Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими тригонометрическими полиномами
Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими тригонометрическими полиномами
Оглавление.
Наименование
Введение
§
1. Некоторые вспомогательные определения
§
2. Простейшие свойства модулей нерперывности
§
3. Обобщение теоремы Джексона
§
4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна
§
5. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию
§
6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и Ш. Валле-Пуссена
§
7. Основная теорема
§
8. Решение задач
Литература
Введение
Дипломная работа посвящена исследованию наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. В ней даются необходимые и достаточные условия для того, чтобы наилучшие приближения имели заданный (степенной) порядок убывания.
Дипломная работа носит реферативный характер и состоит из “Введения” и восьми параграфов.
В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи:
При каких ограничениях на непрерывную функцию
F
(
u
)
(-1
Ј u
Ј
+1) её наилучшие приближения
E
n [
F
;-1,+1] обыкновенными многочленами имеют заданный порядок
j
(
n
-1
)?
При каких ограничениях на непрерывную периодическую функцию
f
(
x
) её наилучшее приближение
E
n
[
f
] тригонометрическими полиномами имеют заданный порядок
j
(
n
-1
)?
Подстановка
u=cos(x) сводит задачу 1 к задаче 2. Достаточно, следовательно, рассматривать лишь задачу 2.
Мы ограничимся случаем, когда
j
(
d
) О
N
a
, для некоторого
a , где
j
(
d
) - функция сравнения р-го порядка и для 0<
d
<
h Ј p
С.Н.Бернштейн, Д.Джексон и Ш.Валле-Пуссен получили зависимости между оценками сверху для
E
n
[
f
] и дифференциальными свойствами
f
. Некоторые дополнения к их теоремам доказаны А.Зигмундом. нам предстоит, поэтому, получить зависимости между дифференциальными свойствами
f и оценками
E
n
[
f
] снизу. Впервые задачами типа 1 занимался С.Н.Бернштейн. А именно, им получено ассимптотическое равенство:
,
где
m -
некоторое число.
Наша основная теорема формулируется следующим образом:
Пусть
j О
N
a
.
Для того чтобы
необходимо, чтобы для любого натурального k>
a
, и достаточно, чтобы для некоторого натурального k>
a
где
Изложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы.
В
§
1 даётся ряд вспомогательных определений, которые понадобятся в дальнейшей работе.
В
§
2 выводятся основные свойства модулей непрерывности высших порядков. Почти все эти свойства используются в дальнейшем тексте.
§
3 посвящен обобщению теоремы Джексона. Как известно, Джексон доказал следующую теорему: если
f имеет непрерывную r-ую производную
f
(r) , то
Таким образом, теорема Джексона дает оценку сверху для наилучших приближений, если известны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции.
В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержит в качестве следствия такое предложение: пусть
Тогда
В
§
3 доказываем:
(*)
В
§
4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение известного неравенства С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрического полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем
§
5.
В
§
5 рассматривается следующая задача. Пусть тригонометрический полином
t
n , близок в равномерной метрике к заданной функции
f или последовательность полиномов {
t
n
} достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию
f
. Как связаны тогда дифференциальные свойства
f с дифференциальными свойствами
t
n
?
Если
t
n , образуется из
f посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы
, необходимо и достаточно, чтобы
равномерно относительно
n
. (
f
О
H
k
[
w
], если
).
Оказывается, что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения: для того, чтобы
равномерно относительно
n
.
Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы
, необходимо и достаточно чтобы
.
§
6 посвящён “обратным теоремам” теории приближения.
Известно предложение: пусть
.
Тогда, если
a не целое,
r=
[
a
],
b
=
a
-
r
, то
f имеет нерперывную производную
.
Случай целого
a
рассмотрен Зигмундом. В этом случае
.
Нетрудно показать, что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 0<
a
<
k и
.
Тогда
.
В работе [3] С.Н.Бернштейн доказал также эквивалентность условий
и
.
Мы переносим эти теоремы на условия вида
,
где
j О
N
a
.
Кроме того, в этом параграфе доказано, например, такое предложение: пусть
k - натуральное число и
;
для того, чтобы
, необходимо и достаточно выполнение условия
.
В конце параграфа даются уточнения теорем Валле-Пуссена.
В
§
7 доказывается основная теорема. Мы даём здесь же оценку
E
n
[
f
] снизу, если
.
