Математическая логика и теория алгоритмов
Содержание.
Постановка задачи.
Построение модели.
Описание алгоритма
Доказательство правильности алгоритма
Блок-схема алгоритма
Описание переменных и программа
Расчёт вычислительной сложности
Тестирование
Список литературы
Постановка задачи.
Перечислить все способы расстановки n ферзей на шахматной доске n на n, при которых они не бьют друг друга.
Построение модели.
Очевидно, на каждой из n горизонталей должно стоять по ферзю. Будем называть k-позицией (для k = 0, 1,...,n) произвольную расстановку k ферзей на k нижних горизонталях (ферзи могут бить друг друга). Нарисуем "дерево позиций": его корнем будет единственная 0-позиция, а из каждой k-позиции выходит n стрелок вверх в (k+1)-позиции. Эти n позиций отличаются положением ферзя на (k+1)-ой горизонтали. Будем считать, что расположение их на рисунке соответствует положению этого ферзя: левее та позиция, в которой ферзь расположен левее.
Дерево позиций для n = 2
Данное дерево представлено только для наглядности и простоты представления для n=2.
Среди позиций этого дерева нам надо отобрать те n-позиции, в которых ферзи не бьют друг друга. Программа будет "обходить дерево" и искать их. Чтобы не делать лишней работы, заметим вот что: если в какой-то k-позиции ферзи бьют друг друга, то ставить дальнейших ферзей смысла нет. Поэтому, обнаружив это, мы будем прекращать построение дерева в этом направлении.
Точнее, назовем k-позицию допустимой, если после удаления верхнего ферзя оставшиеся не бьют друг друга. Наша программа будет рассматривать только допустимые позиции.
Описание алгоритма.
Разобьем задачу на две части: (1) обход произвольного дерева и (2) реализацию дерева допустимых позиций.
Сформулируем задачу обхода произвольного дерева. Будем считать, что у нас имеется Робот, который в каждый момент находится в одной из вершин дерева. Он умеет выполнять команды:
вверх_налево (идти по самой левой из выходящих вверх стрелок)
вправо (перейти в соседнюю справа вершину)
вниз
(спуститься вниз на один уровень)
вверх_налево
вправо
вниз
и проверки, соответствующие возможности выполнить каждую из команд, называемые "есть_сверху", "есть_справа", "есть_снизу" (последняя истинна всюду, кроме корня). Обратите внимание, что команда "вправо" позволяет перейти лишь к "родному брату", но не к "двоюродному".
Будем считать, что у Робота есть команда "обработать" и что его задача - обработать все листья (вершины, из которых нет стрелок вверх, то есть где условие "есть_сверху" ложно). Для нашей шахматной задачи команде обработать будет соответствовать проверка и печать позиции ферзей.
Доказательство правильности приводимой далее программы использует такие определения. Пусть фиксировано положение Робота в одной из вершин дерева. Тогда все листья дерева разбиваются на три категории: над Роботом, левее Робота и правее Робота. (Путь из корня в лист может проходить через вершину с Роботом, сворачивать влево, не доходя до нее и сворачивать вправо, не доходя до нее.) Через (ОЛ) обозначим условие "обработаны все листья левее Робота", а через (ОЛН) - условие "обработаны все листья левее и над Роботом".
Нам понадобится такая процедура: procedure вверх_до_упора_и_обработать {дано: (ОЛ), надо: (ОЛН)} begin {инвариант: ОЛ} while есть_сверху do begin вверх_налево end {ОЛ, Робот в листе} обработать; {ОЛН} end;
Основной алгоритм:
дано: Робот в корне, листья не обработаны
надо: Робот в корне, листья обработаны {ОЛ} вверх_до_упора_и_обработать {инвариант: ОЛН} while есть_снизу do begin if есть_справа then begin {ОЛН, есть справа} вправо; {ОЛ} вверх_до_упора_и_обработать; end else begin {ОЛН, не есть_справа, есть_снизу} вниз; end; end; {ОЛН, Робот в корне => все листья обработаны}
Осталось воспользоваться следующими свойствами команд Робота (сверху записаны условия, в которых выполняется команда, снизу - утверждения о результате ее выполнения):
{ОЛ, не есть_сверху} обработать {ОЛН}
{ОЛ} вверх_налево {ОЛ}
{есть_справа, ОЛН} вправо {ОЛ}
{не есть_справа, ОЛН} вниз{ОЛН}
Теперь решим задачу об обходе дерева, если мы хотим, чтобы обрабатывались все вершины (не только листья).
