Т.Сумма смежных
углов = 180°
Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)
Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются.
Акс. (осн.св-во паралл.прямых)
Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.
Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых,
то перес-ет и другую.
2. Если
две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.
Признаки параллельности прямых. Е
А
В В А А В
С Д Д
Д С С
ÐВАС
ÐДСА
внутр. одностор. (1рис)
ÐВАС
ÐДСА
внутр. накрест лежащ. (2)
ÐЕАВ ÐАСД соответств. (3)
Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на
плоскости внутр.накрест лежащ. Ð =, то прямые параллельны.
Т 2. Если при
пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,ðпрямые| |.
Док-во
Пусть (а) и (b)
обр-т к секущей АВ равные соотв. Ð1=Ð2
Но Ð1=Ð3 (вертикальные)ðÐ3=Ð2.Но
Ð2
и Ð3-накрестлежщие.ðПо
Т 1 a | | bn
Т3. Если при пересеч. 2-х прямых
секущей на плоскости, сумма внутр. одност. Ð=180°, то
прямые | |n
Для ТТ
1-3 есть обратыные.
Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й
прямой,
то внутр.накрестлеащие Ð=, со-
ответств.Ð=, сумма внутр.одностÐ=180°.
Перпедикулярные пр-е пересек-ся Ð90°.
1.Через
кажд.тчку прямой можно провести ^ ей прямую, и только 1.
2. Из
любой тчки (Ï
данной прямой) можно опустить перпендикуляр^ на данную прямцю и только
1.
3. две
прямые ^
3-й параллельны.
4. Если прямая ^ 1-й из | | прямых, то она ^ и
другой.
Многоугольник (n-угольник)
Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно
вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис., r-
впис.)
R = a / 2sin(180°/n); r = a / 2 tg (180°)
Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждогоÑ
пересек. в 1 тчке (ортоцентр).
2. Все
3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1
(счит. От вершины).
3. Все
3 биссектр. Ñ
пересек. в 1 тчке -
центр
впис. Круга.
4. Все 3 ^, восстановленные из
середин сторон Ñ,
пересе. в 1 тчке - центр опис. круга.
5. Средняя
линия | | и = ½ основания
H(опущ. на стор. a) = 2√p(p-a)(p-b)(p-c)
a
M(опущ на стор a) = ½
√ 2b2+2c2 -a2
B (-‘’-)= 2√ bcp(p-a) / b+c
p - полупериметр
a²=b²+c²-2bx, х-проекция 1-й из сторон
Признаки равенства Ñ: 2Ñ=,
если = сотв.
1. 2
стороны и Ð
между ними.
2. 2 Ð
и сторона между ними.
3. 2 Ð
и сторона, противолеж. 1-му из Ð
4. три
стороны
5. 2 стороны и Ð , лежащий против
большей из них.
Прямоугольный Ñ C=90° a²+b²=c²
NB! TgA= a/b;
tgB =b/a;
sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c
Равносторонний
Ñ H= √3
* a/2
S Ñ= ½
h a =½ a b sin C
Параллелограмм
d²+d`²=2a²+ 2b²
S =h a=a b sinA(между а
и b)
= ½ d d` sinB (между d d`)
Трапеция
S= (a+b) h/2 =½uvsinZ= Mh
Ромб S=a h =a²sinA= ½ d d`
Окружность L= pRn°
/ 180°,n°-центрÐ
Т.Впис.Ð= ½ L , L-дуга,на ктрую опирÐ
S(cектора)= ½ R²a= pR²n° / 360°
Векторы..
Скалярное произведение
`а`b=|`a| |`b| cos (`a Ù`b),
|`a| |`b| - длина векторов
Скалярное
произведение |`a|{x`; y`} и |`b|{x``; y``},
заданных своими коорди-натами, =
|`a| |`b| = x` ×
y` + x`` × y``
Преобразование фигур
1. Центр.
Симметрия
2. Осевая
симметрия (^)
3. Симм.
Отн-но плоскости (^)
4. Гомотетия
(точки Х О Х`` лежат на 1
прямой и расст. ОХ``=k OX, k>0
- это гомотетия отн-но О с коэфф. К .
