Отображения в пространстве R(p1,p2)
Отображения в пространстве R(p
1
,p
2
)
§1. Пространство R(p
1
,p
2
).
А
1
- аффинная прямая. Отнесем прямую А
1
к подвижному реперу r = {a,
`
e}, где а и
`
e соответственно точка и вектор. Деривационные формулы репера r имеют вид:
d a=
q
`
e , d
`
e= W
`
e (1),
причем формы Пфаффа
q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :
D
q =
q
Ù
W , DW=W
Ù
W=0. Пусть e* - относительная длина вектора e* =
`
e + d
`
e + 1/2d
2
`
e + 1/6d
3
`
e +... по отношению к вектору
`
е. Тогда
`
e* =e*
`
e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора
`
e* , близкого к
`
e , по отношению к
`
e. Пусть R(p
1
,p
2
) – пространство всех пар (p
1
,p
2
) точек p
1
,p
2 прямой А
1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р
1
р
2
, а конец вектора
`
е – в точку р
1
; при этом р
2
совместится с концом вектора -
`
е. Условия стационарности точек р
1 и р
2 в таком репере имеют соответственно вид: W+
q
=0, -W+
q
=0. Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р
1
,р
2
) являются формы Пфаффа : W+
q , -W+
q
. Очевидно, что dim
R(p
1
,p
2
)
=2. Заметим ,что в репере r форма 2
W является дифференциалом относительной длины отрезка
р
1
*р
2
*
, близкого к
р
1
р
2
,по отношению к
р
1
р
2
.
§ 2. Отображение f.
А
2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу
R
={
p,
`
e
j
}. Деривационные формулы репера
R и уравнения структуры плоскости
А
2 имеют соответственно вид :
dp
=
W
j
e
j ;
d
`
e
j
=
W
j k
;
DW
j
=
W
k
^
W
k
j ;
DW
j
=
W
j
y
^
W
y
k . Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости
А
2 в пространстве
R(p
1
,p
2
):f:A
2
®
R(p
1
,p
2
). Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется :
rang f
=2 (1)
Поместим начало
Р репера
R в точку
f
-1
(p
1
,p
2
)
. Тогда дифференциальные уравнения отображения
f запишутся в виде :
Q
+
W=
l
j
W
j
;
Q-W=
m
j
W
j (2) Из
(1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение
f
-1
:
R(p
1
,p
2
)
®
A
2 обратное к
f
.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения
f
-1 имеют вид :
W
j
=
l
j
(Q+W)+
m
j
(Q-W) (3) Из
(2) и
(3) получаем :
l
k
l
j
+
m
k
m
j
=
d
j
k
l
j
l
j
=1
m
j
m
j
=1 (*)
l
j
m
j
=0
m
j
l
j
=0 Указанную пару {
r;R
} реперов пространств
А
1 и
А
2 будем называть репером нулевого порядка отображения
f
.
§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.
Осуществим продолжение системы
(2) дифференциального уравнений отображения f.
D(λ
j
W
j
-W-Q)=0
,
получаем :
dλ
j
=λ
k
W
j
k
+1\4(λ
j
μ
k
-λ
k
μ
j
)W
k
+λ
jk
W
k D(μ
j
W
j
+W-Q)=0
получаем :
dμ
j
=μ
k
W
j
k
+1\4(λ
j
μ
k
-λ
k
μ
j
)W
k
+μ
jk
W
k Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид: Q+W=λ
j
W
j Q-W=μ
j
W
j dλ
j
=λ
k
W
j
k
+1\4(λ
j
μ
k
-λ
k
μ
j
)W
k
+λ
jk
W
k dμ
j
=μ
k
W
j
k
+1\4(λ
j
μ
k
-λ
k
μ
j
)W
k
+μ
jk
W
j Из этих уравнений вытекает, что система величин
Г
1
=
{λ
j
,μ
j
} является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы
(2) :
dλ
k
^W
j
k
+λ
k
dW
j
k
+1\4(λjμ
k
-λ
k
μ
j
)^W
k
+1\4(λ
j
μ
k
-λ
k
μ
j
)dW
k
+dλ
jk
^W
k
+λ
jk
dW
k
=0
.