Решение. Пусть x - некоторая вершина. Тогда любая вершина y относится к одной из четырех категорий. Рассмотрим путь из корня в y. Он может:
а) быть частью пути из корня в x (y ниже x);
б) свернуть налево с пути в x (y левее x);
в) пройти через x (y над x);
г) свернуть направо с пути в x (y правее x);
В частности, сама вершина x относится к категории в). Условия теперь будут такими:
(ОНЛ) обработаны все вершины ниже и левее;
(ОНЛН) обработаны все вершины ниже, левее и над.
Вот как будет выглядеть программа:
procedure вверх_до_упора_и_обработать {дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)} begin {инвариант: ОНЛ} while есть_сверху do begin обработать вверх_налево end {ОНЛ, Робот в листе} обработать; {ОНЛН} end;
Основной алгоритм: дано: Робот в корне, ничего не обработано надо: Робот в корне, все вершины обработаны {ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать {инвариант: ОНЛН} while есть_снизу do begin if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа} вправо; {ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать; end else begin {ОЛН, не есть_справа, есть_снизу} вниз; end; end; {ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны}
Приведенная только что программа обрабатывает вершину до того, как обработан любой из ее потомков. Теперь изменим ее, чтобы каждая вершина, не являющаяся листом, обрабатывалась дважды: один раз до, а другой раз после всех своих потомков. Листья по-прежнему обрабатываются по разу:
Под "обработано ниже и левее" будем понимать "ниже обработано по разу, слева обработано полностью (листья по разу, остальные по два)". Под "обработано ниже, левее и над" будем понимать "ниже обработано по разу, левее и над - полностью".
Программа будет такой:
procedure вверх_до_упора_и_обработать {дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)} begin {инвариант: ОНЛ} while есть_сверху do begin обработать вверх_налево end {ОНЛ, Робот в листе} обработать; {ОНЛН} end;
Основной алгоритм: дано: Робот в корне, ничего не обработано надо: Робот в корне, все вершины обработаны {ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать {инвариант: ОНЛН} while есть_снизу do begin if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа} вправо; {ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать; end else begin {ОЛН, не есть_справа, есть_снизу} вниз; обработать; end; end; {ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны полностью}
Доказательство правильности алгоритма.
Докажем
, что приведенная программа завершает работу (на любом конечном дереве).
Доказательство
. Процедура вверх_налево завершает работу (высота Робота не может увеличиваться бесконечно). Если программа работает бесконечно, то, поскольку листья не обрабатываются повторно, начиная с некоторого момента ни один лист не обрабатывается. А это возможно, только если Робот все время спускается вниз. Противоречие.
Блок-схема алгоритма.
Описание переменных и программа.
Теперь реализуем операции с деревом позиций. Позицию будем представлять с помощью переменной k: 0..n (число ферзей) и массива c: array [1..n] of 1..n (c [i] - координаты ферзя на i-ой горизонтали; при i > k значение c [i] роли не играет). Предполагается, что все позиции допустимы (если убрать верхнего ферзя, остальные не бьют друг друга).