Именно, тогда
Случай
a
=0 установлен С.Н.Бернштейном [3].
В
§
8 мы рассматриваем несколько решений задач с использованием различных модулей непрерывности.
§
1. Некоторые вспомогательные определения.
В работе рассматриваются непрерывные функции
f с периодом 2
p и их приближение тригонометрическими полиномами. Через
t
n
(
x
)
обозначается тригонометрический полином порядка не выше
n
, а через
t
n
*
(
x
)
=t
n
*
(
x,f
)-тригонометрический полином, наименее уклоняющийся от
f среди всех
t
n
(x)
. Мы полагаем
и пишем
Введём ряд определений.
Определение 1.
При каждом фиксированном
классом Липшица порядка
a называется множество всех непрерывных функция
f
, модуль непрерывности каждой из которых удовлетворяет условию
где
С
8
-какая-нибудь положительная постоянная, которая не зависит от
d и которая, вообще говоря, является различной для разных функций. Этот класс обозначается
H
a или
Lip
a.
Определение 2.
Обозначим при фиксированном натуральном
r через
W
(r)
L класс функций
f
, которая имеет абсолютно непрерывные производные до (
r-
1) порядка и у которой
r
-я производная принадлежит классу
L
.
Определение 3. Для непрерывной на [
a,b
] функции
f
(
x
)
назовём
модулем непрерывности первого порядка
или же просто модулем непрерывности функцию
w
(
d
)
=w
(
f;
d
)
, определённую на [
0, b-a
] при помощи следующего равенства:
(1.1)
или, что то же самое,
(1.1’)
Свойства модуля непрерывности
:
w(0)=0;
w(d)
есть функция, монотонно возрастающая;
w(d) есть функция непрерывная;
w(d)
есть функция полуаддитивная в том смысле, что для любых
и
(1.2)
Доказательство. Свойство 1) вытекает из определения модуля непрерывности.
Свойство 2) вытекает из того, что при больших
d нам приходится рассматривать
sup
на более широком множестве значений
h
. Свойство 4) следует из того, что если мы число
представим в виде
h=h
1
+h
2
,
и
, то получим
Из неравенства (1.2) вытекает, что если
то
т.е.
(1.3)
Теперь докажем свойство 3). Так как функция f
(
x
) равномерно непрерывна на [
a,b
], то
при
и, следовательно, для любых
d
,
при
а это и означает, что функция
w(d) непрерывна.
Определение 4. Пусть функция
f
(
x
)
определена на сегменте [
a,b
]
. Тогда для любого натурального
k и любых
и
h>0
таких, что
k-й разностью функции f в точке x с шагом h
называется величина
(1.4)
а при
и
h>0 таких, что
k-й симметричной разностью - величина
(1.4’)
Лемма 1.
При любых натуральных
j и
k справедливо равенство
(1.5)
Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном
k
то
Лемма доказана.
Лемма 2. При любых натуральных
k и
n верна формула:
(1.6)
Доказательство. Воспользуемся индукцией по
k
. При
k=
1 тождество (1.6) проверяется непосредственно:
.
Предполагая его справедливость при
k-
1 (
k
2), получим
Лемма доказана.
Определение 5. Если измеримая периода (
b-a
) функция
f
(
x
)
О
L
q (
L
q
-класс всех вещественных измеримых на [
a,b
] функции
f
(
x
)), то под её интегральным модулем гладкости порядка
k
1 понимают функцию
Лемма 3. Если
то справедливо
(1.7)
Доказательство. В самом деле,
и так далее. Лемма доказана.
Определение 6. Если функция
f(x)
ограничена на [
a,b
], то под её
модулем гладкости
порядка
k
1 понимают функцию
заданную для неотрицательных значений
и в случае, когда
k
=1, представляющую собой модуль непрерывности.
Свойства модулей гладкости:
есть функция, монотонно возрастающая;
есть функция непрерывная;
При любом натуральном
n имеет место ( точное) неравенство
(1.8)
а при любом
-неравенство
(1.8’)
5) Если функция
f
(
x
)
имеет всюду на [
a,b
] непрерывные производные до (
r-
1)-го порядка, и при этом (
r-1
)-я производная
, то
(1.9)
Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что
2) Свойство 2) доказывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности.
