Подборка основных формул по курсу Функциональный анализ по материалам лекций Бекаревой Н Д
Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. "e "xÎE $u: ║x-u║<e
Теорема: Для любого элемента нормированного
пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из
конечномерного подпространства.
Теорема: Для элемента из строго нормированного
конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего
приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального
элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $zeÎE\L ║ze║=1 r(ze,L)>1-e
Определение: Полное нормированное пространство- любая
фундаментальная последовательность сходиться.
Теорема: О пополнении нормированного пространства.
Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным
в некотором полном нормированном пространстве.
Определение: Гильбертово пространство – нормированное
пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства
существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном
подпространстве гильбертова пространства.
Определение: L плотное в E,
если "xÎE $uÎL: ║x-u║<e
Теорема: Чтобы
L было плотно в H ó ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого
элемента.
Определение: Сепарабельное – нормированное пространство,
содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.
Определение: Ортогональное дополнение – множество
элементов ортогональных к элементам данного пространства.
Определение: Линейный оператор – отображение, для которого
A(ax+by)=aAx+bAy
Определение: Непрерывный оператор – AxàAx0 при xà x0
Определение:
L(X,Y) – пространство линейных
операторов
Теорема: Пусть X и Y – полные
НП и A – непрерывен на
некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.
Определение: Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с:
║Ax║≤c
Теорема: A – ограниченный
ó "xÎX
║Ax║≤c║x║
Теорема: Для того чтобы А был непрерывен ó
чтобы он была ограничен
Теорема:
{An} равномерно
ограничена è
{An}- ограничена.
Теорема: {Anx} – ограниченно ó {║An║}- ограничена.
Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║An-A║à0,
nà¥,
обозначают AnàA
Определение: Слабая сходимость - "xÎX ║(An-A)x║Yà0, nà¥
Теорема: Для того, чтобы имела место сильная
сходимость ó
{An} сходилась
равномерно на замкнутом шаре радиуса 1
Теорема: Банаха-Штенгауза AnàA nॠслабо è 1) {║An║}- ограничена
2) AnàA, x’ÌX, x’=x
Теорема:
Хана Банаха. A:D(A)àY, D(A)ÌX è $ A’:XàY 1) A’x=Ax, xÎD(A) 2)
║A’║=║A║
Определение: Равномерная ограниченность - $a "x: ║x(t)║≤a
Определение:
Равностепенная непрерывность "t1,t2 $d: ║x(t1)-x(t2)║<e
Теорема:
L(X,Y) полное, если Y – полное.
Определение: Ядро – Ax=0
Определение: Сопряженное пространство – пространство
функционалов X*:=L(X,E)
Определение: Сопряженный оператор A*: Y*àX*
Теорема: Банаха A:XàY и X,Y- полные нормированные пространства.
Тогда $
A-1 и
ограничен.
Определение: Оператор А – обратимый
Определение: Оператор
А- непрерывнообратимый если 1) A-
обратим, 2) R(A)=Y, 3)
A-1-ограничен.
Теорема: A-1 $ и ограничен ó $m>0 "xÎX
║Ax║≥m║x║
Теорема: Рисса о представлении линейного функционала
в гильбертовом пространстве. Пусть f:XàY – линейный ограниченный
функционал è
$!
yÎH "xÎH f(x)=(x,y)
Определение: MÌX называется бикомпактным,
если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к
элементам этого же множества последовательность.
Определение: Множество называется компактным, если любая
ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную
подпоследовательность.
Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно ó "e>0 $ конечная e-сеть
Теорема:
Арцела. MÌC[a,b] компактно ó все элементы
множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор –
замкнутый шар пространства X переводит
в замкнутый шар пространства Y.
Определение: s(X,Y) –
подпространство компактных операторов
Теорема: Шаудера. AÎs(X,Y) ó A*Îs(X*,Y*)
Линейные
нормированные пространства
1.
Пространства векторов
сферическая норма
кубическая
норма
ромбическая
норма
p>1
2.
Пространства
последовательностей
p>1
или пространство ограниченных последовательностей
пространство
последовательностей, сходящихся к нулю
пространство
сходящихся последовательностей
3.
Пространства
функций
пространство
непрерывных на функций
пространство k раз
непрерывно
дифференцируемых на функций
£p[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не
Гильбертово)
- пополнение £p[a,b]
(Гильбертово)
