1,643)=15,740;
х3=1,643-0,004/15,740=1,6427.
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.
1.3 Комбинированный способ
(комбинированное применение способов хорд и касательных).
Этот способ состоит в одновременном использовании способов хорд и касательных. Остановим своё внимание опять на случае, отвечающем первому рисунку №2. Значения x1 и x1`, вычисляем по прежним формулам, т. е. принимаем:
x1=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a), (10)
x1`=b-f(b)/f`(b), причём: x1<E< x1`
Теперь вместо отрезка [a, b]рассматриваем отрезок [x1,x1`] (рисунок №6). Это даёт:
х2= x1-( x1`- x1)f(x1)/f(x1`)-f(x1),
х2`=x1`- f(x1)/f(x1`),причём х2<E< х2`
Далее рассматриваем отрезок [х2, х2`] и т. д.
В результате получаем:
хn<E< xn`,
хn+1= xn-( xn`- xn)f(xn)/f(xn`)-f(xn), а хn+1`= xn`-f(xn`)/f`( xn`) (11)
В данном случае мы приближаемся к корню сразу с обеих сторон (рисунок №6), а не с одной стороны, как в способе хорд и способе касательных. Поэтому разность xn`- xn позволяет судить о качестве полученных приближений, и никакие формулы для оценки здесь не нужны.
Пример№3. Комбинированным способом способом вычислим с точностью до 0,0005 положительные корни уравнения
X^5-x-0,2=0
Решение: График многочлена f(x)= X^5-x-0,2 для х>0 изображён на рисунке №7. Из этого рисунка видно, что уравнение имеет положительный единственный корень, лежащий на отрезке 1<x<1,1. Поскольку f`(x)=5x^4-1, f``(x)=20x^3, постольку на интересующем нас отрезке f`(x0>0,f``(x)>0 т. е. знак производных сохраняется. Применяем комбинированный способ:
f(a)=f(1)=-0,2, f(b)=f(1,1)=0,31051, f`(b)=f`(1,1)=6,3205.
Формулы (10) дают: x1=1+0,1*0,2/0,51051=1,039,
x1`=1,1-0,31051/6,3205=1,051
При этом x1`- x1=0,012, т. е. точность недостаточна. Совершаем второй шаг:
f(1,039)=-0,0282;f(1,051)=0,0313,f`(1,051)=5,1005. По формулам(11):
х2=1,039=0,012*0,0282/0,0595=1,04469,х2`=1,051-0,0313/5,1005=1,04487.
При этом х2`- х2=0,00018, т. е. точность достаточна. Таким образом:
1,04469 <E< 1,04487
Любое из фигурирующих здесь чисел можно взять за приближённое значение Е, причём ошибка не превзойдёт 0,00018.
Оценка погрешности приближенного значения корня нелинейного алгебраического уравнения. Применение для вычисления квадратного корня Метод Ньютона касательных для а корней. Правило Нахождения приближённого значения квадратного корня с помощью калькулятора. Десятичное приближение числа по недостатку и по избытку с заданной точностью. Методы нахождения приближённых значений действительных корней уравнений. Вычисления приближенных значений действительных уравнений методом проб. Указать первое приближенное значение к корню комбинированным методом. Формула для приблизительного вычисления корней Москва Россия Москве. Применение производной для вычисления приближенных значении. Так какое из указанных чисел является корнем уравнение х. Применение комбинированного метода хорд и касательных. Нахождение приближенного значения квадратного корня. Приближенные вычисления нахождение корней уравнения. Нахождение приближонного значения квадратного корня. Нахождение квадратного корня приближенная формула.
|