получим:
(dλ
jt
-λ
kt
W
j
k
-λ
jk
W
t
k
+1\4(λ
k
μ
jt
-μ
k
λ
jk
)W
k
+1\16λ
t
μ
k
(λ
j
-μ
j
)W
k
)^W
t
=0
dμ
k
^W
j
k
+μ
k
dW
j
k
+1\4d(λ
j
μ
k
-λ
k
μ
j
)^W
k
+1\4(λ
j
μ
k
-λ
k
μ
j
)dW
k
+dμ
jk
^W
k
+μ
jk
dW
k
=0
получим:
(dμ
jt
-μ
kt
W
j
k
-μ
jt
W
t
k
+1\4(λ
k
μ
jt
-μ
k
λ
jt
)W
k
+1\16λ
t
μ
k
(λ
j
-μ
j
)W
k
)^W
t
=0
обозначим: λ
j
=dλ
j
-λ
t
W
j
t μ
j
=dμ
j
-μ
t
W
j
t λ
jk
=dλ
jk
-λ
tk
W
k
t
-λ
jt
W
k
t μ
jk
=dμ
tk
W
j
t
-μ
jt
W
k
t Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:
Q+W=λ
j
W
j Q-W=μ
j
W
j dλ
j
=λ
k
W
j
k
+1\4(λ
j
μ
k
-λ
k
μ
j
)W
k
+λ
jk
W
k dμ
j
=μ
k
W
j
k
+1\4(λ
j
μ
k
-λ
k
μ
j
)W
k
+μ
jk
W
k (4) λ
jk
=(1\4(μ
α
λ
jk
-λ
α
μ
jk
)+1\16λ
k
μ
α
(μ
j
-λ
j
)+λ
jkα
)W
α μ
jk
=(1\4(μ
α
λ
jk
-λ
α
μ
jk
)+1\16λ
k
μ
α
(μ
j
-λ
j
)+μ
jkα
)W
α
Из уравнений
(4) вытекает, что система величин
Г
2
=
{λ
j
,μ
j
,λ
jk
,μ
jk
} образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы
(2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту
Г
Р порядка
р :
Г
Р
=
{λ
j
,μ
j
,λ
j1j2
,μ
j1j2
,...,λ
j1j2...jp
,μ
j1j2...jp
}.
§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка. Из системы дифференциальных уравнений
(5) вытекает, что система величин
{λ
j
},{μ
j
} образует подобъекты геометрического объекта
Г
1
. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:
λ
j
X
j
=1 ; μ
j
X
j
=1 (6)
не инцидентные точке
Р
. Из условия
rang f=2 и уравнения
(2) вытекает, что прямые
(6) не параллельны. Условия
(*) показывают, что величины
{λ
j
,μ
j
} являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины
{λ
j
,μ
j
} охватываются объектом
Г
1
. Из
(*) получаем:
dλ
j
=-λ
k
W
k
j
-1\4(λ
j
+μ
j
)μ
t
W
t
-λ
kt
λ
k
λ
t
W
t
-μ
kt
W
t
^λ
k
μ
j dμ
j
=-μ
k
W
k
j
-λ
kt
μ
k
λ
j
W
t
-μ
kt
μ
k
μ
j
W
t
+1\4λ
t
(λ
j
+μ
j
)W
t Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом
Г
1
. Будем называть их основными векторами 1-го порядка. Предположение 1.Конец вектора
v
1
=λ
j
e
j
(вектора
v
2
=μ
j
e
j
) лежит на прямой
(6)
. Доказательство вытекает из формул
(*),(2)
. Прямые, параллельные прямым
(6)
, инцидентные точке
Р
, определяются соответственно уравнениями:
λ
j
X
j
=0 , μ
j
X
j = 0 (7). Предположение 2. Основные векторы
{λ
j
} и
{μ
j
} параллельны прямым
(6) соответственно. Доказательство вытекает из формул
(*) и
(7)
. Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке: λ
j
X
j
=1 V
2 V
1
μ
j
X
j
=1 Система величин
ρ
j
=λ
j
-μ
j образует ковектор:
dρ
j
=ρ
k
W
j
k
+(μ
jk
-λ
jk
)W
k
. Определяемая им прямая
ρ
j
X
j
=0 (8) проходит через точку
Р и точку пересечения прямых
(6)
. Пусть
W
-однородное подмногообразие в
R(p
1
,p
2
) содержащее элементы
(р
1
,р
2
) определяемое условием:
(р
1
*
,р
2
*
)∈W↔p
1
*
p
2
*
=p
1
p
2
. Теорема 1.Прямая
(8) является касательной в точке
Р к прообразу
f
-1
(W) многообразия
W при отображении
f
. Доказательство:
] (p
1
*
,p
2
*
)∈W и p
1
*
=p
1
+dp
1
+1\2d
2
p
1
+... , p
2
*
=p
2
+dp
2
+1\2d
2
p
2
+... . Тогда в репере
Г: p
1
*
p
2
*
=e p
1
p
2
, где
e=1+2W+... является относительной длиной отрезка
р
1
*
р
2
* по отношению к
р
1
р
2
. Таким образом,
(р
1
*
р
1
*
)∈W↔W=0
.