program queens; const n = ...; var k: 0..n; c: array [1..n] of 1..n; procedure begin_work; {начать работу} begin k := 0; end; function danger: boolean; {верхний ферзь под боем} var b: boolean; i: integer; begin if k <= 1 then begin danger := false; end else begin b := false; i := 1; {b <=> верхний ферзь под боем ферзей с номерами < i} while i <> k do begin b := b or (c[i]=c[k]) {вертикаль} or (abs(c[i]-c[k])=abs(i-k)); {диагональ} i := i+ 1; end; danger := b; end; end; function is_up: boolean {есть_сверху} begin is_up := (k < n) and not danger; end; function is_right: boolean {есть_справа} begin is_right := (k > 0) and (c[k] < n); end; {возможна ошибка: при k=0 не определено c[k]} function is_down: boolean {есть_снизу} begin is_up := (k > 0); end; procedure up; {вверх_налево} begin {k < n} k := k + 1; c [k] := 1; end; procedure right; {вправо} begin {k > 0, c[k] < n} c [k] := c [k] + 1; end; procedure down; {вниз} begin {k > 0} k := k - 1; end; procedure work; {обработать} var i: integer; begin if (k = n) and not danger then begin for i := 1 to n do begin write ('<', i, ',' , c[i], '> '); end; writeln; end; end; procedure UW; {вверх_до_упора_и_обработать} begin while is_up do begin up; end work; end; begin begin_work; UW; while is_down do begin if is_right then begin right; UW; end else begin down; end; end; end.
Расчёт вычислительной сложности.
Емкостная сложность:
В программе используется одномерный массив размерности n, поэтому объём входа и объём выхода совпадают и равны n. Количество пременных равно 3(i,b,k) + 1(const n), т.е. объём промежуточных данных равен 4.
С(n)=n+4
Временная сложность:
Если рассматривать обработку каждого листа, без проверки на пути к нему, то временная сложность T(n) = n
0
+n
1
+n
2
+n
3
+…+n
n .
Но в случае, когда каждая вершина проверяется, временная сложность T(n) = o(n
0
+n
1
+n
2
+n
3
+…+n
n
). И это тем вернее, чем больше n. Данный вывод получен на основе приведённых ниже статистических данных:
1
2
3
4
5
6
7
Общее кол-во листьев
2
7
40
341
3906
55987
960800
Кол-во вершин построенного дерева.
2
3
4
17
54
153
552
Время построения(сек)
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
<0.01
8
9
10
11
12
13
Общее кол-во листьев
Кол-во вершин построенного дерева.
2057
8394
35539
166926
856189
4674890
Время построения(сек)
<0.01
0.21
1.20
6.48
37.12
231.29
Тестирование.
Построенная по описанному алгоритму программа при различных n выдаёт следующие данные:
n=4
<1,2><2,4><3,1><4,3>
<1,3><2,1><3,4><4,2>
Т.е. количество расстановок равно 2. Ниже приведена таблица зависимости от n количества решений (R).
n =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
R=
1
0
0
2
10
4
40
92
352
724
2680
14200
73712
Cписок литературы.
Кузнецов О.П. Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988.
Евстигнеев В.А. Применение теории графов в программировании. – М.:Наука, 1984.
Основной алгоритм находился на BBS “Master of Univercity” в файле shen.rar в файловой области “Bardak” (тел. 43-27-03; время работы 21.00 – 7.00; FTN адрес – 2:5090/58).
Применение компьютеров для доказательств теорем математической логики. Реферат математика на шахматной доске Красноярск Россия Красноярске. Реферат про тафтологию по теории алгоритмов и матиматической логике. Реферат по дискретной математике на тему математическая логика. Реферат на тему разработка математической модели в виде графов. Математическая логика и теория алгоритмов решенные задачи. Математическая логика и теория алгоритмов темы рефератов. Реферат об алгоритмах в элементах математической логики. Листьев Теория вероятностей и математическая статистика. Реферат на тему существование алгоритмов в математике. Реферат на тему основы теории информации и алгоритмов. Реферат математическая логика и теория алгоритмов. Полная логическая характеристика понятия адвокат. Полная логическая характеристика хороший адвокат. Математическая логика и теория алгоритмов задачи.