5. Движение
(сохр расст. Между точками фигуры)
6. Поворот
7. Вращение
- вокруг оси - преобр. Пространства, когда:
- все
точки оси переходят сами в себя
- любая
точка АÏ
оси р АðА` так, что
А и А` Î
a,
a^р, ÐАОА` = j= const, О- точка пересеч. a и р.
Результвт
2-х движений= композиции.
8. Паралeн.перенос (x,y,z)ð(x+a,y=b,x=c)
9. Преобразование
подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз
К=1 - движение.
Св-ва
подобия.
1. АВСÎ(а); A`B`C` Î(a`)
2. (p) ð (p`); [p)ð[p`); aða`; ÐAðÐA`
3. Не всякое подобие-
гомотетия
NB! S` = k² S``;
V ` = k 3 V ``
Плоскости.
Т. Если прямая, Ï к.-л. плоскости a , | | к.-л. прямой, Î
a, то она | | a
Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их
пересеч.| | (а)и (b)
T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й a | | двум пересек. прямым
другой b,
то a
| | b.
Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й,
то линии пересечения | |.
Т. Через тчку вне плоскости можно
провести плоск-ть | | данной
и только 1.
Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные
между 2-мя плоскостями, =.
Т. Признак
^ прямой и пл-сти.Если
прямая, перек-ая плос-ть, ^каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть ^.
Т. 2 ^ к пл-сти | |.
Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых ^, то и другая ^ плоскости.
Т. Признак
^ 2-х плос-тей. Если
пл-сть проходит через ^ к др. п-сти, то он ^ этой л-сти.
Дано [a)^ b,[a) Îa,a Èb= (p).Д-ть: a ^ b
Док-во.
[a)^ b=·М. Проведем
(b) через М, (b)^(p). (a)Ù(b) - линейный Ð двугранного
угла между a и b. Так как
[a)^ bð(a)^(b)ð (a)Ù(b)=90°ða ^ bn
Т. Если 2 пл-сти взаимно ^, то прямая
1-й пл-сти
^
линии пересеч. пл-стей, ^ 2-й пл-сти.
Т.
О 3-х ^..
Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ^ наклонной, необх-мо и
достаточно, чтобы эта прямая была ^ проекции наклонной.
Многогранники
Призма. V = S осн × a - прямая призма
a - боковое ребро , S пс-
S ^-го сечения
V = S пс × а - наклонная призма
V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.
Если
основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед.
V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc
S=2(ab+ac+bc)
Пирамида
V= 1/3 * НS осн. S=S всех Ñ.
Фигуры вращения
Цилиндр V=pR²H; S= 2pR (R+H)
Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * pR²H
S= Sосн+ Sбок= pR (r + L); L-образующая
Сфера «оболочка» S= 4pR²
Шар М= 4/3 pR3
sin и cos суммы и разности двух аргументов
sin(a±b)=sin a·cosb±sinb·cosa
cos(a±b)=cosa·cosb`+sin a ·sinb
tg a ± tg b
tg (a±b) = 1 ± tg a · tg b
tg (a±b) =
= ctg
a · ctg b`+ 1 = 1 ± tg a · tg b
ctg b ± ctg a tg a ± tg b
Тригонометрические функции
двойного аргумента
sin2x=2sinx cosx
cos 2x = cos2x - sin2x=
= 2cos2x-1=1-2sin2x
tg2x=
2 tgx
1
- tg2x
sin 3x =3sin x - 4 sin3x
cos 3x= 4 cos3
x - 3 cos
ВАЖНО: знак перед корнем зависит от
того, где нах-ся угол
Ѕ x:
sin ½ x= ± 1-cosx
2
cos ½ x= ± 1+cosx
2
NB!
