История открытия комплексных чисел
"Помимо и даже против воли того
или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и
лишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они
получают более и более широкое распространение" Ф. Клейн.
Автор: Соловьев Алексей 12а.
ревнегреческие математики
считали "настоящими" только натуральные числа. Постепенно
складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.
В III веке
Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как . Наряду с
натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа
долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до
н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат
измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения
таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил,
что "… элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом
является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен
открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата
несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей
недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.
Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра
теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью
опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение
отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до
н. э. Отрицательные
числа применяли в III
веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними,
а в VII
веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие
числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом
описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из
положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из
отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа
, чтобы .
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось
необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для
решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: .
Эта формула безотказно действует в случае, когда
уравнение имеет один действительный корень (), а если
оно имеет три действительных корня (), то под
знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь
к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из
отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени,
математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже
XVIII и XIX
веков доказал, что буквенное уравнение
пятой степени нельзя
решить алгебраически; точнее: нельзя
выразить его корень через буквенные величины a,
b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение,
вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).
В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение,
степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-й степени
имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом
математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных
случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая
теорема была доказана Гауссом.
Итальянский алгебраист Дж.
Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система
уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел,
имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими
выражениями по правилам обычной алгебры и считать что .
Кардано называл такие величины "чисто отрицательными" и даже "софистически отрицательными",
считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью
таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни
изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского
алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила
арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них
кубических корней. Название "мнимые
числа" ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в
1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву
французского слова imaginaire
(мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во
всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин
"комплексные числа" так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово
комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий,
предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы
мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На
рубеже XVII
и XVIII веков
была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых
комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А.
Муавра (1707):
. С
помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов
кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : , которая связывала воедино показательную
функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить
число e в
любую комплексную степень. Любопытно, например, что
. Можно находить sin
и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел,
то есть строить теорию функций комплексного переменного.
В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что
математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел
научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в
сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял
комплексные числа для решения интегралов.
Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие
вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией,
гидродинамикой и т. д.,
однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому
французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью
мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь
после подтверждения прямыми доказательствами.
"Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых
при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только
алгебраические формы иероглифы нелепых количеств" Л. Карно.
В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование
комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс
независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой
на
координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не
самой точкой M, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком
истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же
операции над векторами. Вектор можно
задавать не только его координатами a и b, но так же
длиной r и
углом j, который он
образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом
, и
число z принимает
вид , который называется тригонометрической формой
комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z
и обозначают . Число называют
аргументом z и
обозначают ArgZ.
Заметим, что если , значение ArgZ
не определено, а при
оно
определено с точностью до кратного . Упомянутая
ранее формула Эйлера позволяет записать число
z в виде (показательная
форма комплексного числа).
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить
многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило
область их применения.
Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где
имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на
плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.
После создания теории комплексных чисел возник вопрос о
существовании "гиперкомплексных" чисел - чисел с несколькими
"мнимыми" единицами. Такую систему вида , где , построил в
1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их
"кватернионами". Правила действия над кватернионами напоминает
правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством
коммутативности (переместительности):
например, , а .
Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому я лишь
упоминаю об их существовании.
Большой вклад в развитие теории функций комплексного
переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее
применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и
гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам
квантовой теории поля.
Список используемой литературы:
"Энциклопедический словарь юного
математика"
"Школьный словарь иностранных
слов"
"Справочник по элементарной
математике" М. Я Выгодский
Презентация урока математики по теме развитие понятия о целом числе. Реферат по математике на тему множество история изучения вопросов. История возникновения целых и рациональных чисел реферат онлайн. Правило извлечения квадратного корня из отрицательных чисел. Действия с отрицательными и положительными числами реферат. Учебник богомолова тема история развития комплексных чисел. Сообщение на тему комплексные числа история возникновения. Сообщение о возникновение и применения комплексных чисел. Реферат на тему история возникновения комплексных чисел. История одного открытия с презентацие об этом открытии. Презентация положительные и отрицательные числа класс. Презентация действительные числа и действия над ними. История возникновения и развития комплексных чисел. Сообщение на темуистория возникновения математики. Развитие понятия о числе в математике презентация.
|