Из
(2) получим:
W=ρ
1
W
j Следовательно,
(р
1
*
р
2
*
)∈W равносильно
ρ
j
W
j
=0 (9) Из
(8) и
(9) вытекает доказательство утверждения. При фиксации элемента
(р
1
,р
2
)∈R(p
1
p
2
) определяется функция
h
:
(p
1
*
p
2
*
)∈h(p
1
p
2
)→e∈R
, так, что
р
1
*
р
2
*
=е р
1
р
2 В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия
f
-1
(W) является линией уровня функции
h
. Заметим, что
(9) является дифференциальным уравнением линии
f
-1
(W)
.
]W
1
,W
2
- одномерные многообразия в
R(p
1
p
2
)
, содержащие элемент
(р
1
р
2
) и определяемые соответственно уравнениями: (p
1
*
,p
2
*
)єW
1
↔p
2
*
=p
2
. (p
1
*
,p
2
*
)єW
2
↔p
1
*
=p
1
. Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.
Теорема 2. Прямая
(7) является касательной в точке
P к прообразу многообразия
W
2 (многообразия
W
1
) при отображении
f
. Дифференциальные уравнения линии
f
-1
(W
1
)
и f
-1
(W
2
) имеют соответственно вид:
λ
j
W
j
=0
μ
j
W
j
=0
. Пусть
W
0
- одномерное подмногообразие в
R(p
1
p
2
)
, содержащее
(р
1
р
2
) и определяемое условием:
(p
1
*
p
2
*
)єW
0
↔Q*=Q ,где
Q*
середина отрезка
р
1
*
р
2
*
. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1. Предложение 3. Прямая
(λ
j
+μ
j
)X
-j
=0 (10) является касательной в точке
Р к прообразу
f
-1
(W
0
) многообразия
W
0 при отображении
f
. Дифференциальное уравнение линии
f
-1
(W
0
) имеет вид:
(λ
j
+μ
j
)W
j
=0
. Теорема 3.Прямые, касательные в точке
Р к многообразиям
f
-1
(W
1
), f
-1
(W
2
)
,
f
-1
(W), f
-1
(W
0
) составляют гармоническую четверку. Доказательство вытекает из
(7),(8),(10).
§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f. Рассмотрим отображения:
П
1
: (р
1
,р
2
)∊R(p
1
,p
2
)→p
1
∊A
1 (5.1)
П
2
: (р
1
,р
2
)∊R(p
1
,p
2
)→p
2
∊A
1 (5.2) Отображение
f: A
2
→R(p
1
,p
2
) порождает точечные отображения:
φ
1
=П
1
∘f: A
2
→A
1 (5.3) φ
2
=П
2
∘f: A
2
→A
1 (5.4) В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений
φ
1 и
φ
2 меют соответственно вид
(2.5 а) и
(2.5 б)
. Подобъекты
Г
1,2
={
λ
j
,λ
jk
} и
Г
2,2
=
{μ
j
,μ
jk
} объекта
Г
2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений
φ
1 и
φ
2
. В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:
x=1+λ
j
X
j
+1/2λ
jk
X
j
X
k
+1/4λ
y
ρ
k
X
j
X
k
+<3>, (5.5) y=-1+μ
j
X
j
+1/2μ
jk
X
j
X
k
+1/4μ
y
ρ
k
X
j
X
k
+<3>, (5.6) Введем системы величин:
Λ
jk
=λ
jk
+1/4(λ
j
ρ
k
+λ
k
ρ
j
), Μ
jk
=μ
jk
+1/4(μ
j
ρ
k
+μ
k
ρ
j
)
Тогда формулы
(5.5) и
(5.6) примут соответственно вид:
x=1+λ
j
X
j
+1/2Λ
jk
X
j
X
k
+<3> (5.7) y=-1+μ
j
X
j
+1/2Μ
jk
X
j
X
k
+<3> (5.8)
В <4> доказано, что существует репер плоскости
А
2
, в котором выполняется: λ
1 λ
2 1 0 = μ
1 μ
2 0 1
Этот репер является каноническим. Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения
f является единичной матрицей. Формулы
(5.7) и
(5.8) в каноническом репере примут вид: x=1+X
1
+1/2Λ
jk
X
j
X
k
+<3> (5.9), y=-1+X
2
+1/2Μ
jk
X
j
X
k
+<3> (5.10).