3) Предполагая для определённости, что
d>d
, получим
Этим непрерывность функции
w
k
(
d
) доказана.
4) Используя равенство лемму 2
§
1, имеем
Этим неравенство (1.8) доказано. Неравенство (1.8’) следует из монотонности функции
w
k
(
t
) и неравенства (1.8).
5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3
§
1, получим
Определение 7.
Пусть
k
-натуральное число. Будем говорить, что функция
есть модуль непрерывности
k
-го порядка функции
f
, если
где
-конечная разность функции
f k
-го порядка с шагом
h
:
Среди модулей непрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи
k=
1 и k=
2. Случай
k=
1 является классическим; вместо
мы будем писать просто
и называть эту функцию
модулем непрерывности
; функцию
мы будем называть
модулем гладкости
.
Определение 8. Зададим натуральное число
k. Будем говорить, что функция
-есть функция сравнения
k-
го порядка, если она удовлетворяет следующим условиям:
определена для
,
не убывает,
,
Нетрудно показать, что если
f
0, то
есть функция сравнения
k-
го порядка (см. Лемму 5
§
2).
Определение 9. Зафиксируем натуральное число
k и функцию сравнения
k
-го порядка
. Будем говорить, что функция
f принадлежит к классу
, если найдётся константа
С
10
>0 такая, что
Вместо
будем писать просто
H
k
a
.
Если для последовательности функций {
f
n
} (n=1,2,...)
где
С
10 не зависит от
n
, то будем писать:
равномерно относительно
n
.
Понятие классов
является естественным обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих ограниченную
k
-ю производную.
Определение 10. Зафиксируем число
a
>0 и обозначим через
p наименьшее натуральное число, не меньше чем
a
(
p=-
[- a
]). Будем говорить, что функция
принадлежит к классу
, если она
1) есть функция сравнения
p
-го порядка и
2) удовлетворяет условию: существует константа
С
11
>0 такая, что для
Условие 2) является небольшим ослаблением условия “ не убывает”. Функции класса
N
a будут играть основную роль во всём дальнейшем изложении.
Определение 11.
Будем говорить, что функция
имеет порядок
, если найдутся две положительные константы
С
12
и С
13 такие, что для всех
t
, для которых определены функции
и
,
.
При выполнении этих условий будем писать
.
Определение 12. Ядром Дирихле
n
-го порядка называется функция
(1.10)
Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка
n и при этом
(1.10’)
Определение 13. Ядром Фейера
n
-го порядка называется функция
(1.11)
Ядро Фейера
F
n
(
t
)
является средним арифметическим первых
n ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим полиномом порядка (
n-1
). Так что имеют место равенства
(1.11’)
(1.11’’)
где
D
k
(
t
)-ядра Дирихле.
Определение 14. Ядром Джексона
n
-го порядка называется функция
(1.12)
Свойства ядер Джексона.
а) При каждом
n ядро
J
n
(
t
) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2
n
-2 вида
,
где
j
k
=j
k
(
n
) - некоторые числа
б)
в)
г)
Доказательство.
а) Учитывая, что для ядер
F
n
(
t
) Фейера имеют место равенства
получим
где
j
k
(
k
=1,2,...,2
n
-2) -некоторые числа, и в частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем
Этим свойство а) доказано.
б) Это равенство следует из равенства, полученного для
j
0
.
в) Так как
при любом
и
при
(
**
), то
г) Совершенно аналогично случаю в) получим
Что и требовалось доказать.
Определение 15. Ядром типа Джексона порядка
n называется функция
, (1.13)
n
=1,2,3,...,
k
-натуральное, где
(1.13’)
Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами:
а)
б) При фиксированном натуральном
k и произвольном
n ядро
J
n,k
(
t
)
является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка
k
(
n
-1)
в)
n
2k-
1
, т.е. существуют постоянные
С
14
>
0 и
С
15
>0, такие, что при всех
n
=1,2,3,... будет
г) При любом
s
>0 имеет место неравенство
д) При любом натуральном
Доказательство свойств ядер типа Джексона.
а) Это свойство вытекает из равенств определения
б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в силу равенств (1.11) и (1.11‘’) будет
(1.14)
где
- некоторые целые числа.