Следующие формулы справедливы при знаменателе ¹ 0 и существования функций, входящих в эти формулы (tg, ctg)
tg ½ x=sinx =1-cosx =±
1-cosx
1+cosx sinx 1+cosx
сtg½ x=sinx =1+cosx =±
1+cosx
1-cosx sinx 1-cosx
Формулы понижения степени:
sin2 x = 1– cos 2x
2
cos2 x = 1+ cos 2x
2
sin3 x = 3 sin x – sin 3x
4
cos3 x = 3 cos x + cos 3x
4
Преобразование произведения двух функций в сумму:
2
sinx siny = cos(x-y) – cos(x+y)
2
cosx cosy = cos(x-y)+cos(x+y)
2
sinx cosy = sin(x-y) + sin (x+y)
tgx tgy = tgx
+ tgy
ctgx + ctgy
ctgx ctgy =
ctgx + ctgy
tgx + tgy
tgx ctgy =
tgx + ctgy
ctgx + tgy
NB! Вышеперечисленные формулы
справедливы при знаменателе ¹ 0 и существования функций, входящих в эти формулы (tg, ctg)
sinx ± siny= 2sin x±y cos x`+ y
2
2
cosx + cosy =2cos x+y cos x-y
2 2
cosx - cosy = - 2sin x+y sin x-y
2 2
tgx ± tgy= sin(x±y)
cosx cosy
tgx + сtgy = cos(x-y)
cosx siny
ctgx - tgy =
cos(x+y)
sinx cosy
ctgx±ctgy= sin(y±x)
sinx siny
sin x = 1 x=
½ p +2pn, nÎ Z
sin x
= 0 x= pn, nÎ Z
sin x = -1 x= - ½ p +2pn, nÎ Z
sin x = a , [a]≤ 1
x = (-1)karcsin a + pk, kÎ Z
cosx=1 x=2pn, nÎ Z
cosx=0 x= ½ p +pn, nÎ Z
cosx=
-1 x=p +2pn, nÎ Z
cosx=
-½ x=±2/3 p +2pn, nÎ Z
cosx = a , [a]≤ 1
x=±arccos a + 2pn, nÎ Z
arccos(-x)= p- arccos x
arcctg(-x)= p - ctg x
tg
x= 0 x= n, nÎ Z
ctg
x= 0 x=½ p+ p n, nÎ Z
tg x= a x=
arctg a +pn, nÎ Z
ctg x = a x=arcctg
a + pn, nÎ Z
Знаки тригонометрических функций в четвертях: №\f(a) sin cos tg ctg I + + + + II + - - - III - - + + IY - + - +
aрад =p ×
a°/180°; a°=a°× 180°/p
Формулы ïðèâåäåíèÿ – a p/2 ± a p ± a 3/2 p ± a 2p – a sin -sin a cos a `+sin a - cos a - sin a cos cos a `+sin a - cos a ± sin a cos a tg - tg a `+ ctg a ± tg a `+ ctg a - tg a ctg - ctg a `+ tg a ± ctg a `+ tg a -ctg a
Значения тригонометрических
функций основных углов: 0 30° 45° 60° 90° 180° 270° p / 6 p /4 p /3 p /2 p 3p/2 sin 0 ½ Ö2 / 2 Ö3 / 2 1 0 – 1 cos 1 Ö3 / 2 Ö2 / 2 ½ 0 -1 0 tg 0 Ö3 / 3 1 Ö3 - 0 - ctg – Ö3 1 Ö3 / 3 0 - 0
Календарно тематическое планирование Математика и конструирование класс по Волковой. Тематическое планирование математика и конструирование класс Москва Россия Москве. Математика и конструирование календарно тематическое планирование волкова класса. Календарно тематическое планирование по математике и конструированию класс. Тематическое планирование класса по математике и конструированию С Волкова. Тематическое планирование по курсу Математика и конструирование в классе. Календарно темат планирование по математике для умеренно отст детей вида. Календарно тематическое планирование математика и конструирование класс. Математика и конструирование класс календарно тематическое планирование. Планирование кружка математика и конструирование вокруг нас в классе. Класс математика и конструирование Волкова тематическое планирование. Математика и конструирование календарно тематическое планирование. Тематическое планирование по математике и конструированию класс. Математика и конструирование в классе тематическое планирование. Тематическое планирование математика и конструирование класс.