§6. Инвариантная псевдориманова метрика. Рассмотрим систему величин:
G
jk
=1/2(λ
j
μ
k
+λ
k
μ
j
) Из
(3.1) получим:
dG
jk
=1/2(dλ
j
μ
k
+λ
j
μ
k
+dλ
k
μ
j
+λ
k
dμ
j
)=1/2(μ
k
λ
t
W
j
t
+1/4λ
j
μ
k
μ
t
W
t
-1\4μ
k
μ
t
λ
t
W
t
+μ
k
λ
jt
W
t
+λ
j
μ
t
W
k
t
+ +1/4λ
j
λ
k
μ
t
W
t
-1/4μ
j
λ
k
μ
t
W
t
-1/4μ
j
λ
t
μ
k
W
t
+μ
j
λ
kt
W
t
+λ
k
μ
t
W
j
t
+1/4λ
k
λ
j
μ
t
W
t
-1/4λ
k
λ
t
μ
j
W
t
+
+λ
k
μ
jt
W
t
),
dG
jk
=1/2(μ
k
λ
t
+
λ
k
μ
t
)W
j
t
+1/2(λ
j
μ
t
+λ
t
μ
j
)W
k
t
+G
jkt
W
t
,
где
G
jkt
=1/2(μ
k
λ
jt
+λ
y
μ
kt
+μ
j
λ
kt
+λ
k
μ
jt
-1/2μ
j
μ
k
λ
t
+1/2λ
j
λ
k
μ
t
-1/4λ
j
μ
k
λ
t
+1/4λ
j
μ
k
μ
t
+1/4μ
j
λ
k
μ
t
- -1/4μ
j
λ
k
λ
t
)
(6.3).
Таким образом, система величин
{G
jk
} образует двухвалентный тензор. Он задает в
А
2 инвариантную метрику
G
:
dS
2
=G
jk
W
j
W
k (6.4) Из
(6.1) и
(2.5) вытекает, что метрика
(6.4) соответствует при отображении
f метрике
dS
2
=θ
2
-W
2 (6.5) в
R(p
1
,p
2
). Из
(6.5) вытекает, что метрика
G является псевдоримановой метрикой. Асимптотические направления определяются уравнением
G
jk
W
j
W
k
=0 или
λ
j
W
j
μ
k
W
k
=0 (6.6)
Предложение
: Основные векторы
V
1 и
V
2 определяют асимптотические направления метрики
G.
Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек
(x,U) и
(y,U
) расстояние между ними определяется как двойное отношение
W=(xy,UU
)
Теорема
: Метрика
dS
2
=θ
2
-W
2 совпадает с метрикой Розенфельда . Доказательство: В репере
r имеем для координат точек
p
1
,p
2
,p
1
+dp
1
,p
2
+dp
2
Соответственно:
1,-1,1+θ+W,-1+θ-W
.
Подставляя их в формулу
(4.2) на стр. 344 (§7), получаем
dS
2
=θ
2
-W
2
Следствие
: Метрика
G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.
В работе <3> был построен охват объекта
Г
l
jk
=1/2G
tl
(G
tkj
+G
jtk
-G
jkt
)
псевдоримановой связности
G фундаментальным объектом
Г
2
=
{λ
j
,μ
j
,λ
jk
,μ
jk
}.
Он определяется формулой:
Г
l
jk
=λ
j
Λ
jk
+μ
l
Μ
jk
-λ
l
λ
t
λ
k
+μ
l
μ
t
μ
k
.