в) Учитывая неравенства (**), будем иметь
(1.15)
С другой стороны
(1.15‘)
г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1.15‘)
д) Действительно, с одной стороны, в силу неравенств (1.15‘) и (**)
(1.16)
где
A-const
, а с другой стороны, учитывая соотношение (1.15), неравенств (**) и из неравенства sin
t
Ј
t
, при всех
t
0 (***), имеем
(1.16‘)
A
1
-const
. Неравенства (1.16) и (1.16‘) равносильны условию, что и требовалось доказать.
§
2. Простейшие свойства модулей нерперывности.
Этот параграф носит вспомогательный характер. Здесь устанавливается несколько простейших свойств модуля нерперывности высших порядков. Все рассматриваемые здесь функции
f
1
, f
2
, ... -
непрерывны.
ЛЕММА 1. Для любого натурального
k
и любого
d
0
(2.1)
Доказательство: по определению,
Лемма доказана.
ЛЕММА 2. Пусть
f и l -натуральные числа,
l<k.
Тогда для любого
d
0
(2.2)
и
(2.3)
Доказательство: Положим
Тогда для 0
Ј
l<k
имеем
откуда
Отсюда при
l
=0 вытекает, что
,
а при 0<
l
<
k
Полагая в (2.3)
l
=1, находим, что
Из этого неравенства видно, что для любого натурального
k
. (2.4)
ЛЕММА 3. Для любого натурального
k модуль непрерывности
k
-го порядка
является непрерывной функцией от
d
.
Доказательство: Пусть
Имеем
Отсюда
и
Таким образом
и так как
при
, то отсюда вытекает непрерывность функции
, и лемма доказана.
ЛЕММА 4. Пусть
k
и p
-натуральные числа. Тогда для любого
d
0
(2.5)
Доказательство: Индукция по
k даёт формулу
Отсюда
и
Лемма доказана.
ЛЕММА 5. Пусть
k
-натуральное число,
d
>0,
h
>0.
Тогда
(2.6)
Если кроме того 0<
d
<
h
,
то
(2.7)
Доказательство: Докажем сперва неравенство (2.6). Рассмотрим случай для
hЈd
. Найдём натуральное число
p из условий
(2.8)
Тогда
h<
p
d
-1
, и так как
-является неубывающей функцией от
h
, то принимая во внимание (2.5) и (2.8), получим
Рассмотрим случай для
h<d
. Найдём натуральное число
p из условий
(2.9)
Тогда
h<
p
d
, и так как
-является неубывающей функцией от
h
, то принимая во внимание (2.5) и (2.9), получим
,
и неравенство (2.6) доказано. Неравенство (2.7) вытекает из (2.6), так как
d+hЈ2h для 0<
d
<
h
.
Неравенство (2.7) показывает, что для любой
f
0 и любого натурального
k
(2.10)
Лемма доказана.
ЛЕММА 6. Пусть
f имеет r-ю производную
f
(r)
. Тогда
(2.11)
и для любого натурального
k
(2.12)
Доказательство: Оба неравенства непосредственно вытекают из формулы
Если
k
=0, то мы получаем формулу (2.11). Лемма доказана.
§3
. Обобщение теоремы Джексона.
Здесь будет получено небольшое усиление теоремы Джексона о наилучших приближениях периодических функций тригонометрическими полиномами.
Лемма
7. Пусть дано натуральное число
k
. Существует последовательность ядер
{K
n
(
t
)}(
n
=0,1,...), где
K
n
(
t
) есть тригонометрический полином порядка не выше
n
, удовлетворяющая условиям:
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Эту лемму можно считать известной. Как показывает простой подсчет, совершенно аналогичный проводившемуся Джексоном, в качестве ядер
K
n
(
t
) можно взять ядра Джексона достаточно высокой степени, то есть положить
где
k
0
-целое, не зависит от
n
,
натуральное
p определяется из неравенства
,
а
b
p выбираются так, чтобы была выполнена нормировка (3.1).
Лемма 8. Если последовательность ядер {
K
n
(
t
)} удовлетворяет всем условиям предыдущей леммы, то
(3.4)
Доказательство. Имеем, пользуясь (3.2) и (3.3)
Лемма доказана.
Теорема 1.
