Многомерный аналог признака орбитальной устойчивости Пуанкаре
Рассмотрим систему , , (1)
где – дважды непрерывно дифференцируемая
вектор-функция. Пусть – некоторая
траектория системы (1), содержащаяся при в ограниченной
области . В дальнейшем будем также предполагать, что в замыкании области .
Введём в рассмотрение симметричную не особую матрицу , где – дважды непрерывно дифференцируемые вектор-функции, и дважды непрерывно дифференцируемую
вектор-функцию , удовлетворяющую неравенству
.
Пусть – некоторая симметричная – матрица, –дифференцируемая функция, и –числовые последовательности, удовлетворяющие условиям , , . Здесь и – некоторые числа.
Введём также обозначение
.
Теорема. Пусть выполнено неравенство
1) .
Тогда если квадратичная форма на множестве положительно
определена и выполнено неравенство
2)
, то траектория орбитально
асимптотически устойчива.
Если квадратичная форма на множестве не вырождена, может
принимать отрицательные значения и выполнены неравенства
3)
, , , то траектория будет орбитально неустойчивой.
Доказательство.
Рассмотрим множество . Здесь – некоторое достаточно малое число.
Зафиксируем некоторую
точку и будем изучать
поверхность в некоторой достаточно малой
окрестности точки . Из следует, что найдётся число такое, что , . Возьмём число , близкое
к . В этом случае .Определим теперь отображение точки в гиперплоскость таким образом, чтобы . (2)
При этом
число будем выбирать так,
чтобы , а матрицу такой, чтобы имело
место соотношение (2). Ясно, что
.
Здесь , считаем, что величина является большой.
Отсюда следует, что для выполнения соотношения (2) достаточно, чтобы
выполнялось равенство . (3)
Из соотношения (2) следует, что вектор ,нормальный к в точке , может быть определён следующим образом:
,
где
,
.
Заметим, что
.
Поэтому
.
Отсюда и
из соотношения (3) получим, что . (4)
Покажем теперь, что
траектория системы (1),
проходящая в момент времени через точку , удовлетворяет с точностью до соотношению . (5)
Для этого отметим, что при
малых .Поэтому вектор с точностью до принадлежит
гиперплоскости , которая параллельна гиперплоскости, касательной к
поверхности , и проходит через точку
.
Ясно также, что проходит через
расположенную в гиперплоскости точку , где
.
Отсюда, из соотношения и того факта, что
векторы, нормальные к и в точке , совпадают с точностью до , следует соотношение (5).
Из включения (5),
равенства (4) и условия 1) теоремы вытекает при всех соотношение , где – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая
неравенству
.
Используя это неравенство,
условия 2), 3) теоремы и стандартную ляпуновскую технику, получим утверждение
теоремы.
В случае , , , , получим широко известный признак Пуанкаре.
Список использованных источников
1. Демидович Б. П. Обыкновенные
дифференциальные уравнения. М., 1970.
2. Леонов Г. А. Многомерный аналог признака
орбитальной устойчивости Пуанкаре.// Дифференциальные уравнения, 1988 №9
3.
Хартман Ф.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.
|
