Подборка основных формул по курсу Функциональный анализ по материалам лекций Бекаревой Н Д Подборка основных формул по курсу Функциональный анализ по материалам лекций Бекаревой Н Д
Подборка основных формул по курсу Функциональный анализ по материалам лекций Бекаревой Н Д РЕФЕРАТЫ РЕКОМЕНДУЕМ  
 
Тема
 • Главная
 • Авиация
 • Астрономия
 • Безопасность жизнедеятельности
 • Биографии
 • Бухгалтерия и аудит
 • География
 • Геология
 • Животные
 • Иностранный язык
 • Искусство
 • История
 • Кулинария
 • Культурология
 • Лингвистика
 • Литература
 • Логистика
 • Математика
 • Машиностроение
 • Медицина
 • Менеджмент
 • Металлургия
 • Музыка
 • Педагогика
 • Политология
 • Право
 • Программирование
 • Психология
 • Реклама
 • Социология
 • Страноведение
 • Транспорт
 • Физика
 • Философия
 • Химия
 • Ценные бумаги
 • Экономика
 • Естествознание




Подборка основных формул по курсу Функциональный анализ по материалам лекций Бекаревой Н Д


Определение:  Элемент наилучшего приближения – L – линейное  многообразие, плотное в E. "e "xÎE $u: ║x-u║<e
Теорема:  Для любого элемента нормированного
пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из
конечномерного подпространства.
Теорема:  Для элемента из строго нормированного
конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего
приближения из конечномерного подпространства.
Теорема:  Рисса о существовании почти ортогонального
элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $zeÎE\L ║ze║=1 r(ze,L)>1-e
Определение:  Полное нормированное пространство- любая
фундаментальная последовательность сходиться.
Теорема:  О пополнении нормированного пространства.
Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным
в некотором полном нормированном пространстве.
Определение:  Гильбертово пространство – нормированное
пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема:  Для любого элемента гильбертова пространства
существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном
подпространстве гильбертова пространства.
Определение:  L плотное в E,
если "xÎE $uÎL: ║x-u║<e
Теорема:  Чтобы
L было плотно в H ó ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого
элемента. 
Определение:  Сепарабельное – нормированное пространство,
содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.
Определение:  Ортогональное дополнение – множество
элементов ортогональных к элементам данного пространства.
Определение:  Линейный оператор – отображение, для которого
A(ax+by)=aAx+bAy
Определение:  Непрерывный оператор – AxàAx0 при xà x0
Определение:
L(X,Y) – пространство линейных
операторов
Теорема:  Пусть X и Y – полные
НП и A – непрерывен на
некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем  X.
Определение:  Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с:
║Ax║≤c
Теорема:  A – ограниченный
ó "xÎX
║Ax║≤c║x║
Теорема:  Для того чтобы А был непрерывен ó
чтобы он была ограничен
Теорема:
{An} равномерно
ограничена è
{An}- ограничена.
Теорема:  {Anx} – ограниченно ó {║An║}- ограничена.
Определение:  Сильная (равномерная) сходимость ║An-A║à0, 
nà¥,
обозначают AnàA
Определение:  Слабая сходимость - "xÎX ║(An-A)x║Yà0, nà¥
Теорема:  Для того, чтобы имела место сильная
сходимость ó
{An} сходилась
равномерно на замкнутом шаре радиуса 1
Теорема:  Банаха-Штенгауза AnàA nॠслабо è 1) {║An║}- ограничена
2) AnàA, x’ÌX, x’=x
Теорема:
Хана Банаха. A:D(A)àY, D(A)ÌX è $ A’:XàY 1) A’x=Ax, xÎD(A)  2)
║A’║=║A║
Определение:  Равномерная ограниченность - $a "x: ║x(t)║≤a
Определение:
 Равностепенная непрерывность "t1,t2 $d: ║x(t1)-x(t2)║<e
Теорема:
L(X,Y) полное, если Y – полное.
Определение:  Ядро – Ax=0
Определение:  Сопряженное пространство – пространство
функционалов X*:=L(X,E)
Определение:  Сопряженный оператор A*: Y*àX*
Теорема:  Банаха A:XàY и X,Y- полные нормированные пространства.
Тогда $
A-1 и
ограничен.
Определение:  Оператор А – обратимый
Определение:  Оператор
А- непрерывнообратимый если 1) A-
обратим, 2) R(A)=Y, 3)
A-1-ограничен.
Теорема:  A-1 $ и ограничен ó $m>0 "xÎX
║Ax║≥m║x║
Теорема:  Рисса о представлении линейного функционала
в гильбертовом пространстве. Пусть f:XàY – линейный ограниченный
функционал è
$!
yÎH "xÎH f(x)=(x,y)
Определение:  MÌX называется бикомпактным,
если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к
элементам этого же множества последовательность.
Определение:  Множество называется компактным, если любая
ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную
подпоследовательность.
Теорема:  Хаусдорфа. MÌX компактно ó "e>0 $ конечная e-сеть
Теорема: 
Арцела.  MÌC[a,b] компактно ó все элементы
множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение:  Компактный (вполне непрерывный) оператор –
замкнутый шар пространства X переводит
в замкнутый шар пространства Y.
Определение:  s(X,Y) –
подпространство компактных операторов
Теорема:  Шаудера. AÎs(X,Y) ó A*Îs(X*,Y*)
Линейные
нормированные пространства
1.
Пространства векторов
                              сферическая норма
                                              кубическая
норма
                                                   ромбическая
норма
                            p>1
2.
Пространства
последовательностей     
                                                                            p>1
  или    пространство ограниченных последовательностей
                 пространство
последовательностей, сходящихся к нулю
                   пространство
сходящихся последовательностей
3.
Пространства
функций
        пространство
непрерывных на  функций
                       
    пространство k раз
непрерывно
дифференцируемых на  функций
                       
£p[a,b]            пространство функций, интегрируемых в степени p (не
Гильбертово)
 - пополнение £p[a,b]
(Гильбертово)
                                          
Неравенство Гёльдера      p,q>0
Неравенство Минковского             

      ©2010