Пусть
k
-натуральное число. Тогда
(3.5)
Доказательство. Пусть последовательность ядер {
K
n
(
t
)} (
n
=1,1,2,...) удовлетворяет всем условиям леммы 7. Положим
Очевидно,
есть тригонометрический полином порядка не выше
n
-1. Оценим
Имеем
Поэтому
(3.6)
Оценим последний интеграл. Полагая в неравенстве (2.6)
, получим, что
Отсюда и из (3.4) следует:
Подставляя эту оценку в (3.6), получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.
Следствие 1.1.
Пусть
k
-натуральное число,
r
-целое неотрицательное. Тогда
(3.7)
В самом деле, согласно (2.12)
и применение теоремы 1 даёт (3.7).
§4
. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна.
В этом параграфе формулируется одно обобщение неравенства С.Н.Бернштейна для производных от тригонометрического полинома.
Теорема 2. Пусть
. Тогда для любого натурального
k
(4.1)
и неравенство обращается в неравенство в том и только в том случае, если
Доказательство этого неравенства опубликовано в работе С.Б.Стечкина [2].
Отметим несколько следствий из этого неравенства.
Следствие 2.1.
(неравенство С.Н.Бернштейна):
(4.2)
Полагая в (4.1)
, получаем
(это неравенство доказано С.М.Никольским [5]) но по лемме 2
§2
,
откуда и следует (4.2).
Два последних неравенства одновременно обращаются в равенство только в случае, если
Следствие 2.2. Пусть
. Тогда
(4.3)
Первое неравенство совпадает с утверждением теоремы 2, а второе вытекает из оценки
(4.4)
Таким образом, для
средний член в (4.3) заключен между двумя пределами, зависящими только от
q
.
Следствие 2.3.
Пусть
. Тогда
(4.5)
В частности,
(4.6)
Следствие 2.4.
Пусть
Тогда
(4.7)
В частности, для
имеем
(4.8)
В самом деле, из (4.4) или (2.12) следует:
и остается воспользоваться неравенством (4.5).
Следствие 2.5. Пусть
Тогда
. (4.9)
Вторая половина неравенства совпадает со следствием 2.4, а первая непосредственно вытекает из (2.7).
§5
. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию.
В этом параграфе устанавливается, что если тригонометрический полином
t
n
(
x
) близок к заданной функции
f
, то его модули непрерывности можно оценить через модули непрерывности
f
.
Теорема 3. Зафиксируем натуральные числа
k и
n и пусть
(5.1)
Тогда для любого
(5.2)
(5.3)
(5.4)
и
(5.5)
Предварительные замечания. Неравенства (5.2) и (5.4) предпочтительнее для больших
d
, а (5.3)-для малых. Если
, то (5.2) сильнее, чем (5.4); однако (5.4) имеет более симметричную форму и часто удобнее в приложениях.
Доказательство. Докажем (5.2). Пользуясь (2.1), (2.2) и (5.1), имеем
Докажем (5.5). Положим в (5.2)
. Тогда получим :
после чего (4.5) даёт (5.5).
(5.3) следует из (5.5) в силу (2.11).
Остаётся доказать (5.4). Пусть сперва
. Тогда из (5.4) следует:
Рассмотрим, наконец, случай
. Из неравенства (2.7) выводим
Подставляя эту оценку в (5.3), получаем (5.4) для
.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Следствие 3.1. Пусть для некоторого натурального
k и любого натурального
n
(5.6)
Тогда для любого
d
>0
(5.7)
равномерно относительно
n
.
Следствие 3.2.
Пусть для некоторого натурального
k и любого натурального
n
Тогда
(5.8)
Теорема 4.
Для того, чтобы
, необходимо и достаточно, чтобы
(5.9)
равномерно относительно
n.
Это вытекает из теоремы 1, следствия 3.1 и того замечания что если выполнено условие (5.9), то
.
Теорема 5. Для того, чтобы
, необходимо и достаточно, чтобы
(5.10)
Это доказывается аналогично теореме 4, только вместо следствия 3.1 нужно воспользоваться следствием 3.2.
Неравенства теоремы 3 имеют тот недостаток, что их правые части явно зависят от константы
С
20
. Таким образом, если вместо фиксированного номера
n и одного полинома
t
n рассматривать последовательность полиномов {
t
n
} (
n
=1,2,...), то
С
20
окажется, вообще говоря, независящей от
n и теорема 3 даёт оценки, не равномерные относительно
n
. Покажем как избавиться от этого неудобства.
