Математика
Многочленом (полиномом)
от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а А²+а А+а А
Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) – нулевая,
то М. А наз. корнем многочдена р(Х), а многочлен р(Х) аннулирующим
многочленом от матрицы А.
Правило Сариуса
знаков для 3-его порядка.
Минором наз.
определитель, полученый вычёркиванием той строки и того столбца на которых
стоит данный элемент.
Алг. дополнением
эл. Аik наз. минор, взятый со знаком Аik=(-1) Mik
.
Разложение ∆ 3-его порядка по элементам первой строки : ∆=а11А11+а12А12+а13А13 .
Матрицей обратной кв. матрице А наз. кв. матрица
А¯¹ удовл. рав. А А¯¹= А¯¹ А=Е.
Кв. матрица наз. невыражденой, если её det≠0.
Теор. Всяк.
невыражд. матр. А имеет невыражд. ей обр. матр.: А¯¹=A/detA.
Произвольную невыражд. матр. можно привести к еденичной (А"Е) - метод Жордано.
Нахождение обр. матр. с помащю эл. преобр. Теор. Если к ед. матрице порядка n применить
те же эл. преобр.,только над строками и в том же порядке с пом. котор.
невыражд. кв. матр. А приводится к ед., то полученная при этом матрица будет
обратной матрице А. (А|E)"(E|A¯¹).
Ах=В уА=В
х=А¯¹В у=ВА¯¹
Ранг матрицы
В матр. m*n выберем
произв. S-строк, S-столб. (1≤S≤min(m,n)).
Элем., стоящ. на пересечен. выбр. стр. столб. обр. матр. порядка S. Определитель этой матрицы наз. минорм порядка S матр А.
Этот определитель наз.минорм второго порядка исходн. матр.
Аналог. получ. др. миноры втор. порь.,а также трет. порь., нек. из них мог. =
0.
Рангом матр. наз.
наиб. из порядков её миноров,≠0.
Если все миноры =0, то ранг =0.
Свойства ранга
1.
R транспонир. матр. =
R исходн.
2.
R М. не завис. От
отсутствия или присутствия в ней нулевых строк.
3.
При эл. преобр. R матр. не мен. С их пом. матр. можно привести к
квазитреуголной форме,R котор. = r, т.к. её минор с гл. диог. равен произведен. и ≠0, а
все миноры более высокого порядка =0, как содержащие нулевые строки.
Матричная запись
линейной ситемы
А=(Кооф.),
Х=(неизв.), В=(св. чл.), Ấ=(кооф и св. члены)
Невыражд. сист.
|a11 a12
.. b1 .. a1m|
∆=|кооф.| ,
∆k=| a21 a22 .. b2 ..
a2m|
|………………………………..|
| am1 am2
.. bm ..amm|
Теорема Крамера. Невыражн. лин. сит. имеет ед. решение х1=∆1/∆ ,
х2=∆2/∆………
Метод Гаусса-Жордано (и наобарот)
Заключ. в эл.
преобраз. матр.
ВЕКТОЫ
Коллинеарн. вект. – лежащ. на || прямых или
на одой прямой.
Равные вект. – коллин. и имеющ. одинак. направление и длину.
Протиположными наз. векторы ¯ и имеющие равные длины.
Св. векторы – т. приложения котрых может быть выбрана произвольно.
Радиус-вектором т. наз. вектор т. приложения которого является нач. коорд., а
конец находится в т.
Направляющими
косинусами векторов наз. косинусы
углов α, β, γ образованных ими с коорд. осями.
|r|=√(x²+y²+z²)
x=|r|cosα
y=|r|cosβ … …
=> cosα=x/√( x²+y²+z²)
Единичный вектор e=(cosa,cosb,cosγ)
Коорд. лин.
комбинации векторов
Даны n векторов. Лин. комб. a=α1*a1+α2*a2+…+αn*an x= α1*x1+α2*x2+…+αn*xn y=…
Деление отрезка в данном отношении
X=(x1+ℓx2)/(1+ℓ) – в
отношении ℓ.
Скалярн. произведение векторов
ab=|a||b|cos(ab) Т.к. |b|cos φ=пр a b ,
|a|cosφ=пр b a , ab=|a|пр a b = |b|пр b a
Свойства:
1.Переместит(коммуникативности) аb=ba
2.Сочетательности(ассоциативности) относительно числ. множ. (αa)b=α(ab)
3.Распределительности
(дистрибутивности) относит. суммы векторов
a(b+c)=ab+ac
Правило лев. и прав. тройки В.
3 не комплан. вект. a,b,c взятых взятых в указанном порядке и приложенных к одной
точке наз. тройкой векторов abc.
Будем см. с конца c на плоск. образ. вект.а и b
,если кратчайший поворот от а к b совершим
против часовой стрелки то тройка наз. правой…
Векторным
произведением 2-х векторов a и b наз. вектор [a*b] и удовл. след. усл.:1)|[a*b]|=|a||b|sinα ;2)[a*b]┴a и b;3)тройка a b [a*b] имеет
ту же ориентацию,что и i jk.
Из усл. 1) следует что |
| векторное
произведение = площади параллелограмма.
[a*b]=0 < = > a комплан.
b
Свойства:
1.Антиперестановочности [a*b]=-[a*b]
2.Сочетательности
относительно скалярн. множ. [(αa)*b]=α[a*b]
3.Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы
векторов [(a+b)c]=[a*c]+[b*c]
|i j
k |
[a*b]=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+… …
|x2 y2 z2| |y2 z2|
Смешанное произведение
векторов
Даны 3 вект. a,b,c . Умножим
векторно a на b и скалярно на
с. В рез. получ. число, котор наз. векторно-скалярным произведением или
смешаным.
