ВВЕДЕНИЕ
Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.
Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток.
Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции.
Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным бигармоническим уравнением.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :
2
U = f
Заданное на области
G={ (x,y) : 0<=x<=a, 0<=y<=b }. Пусть также заданы краевые условия на границе области
G .
U = 0
Y x=0 b
U
xxx
= 0 x=0
G
U
x
= 0
x=a
U
xxx = 0 0 a X
x=a
U = 0
U = 0
y=0 y=b
U
y
= 0
U
xx +
U
yy = 0
y=0 y=b y=b
Надо решить эту задачу численно.
Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя для решения сеточных задач.
По нашей области
G построим равномерные сетки
W
x и
W
y с шагами
h
x и
h
y
соответственно .
W
x
={ x(i)=ih
x
, i=0,1...N, h
x
N=a }
W
y
={ y(j)=jh
y
, j=0,1...M, h
y
M=b }
Множество узлов
U
ij
=(x(i),y(j)) имеющих координаты на плоскости
х(i)
,
y(j) называется сеткой в прямоугольнике
G и обозначается :
W={
U
ij
=(ih
x
,jh
y
), i=0,1...N, j=0,1...M, h
x
N=a, h
y
M=b }
Сетка
W очевидно состоит из точек пересечения прямых
x=x(i) и
y=y(j)
.
Пусть задана сетка
W
.Множество всех сеточных функций заданных на
W образует векторное пространство с определённом на нём сложениемфункций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определитьразностные или сеточные операторы. 0ператор
A преобразующий сеточную функцию
U в сеточную функцию
f=A
U называется разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки используемое при написании разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора.
Простейшим разностным оператором является оператор дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные. Пусть
W - сетка с шагом
h введённая на
R т.е.
W={X
i
=a+ih, i=0,
+ 1,
+ 2...}
Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции
Y
i
=Y(X
i
) ,
X
i из
W
, определяется по формулам :
L
1
Y
i =
Y
i - Y
i-1 ,
L
2
Y
i
=
L
1
Y
i+1 h
и называются соответственно левой и правой производной. Используется так же центральная производная :
L
3
Y
i
=
Y
i+1 - Y
i-1 =
(
L
1
+
L
2
)Y
i 2h 2
Разностные операторы
A
1
,
A
2
,
A
3 имеют шаблоны состоящие 2х точек и используются при апроксимации первой производной
Lu=u’ . Разностные производные
n
-ого порядка определяются как сеточные функции получаемые путём вычисления первой разностной производной от функции, являющейся разностной производной
n-1 порядка, например :
Y
xxi
=
Y
xi+1 - Y
xi
= Y
i-1
-2Y
i
+Y
i+1
2 h h
Y
xxi
= Y
xi+1
-Y
xi-1
=
Y
i-2 - 2Y
i
+Y
i+ 2
2 2h 4h
которые используются при апроксимации второй производной. Соответствующие разностные операторы имеют 3х точечный шаблон.
Анологично не представляет труда определить разностные производные от сеточных функций нескольких переменных.
Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных. И применим к получившейся сеточной задаче метод Зейделя.
МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ
Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный метод Зейделя.
Пусть нам дана система линейных уравнений :
A
U
=
f
или в развёрнутом виде : M a
ij
U
j =
f
i , i=1,2...M i=1
Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы
А=(a
ij
) отличны от нуля
(a
ii
<>0) записывается в следующем виде :
i (k+1)
M
(k)
a
ij
Y
j + a
ij
Y
j =
f
i , i=1,2...M
j=1 j=i+1
(k)
где
Y
j -
j
ая компонента итерационного приближения номера
k
. В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор.
Определение
(k+1)
-ой итерации начинается с
i=1
(k+1) M (k)
a
11
Y
1 = - a
1j
Y
j +
f
1
j=2
(k+1)
Так как
a
11
<>0 то отсюда найдём
Y
1
. И для
i=2
получим :
(k+1)
(k+1) M (k)
a
22
Y
2 = - a
21
Y
1 - a
2j
Y
j +
f
2 j=3
(k+1) (k+1) (k+1) (k+1)
Пусть уже найдены
Y
1 ,
Y
2 ...
Y
i-1 . Тогда
Y
i находится из уравнения :
(k+1) i-1 (k+1) M (k)
a
ii
Y
i = - a
ij
Y
j - a
ij
Y
j +
f
i (*)
j=1 j=i+1
Из формулы
(*) видно , что алгоритм метода Зейделя черезвычайно прост. Найденное по формуле
(*) значение
Y
i размещается на месте
Y
i
.
Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации одного итерационного шага. Если все
a
ij не равны нулю, то вычисления по формуле
(*) требуют
M-1 операций умножения и одного деления. Поэтому реализация 2
одного шага осуществляется за
2M - M арифметических действий.
Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага потребуется
2Mm-M действий т.е. число действий пропорционально числу неизвестных
M
.
Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим матрицу
A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц :
A = D + L + U
где 0 0 . . . 0 0
a
12
a
13 . . .
a
1M
a
21 0 0 0
a
23 . . .
a
2M
a
31
a
32 0 0 .
L = . U= .
. .
.
a
M-1M
a
M1
a
M2 . . .
a
MM-1 0 0 0
И матрица
D - диагональная. (k) (k) (k)
Обозначим через
Y
k = ( Y
1 ,Y
2 ... Y
M ) вектор
k
-ого итерационного шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе :
( D + L )Y
k+1 + UY
k =
f , k=0,1...
Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем :
( D + L )(Y
k+1 - Y
k
) +AY
k = f , k=0,1...
Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный метод Зейделя, анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая когда
a
ii - есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности, а
a
ij для
i<>j - прямоугольные матрицы. В этом случае
Y
i и
f
i есть векторы, размерность которых соответствует размерности матрицы
a
ii
.
ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Пусть
Y
i
=Y(i) сеточная функция дискретного аргумента
i
. Значения сеточной функции
Y(i) в свою очередь образуют дискретное множество. На этом множестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функции
Y(i) - сеточное уравнение. Специальным случаем сеточного уравнения является разностное уравнение.
Сеточное уравнение получается при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений.
Так дифференциальное уравнение первого порядка :
dU =
f
(x) , x > 0 dx
можно заменить разностным уравнением первого порядка :
Y
i+1 - Y
i =
f
(x
i
) , x
i
= ih, i=0,1...
h
или
Y
i+1
=Y
i
+h
f
(x)
, где
h - шаг сетки
v
={x
i
=ih, i=0,1,2...}
. Искомой функцией является сеточная функция
Yi=Y(i)
.
При разностной аппроксимации уравнения второго поряда
2
d U =
f
(x) 2 dx
получим разностное уравнение второго порядка :
2
Y
i+1
- 2Y
i
+ Y
i+1 =
y
i , где y
i
=h
f
i f
i
= f(x
i
) x
i
= ih
Для разностной aппроксимации
производных
U’, U’’, U’’’ можно пользоваться шаблонами с большим числом узлов. Это приводит к разностным уравнениям более высокого порядка.
Анологично определяется разностное уравнение относительно сеточной функции
U
ij
= U(i,j) двух дискретных аргументов . Например пятиточечная разностная схема “крест” для уравнения Пуассона
U
xx
+ U
yy
=
f
(x,y)
на сетке
W выглядит следующим образом :
U
i-1j
- 2U
ij
+U
i+1j +
U
ij-1
- 2U
ij
+U
ij+1 =
f
ij
2 2
h
x h
y
где
h
x - шаг сетки по
X h
y - шаг сетки по
Y
Сеточное уравнение общего вида можно записать так:
N
C
ij
U
j =
f
i i=0,1...N
j=0
Оно содержит все значения
U
0
, U
1 ... U
N сеточной функции. Его можно трактовать как рзностное уравнение порядка
N равного числу узлов сетки минус единица.
В общем случае под
i - можно понимать не только индекс , но и мультииндекс т.е. вектор
i = (i
1 ... i
p
) с целочисленными компонентами и тогда :
С
ij
U
j =
f
i i
О W
j
О
W
где сумирование происходит по всем узлам сетки
W
. Если коэффициенты
С
ij
не зависят от
i
, тоуравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами.
Аппроксимируем нашу задачу т.е. заменим уравнение и краевые условия на соответствующие им сеточные уравнения.
U=U(x,y)
Построим на области
G сетку
W . И зададим на
W сеточную функцию
U
ij
=U(x
i
,y
j
)
, где
x
i
=x
0
+ih
x
y
i
=y
0
+jh
y
h
x
= a/N ,
h
y
= b/M и т.к.
x
0
=y
0
то
x
i
=ih
x
, y
i
=jh
y
, i=0...N j=0...M
Найдём разностные производные входящие в уравнение
2
D
U =
f
(т.е построим разностный аналог бигармонического уравнения).