§7. Инвариантная риманова метрика. Рассмотрим систему величин:
g
jk
=λ
j
λ
k
+μ
j
μ
k (7.1)
Из
(3.1) получаем:
dg
jk
=dλ
j
λ
k
+dλ
k
λ
j
+dμ
j
μ
k
+dμ
k
μ
j
=λ
k
λ
t
W
j
t
+1/4λ
k
λ
j
μ
t
W
t
-1/4λ
j
λ
t
μ
j
W
t
+λ
k
λ
jt
W
t
+λ
j
λ
t
W
k
t
+ +1/4λ
j
λ
k
μ
t
W
t
-1/4λ
j
λ
t
μ
k
W
t
+λ
j
λ
kt
W
t
+μ
k
μ
t
W
j
t
+1/4μ
k
λ
j
μ
t
W
t
-1/4μ
k
λ
t
μ
j
W
t
+μ
k
μ
jt
W
t
+ +μ
j
μ
t
W
k
t
+1/4μ
j
λ
k
μ
t
W
t
-1/4μ
j
λ
t
μ
k
W
t
+μ
j
μ
kt
W
t
.
dg
jk
=(λ
k
λ
t
+μ
k
μ
t
)W
j
t
+(λ
j
λ
t
+μ
j
μ
t
)W
k
t
+g
jkt
W
t
, (7.2)
где
g
jkt
=1/2λ
j
λ
k
μ
t
-1/2μ
j
μ
k
λ
t
-1/4λ
k
λ
t
μ
j
-1/4λ
j
λ
t
μ
k
+1/4λ
j
μ
k
μ
t
+1/4μ
j
λ
k
μ
t
+λ
k
λ
jt
+λ
j
λ
kt
+ +μ
k
μ
jt
+μ
j
μ
kt (7.3) Таким образом, система величин
{g
jk
} образует двухвалентный тензор. Он задает в
А
2
инвариантную метрику
g
:
dS
2
=g
jk
W
j
W
k (6
.4) Из
(7.1) и
(2.5) вытекает, что метрика
(6
.4) соответствует при отображении
f
метрике:
dS
2
=2(θ
2
+W
2
) (6
.5)
в
R(p
1
,p
2
) Из
(6
.5) вытекает, что метрика
g является римановой метрикой. Единичная окружность, построенная для точки
Р определяется уравнением:
GjkXjXk=1 (6
.6)
или
(λ
j
X
j
)
2
+(μ
j
X
j
)
2
=1 (6
.7) Из
(6
.7) вытекает:
Предложение 7.1: Единичная окружность метрики
g с центром в точке
Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам. Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику
g
. V
1 V
2 рис.3. Пусть
g
jk
=λ
j
λ
k
+μ
j
μ
k (6.8) В силу
(2.7) имеем:
g
jt
g
tk
=(λ
j
λ
t
+μ
j
μ
t
)(λ
t
λ
k
+μ
t
μ
k
)=λ
j
λ
k
+μ
j
μ
k
=δ
k
j (6
.9) Таким образом, тензор
g
jk является тензором взаимных к
g
jk
. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.
Предложение 7.2: Поле основного вектора
{λ
j
} (вектора
{μ
j
}
) соответствует в метрике
g полю основного ковектора
{λ
j
} (ковектора
{μ
j
}
).
Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике
g
.
Доказательство:
λ
j
λ
k
g
jk
=λ
j
λ
k
λ
j
λ
k
+λ
j
λ
k
μ
j
μ
k
=1
,
μ
j
μ
k
g
jk
=μ
j
μ
k
λ
j
λ
k
+μ
j
μ
k
μ
j
μ
k
=1
,
λ
j
μ
k
g
jk
=λ
j
μ
k
λ
j
λ
k
+λ
j
μ
k
μ
j
μ
k
=0
. Таким образом,
f
задает на
А
2 структуру риманова пространства
(A
2
,g
f
).
В работе <2> был построен охват объекта
γ
jk
l
=1/2g
tl
(g
tkj
+g
jtk
-g
jkt
)
римановой связности
γ фундаментальным объектом
Г
2
=
{λ
j
,μ
j
,Λ
jk
,Μ
jk
} Он определяется формулой:
γ
jk
l
=λ
l
Λ
jk
+μ
l
M
jk
+G
jk
(λ
l
-μ
l
)+1/2(λ
l
+μ
l
)(μ
j
μ
k
-λ
j
λ
k
)
,
где
G
jk
=1/2(λ
j
μ
k
+λ
k
μ
j
).
|