V параллелипипеда=смеш.
произвед. вект. и «+», если тр. abc прав.
abc=[ab]c=a[bc]
|x1 y1 …|
abc=|x2 … …| < = > abc-комплан.
|x3 … …| |x2-x1 y2-y1 … |
V 3-ох угольн. Пирамиды=mod|x3-x1 …
|
|x4-x1 …
|
Линейная завис. Векторов
a1,a2,…an – наз. лин. завис.
векторов, если сущ. α1,α2 …αn, таких что: α1*a1+α2*a2+…+αn*an=0
Теорема 1. a1,a2,…,an, n>1 лин зависима < = > по
меньшей мере, один из них явл. лин. комб. остальных.
Теорема 2. а и b лин. завис
< = > они коллин.
Теорема 3. Если е1 и е2 – не колинеарные векторы нек. плоск., то любой
третий вектор а, принадлежащий той же плоскости ед. образом раскл. по ним
а=х*е1+у*е2.
Теорема 4. a,b,c – лин. завис. < = > они коллинеарны.
Теорема 5. Если е1,е2,е3 не комплан., то любой любой а можно ед. обр.
разложить по ним а=α1*е1+α2*е2+α3*е3
Теорема 6. Всяк. 4-е вектора лин. завис.
Базис – любая упорядоченая система 3-ох лин. независ.,т.е. не
компланарных векторов d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) в
базисе е1е2е3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ…
F(x,y)=0 – ур-е линии в общем
виде
F(ρ,φ)=0 – …
в полярных координатах. Если это уравнение разрешимо относительно ρ, то ρ= ρ(φ).
x=f(t) \
y= φ (t) / - параметрические уравнения линии.
Если дан. линии заданы ур-ем ρ= ρ(φ), параметрически
ур-я записываются x= ρ(φ)*cos φ y=
ρ(φ)*sin φ
Упрощ. ур-е второй
степени не содержащее члена с произведением координат Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 (1)
Перейдём к нов.
сист. коорд. оху путём параллельного переноса.
Ур-е (1) путём
выделения полных квадратов преведено к одному из следующих канонических
уравнений:
х²/a²+y²/b²=1 – эллипс – геом. место точек плоскости, для котор. сумма раст. до двух
данных т. (фокусов) =const,F1(-c,0),
F2(c,0),c=√(a²+b²)
Эпсиктриситетом эл. наз. ξ=√(1-(b/a)²) Директрисами
эл. наз. прямые x=a/ξ и x=--a/ξ
х²/a²+y²/b²=0 – удовл. коорд. ед. т. (0,0)
х²/a²+y²/b²=-1 – неудовл. коорд. ни одной т.
в сл. А*С>0 линии
элипсического типа
х²/a² -- y²/b²=1 или --х²/a² + y²/b²=1 – гиперболы – геом. место
т. плоскости для которых | | разности расстояний до двух данных т.(фокусов)=const \
F1(-c,0), F2(c,0), c=√(a²+b²) , ξ=c/a, Ассимптоты
: у=х*b/a и y=-- х*b/a , Директрисы
: x=-a/ξ и
x=a/ξ |
Равносторонние
Г. – с равными полуосями.
/
х²/a² -- y²/b²=0 – пара пересекающихся прямых /
- линии гиперболического типа
у²=2px – парабола - геом. место
т. плоскости равноудалённых от
фокуса и директрисы \
Симметрин. относит. ох : у²=2px , Директриса x=-p/2
,F(p/2,0) , r=x+p/2 |
oy : x²=2qy ,
Директриса y=-q/2 ,F(0,q/2) , r=y+q/2
|
y²=b² - пара || прямых >
- линии параболического типа
y²=0 – пара совпавших
прямых
/
y²=--b² - неудовл. коорд. ни одной т.
Если С=0, А≠0, то (1) приводится х²=2qy
Прямая на плоскости. Общий вид: х=а или y=b
k=(y2-y1)/(x2-x1) , где
х1,у1,…,… -координаты двух любых т. плоскости. | tg(угла м/у 2-я ∩ прямыми)=(k2-k1)/(1+k1k2)
Уравнение
касательной: y-y0=k(x-x0)
| Если
прямые заданы общими уравнениями (Ах+Ву+С=0):
Ур-е нормали : y-y0=-1/k*(x-x0)
| tg(угла м/у 2-я ∩ прямыми)=(A1*B2-A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)
Ур-е прямой (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)
, (x2≠x1,y2≠y1) | || < = >A1/A2=B1/B2 , ┴ A1/B1=--B2/A2
Ур-е прямой в отрезках x=x1+(x2—x1)*t
y=y1=(y2—y1)*t , t € R
Расстояние от т. М0(х0,у0) до прямой Ах+Ву+С=0 :
d=(A*x0+B*y0+C)/√(A²+B²)
Ур-е окружности : (x-a)²+(y-b)²=R²
Упрощ. общее ур-е второй степени: Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0
При
повароте коорд осей на α для которого ctg2α=(A— C)/2B
x=x’ cos α
y’ sin α
y=x’ sin α
+x’ cos α
Предел ф-ии. Постоянная
b наз. lim y=f(x) при x→a , если для любого
ξ>0 сущ. δ>0, что при всех x удовл. усл. 0<|x-a|< δ, выполняется условие |f(x)-b|<ξ
|