Ux
ij =
U
i+1j
- U
ij , Ux
i-1j
=
U
ij
- U
i-1j
h
x
h
x
Uxx
ij = U
i-1j - 2U
ij + U
i+1j
h
x
Рассмотрим
Uxxxx
ij как разность третьих производных :
Uxx
i-1j - Uxx
ij
-
Uxx
ij - Uxx
i+1j
Uxxxx
ij = h
x h
x =
U
i-2j - 4U
i-1j + 6U
ij - 4U
i+1j + U
i+2j
4 h
x h
x
Анологично вычислим производную по
y :
Uyyyy
ij =
U
ij-2 - 4U
ij-1
+ 6U
ij - 4U
ij+1 +U
ij+2 4
h
y
Вычислим смешанную разностную производную
Uxxyy :
Uxx
ij-1 - Uxx
ij - Uxx
ij - Uxx
ij+1
(Uxx)yy
ij = h
y h
y = Uxx
ij-1 - 2Uxx
ij +Uxx
ij+1 =
2 hy hy
=
U
i-1j-1 - 2U
ij-1 + U
i+1j-1 -
2
U
i-1j - 2U
ij + U
i+1j +
U
i-1j-1 - 2U
ij+1 + U
i+1j+1
2 2 2 2 2 2
h
x
h
y h
x
h
y h
x
h
y
В силу того что
D
U =
f
имеем:
U
i-2j - 4U
i-1j + 6U
ij - 4U
i+1j +U
i+2j + 4 h
x
+
2
U
i-1j-1 - 2U
ij-1 + U
i+1j-1 -
4
U
i-1j - 2U
ij +U
i+1j +
2
U
i-1j+1 -2U
ij+1 + U
i+1j+1 +
2 2 2 2 2 2
h
x
h
y
h
x
h
y
h
x
h
y
+
U
ij-2 - 4U
ij-1 + 6U
ij - 4U
ij+1 + U
ij+2 =
f
ij (*)
4
h
y
Это уравнение имеет место для
i=1,2, ... N-1
j=1,2, ... M-1
Рассмотрим краевые условия задачи. Очевидно следующее :
x=0 ~ i = 0
x=a ~ x
N
=a
y=0 ~ Yo=0
y=b ~ Y
M
=b
1)
х=0 (левая граница области
G
) Заменим условия
U = 0
x=o
Uxxx = 0
x=o
на соответствующие им разностные условия U
oj
=0
U
-1j
=U
2j - 3U
1j (1`)
2) х=а (правая граница области
G
)
i=N Ux = 0
x=a Uxxx = 0
x=a из того что
U
i+1j - U
i-1j = 0
2h
x U
N+1j = U
N-1j
U
Nj = 4
U
N-1j - U
N-2j (2`) 3
3) у=0 (нижняя граница области
G
) j=0
U
i ,-1 = U
i1
U
i0 = 0 (3`)
это есть разностный аналог Uy = 0
y=o U =0
y=o
4) у=b
i=M U = 0
y=b т.е.
U
iM
=0
(**)
Распишем через разностные производные
Uxx + Uyy =0 и учитывая что
j=M и
(**) получим
U
iM-1 = U
iM+1
Итак краевые условия на
у=b имеют вид U
iM+1 = U
iM-1
U
iM = 0 (4`)
Итого наша задача в разностных производных состоит из уравнения
(*) заданного на сетке
W и краевых условий
(1`)-(4`) заданных на границе области
G (или на границе сетки
W
)
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ
Рассмотрим применение метода Зейделя для нахождения приближенного решения нашей разностной задачи
(*),(1`) - (4`).
В данном случае неизвестными являются
U
ij = U(x
i
,y
j
)
где x
i = ih
x y
j = jh
y
при чём
h
x = a/N , h
y = b/M
это есть шаг сетки по
x и по
у соответственно , а
N и
М соответственно количество точек разбиения отрезков
[0 , а] и
[0 , b]
Пользуясь результатами предыдущего раздела запишем уравнение
2
D
U =
f
как разностное уравнение. И упорядочим неизвестные естественным образом по строкам сетки
W
, начиная с нижней строки.
1
U
i-2j
-
4 + 4 U
i-1j +
6
- 8 + 6 U
ij - 4 +
4 U
i+1j + 1
U
i+2j + 2
U
i-1j-1 - 4
4 2 2
4 2 2 4 4 2 2 4 2 2
h
x h
x h
x
h
y h
x h
x
h
y h
y h
x h
x
h
y h
x h
x
h
y
- 4 + 4 U
ij-1 + 2
U
i+1j-1 + 2
U
i-1j+1 - 4 + 4 U
ij+1 + 2
U
i+1j+1 + 1
U
ij-2 + 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 h
x
h
y h
y h
x
h
y h
x
h
y h
x
h
y h
y h
x
h
y h
y
+ 1
U
ij+2 =
f
ij
для i=1 ... N-1, j=1 ... M-1
4
h
y
и
U удовлетворяет краевым условиям
(1`) - (4`),
так как в каждом уравнении связаны вместе не более 13 неизвестных то в матрице
А отличны от нуля не более 13-элементов в строке. В соответствии со вторым разделом перепишем уравнение: (k+1) (k+1) (k+1) (k+1)
6 - 8 + 6 U
ij = -
1
U
ij-2
-
2 U
i-1j-1 + 4 + 4 U
ij-1 -
4 2 2 4 4 2 2 2 2 4
h
x h
x
h
y h
y h
y
h
x
h
y h
x
h
y h
y (k+1) (k+1) (k+1) (k)
- 2
U
i+1j-1 - 1 U
i-1j +
4 + 4 U
i-1j + 4 +
4 U
i+1j -
2 2
4
4 2 2 4 2 2 h
x
h
y h
x h
x h
x
h
y h
x h
x
h
y (k) (k) (k) (k) (k)
- 1 U
i+2j - 2 U
i-1j+1
+ 4 + 4 U
ij+1 - 2 U
i+1j+1 - 1 U
ij+2 +
f
ij 4 2 2 2 2 4 2 2 4 h
x h
x
h
y h
x
h
y h
y h
x
h
y h
y (k)
При чем
U удовлетворяет краевым условиям
(1`) - (4`)
. Вычисления начинаются с
i=1, j=1 и продолжаются либо по строкам либо по столбцам сетки
W
. Число неизвестных в задаче
n = (N-1)(M-1)
.
Как видно из вышеизложенных рассуждений шаблон в этой задаче тринадцатиточечный т.е. на каждом шаге в разностном уравнении участвуют 13 точек (узлов сетки) Рассмотрим вид матрицы
А - для данной задачи.
Матрица метода получается следующим образом : все узлы сетки перенумеровываются и размещаются в матрице Так что все узлы попадают на одну строку и поэтому матрица метода для нашей задачи будет тринадцатидиагональной .
ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ.
Константы используемые в программе :
aq = 1 - правая граница области
G
b = 1 - левая граница области
G
N = 8 - колличество точек разбиения отрезка [0,a]
M = 8 - колличество точек разбиения отрезка [
0,b]
h1 = aq/N - шаг сетки по
X
h2 = b/M - шаг сетки по
Y
Переменные :
u0 - значения сеточной функции
U на
k
-ом шаге
u1 - значения сеточной функции
U на
(k+1)
-ом шаге
a
- массив коэффициентов шаблона
Описание процедур :
procedure Prt(u:masa) - печать результата
function ff(x1,x2: real):real - возвращает значение функции f в узле
(x1,x2)
procedure Koef - задаёт значения коэффициентов
Действие :
Берётся начальое приближение
u0 и с учётом краевых условий ведётся вычисление с
i=2 ... N , j=2 ... M
. На каждом итерационном шаге получаем
u1 по
u0
. По достижении заданной точности
eps>0 вычисления прекращаются. И все элементы матрицы A, которые лежат ниже главной диагонали получают итерационный шаг
(k+1) , а те элементы которые лежат выше главной диагонали (исключая главную диагональ) получают итерационный шаг
k
.
Примечание : программа реализована на языке Borland Pascal 7.0
Министерство общего и профессионального образования РФ
Воронежский государственный университет
факультет
ПММ
кафедра Дифференциальных уравнении
Курсовой проект
Решение бигармонического уравнения методом Зейделя
Исполнитель : студент 4 курса 5 группы
Никулин Л.А.
Руководитель : старший преподаватель
Рыжков А.В.
Воронеж 1997г.
Метод конечных разностей при решении краевой задачи для линейного уравнения второго по. Метод конечных разностей при решении краевых задач для линейного уравнения второго пор. Решение краевой задачи для дифференциальных уравнения методом сеток программа. Метод конечных разностей для дифференциального уравнения с тремя неизвестными. Используя метод конечных разностей составить решение краевой задачи для ОДУ. Решение краевой задачи для ОДУ методом конечных разностей с точностью на. Дифференциальные уравнения второго порядка методом конечных разностей. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения методом сеток. Используя метод конечных разностей составить решение краевой задачи. Используя метод сеток составить решение дифференциального уравнения. Метод конечных элементов и метод конечных разностей отличия статья. Сетки и сеточные функции Апроксимация первых и вторых производных. Сравнение метода конечных разностей и метода конечных элементов. Решение дифференциальных уравнений методом конечных элементов. Решение дифференциальных уравнений методом конечных разностей.