Теорема 6. Пусть для некоторого натурального
k
(5.11)
и
(5.12)
Тогда для любого
d
>0
(5.13)
равномерно относительно
n
.
Доказательство. Пусть сперва
. Из неравенства (5.2) следует, что
и на основании (5.11)
(5.14)
Рассмотрим случай
. Положим в (5.14)
. Тогда получим
Из этого неравенства, в силу (4.7), следует, что
Но так как, по условию,
, то
Отсюда
Окончательно,
и теорема доказана.
В следующем параграфе будет показано, как можно видоизменить ограничения (5.11) теоремы 6.
§6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и
Ш. Валле-Пуссена.
В этом параграфе обобщаются и уточняются так называемые “обратные теоремы” теории приближения. Речь идёт об оценке дифференциальных свойств функции
f
, если известны свойства последовательности её наилучших приближений {
E
n
}.
Лемма 9. Зададим натуральное число
k
, и пусть
(6.1)
и
. (6.2)
Тогда
(6.3)
Доказательство. Имеем, согласно (2.1),
Но из (2.10) и (6.2) получаем
а из (2.2) и (6.1)
Поэтому
левая часть этого неравенства не зависит от
n
, а поэтому
и лемма доказана.
Для получения хороших оценок
обычно достаточно взять
. Однако на исключена возможность, что в некоторых случаях другой выбор
может оказаться предпочтительнее.
Теорема 7.
Пусть
k
-натуральное число, функция
не убывает и
(6.4)
Для того чтобы
, необходимо и достаточно выполнение условия
(6.5)
Доказательство. Необходимость условия (6.5) вытекает из следствия 3.2. Установим его достаточность, для чего воспользуемся леммой 9. Получаем:
Положим здесь
; тогда для
будем иметь
и
поэтому
и теорема доказана.
Отметим два следствия из этой теоремы.
Следствие 7.1. Пусть
k
-натуральное число, функция
не убывает и
(6.6)
Для того чтобы
, необходимо и достаточно выполнение условия
(6.7)
Следствие 7.2. Пусть
k
-натуральное число и
Если
и
(6.8)
то
равномерно относительно
n
.
Это вытекает из теорем 7 и 6.
Теорема 7 показывает, что нужно добавить к условию (6.4), чтобы получить
. Теперь мы получим оценки для
, исходя только из условий вида (6.4). Попутно выясняется, что при некоторых дополнительных ограничениях на функцию
условие (6.5) становится излишним. Суть дела в том, что при этих ограничениях (6.4) влечёт (6.5).
Лемма 10. Пусть
(6.9)
где
. Тогда для любого натурального
k
(6.10)
Доказательство. Зафиксируем натуральное число
n
, определим натуральное
p из условий
и построим последовательность номеров
положив
Для оценки
представим
в таком виде:
Так как
, то отсюда
(6.11)
Оценим
U
l
(k)
. Имеем для
l=
1,2,...,
p
откуда
Но
есть тригонометрический полином порядка не выше
n
l
. Поэтому по неравенству С.Н. Бернштейна,
(6.12)
Заметим теперь, что, в силу определения последовательности {
n
l
},
и
для
Поэтому, пользуясь ещё монотонностью последовательности {
F
n
}
2 находим, что для
(6.13)
При помощи (6.11), (6.12) и (6.13) находим окончательно:
и лемма доказана.
Теорема 8. Для любого натурального
k и любого
(6.14)
Доказательство. Имеем
Отсюда, по лемме 10,
Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем:
Если
, то
. Кроме того,
Поэтому для
и теорема доказана.
Мы обращаемся теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких ограничениях на {
E
n
} условие (6.4) влечёт
Теорема 9. Зададим натуральное число
k
; пусть
и
. Для того чтобы
, необходимо и достаточно выполнение условия
(6.15)
Доказательство. Необходимость условия (6.15) вытекает из теоремы 1. Докажем его достаточность. Согласно теореме 8, для
Положим здесь
и заметим, что тогда
для
и, в силу условия
,
Поэтому для
и теорема доказана.
Следствие 9.1. Пусть
и
. Тогда для всех натуральных
классы
эквивалентны.
Следствие 9.2.
Пусть
и
. Если
то для любого фиксированного натурального
равномерно относительно
n
.
Рассмотрим теперь следующий вопрос. как связаны приближения функции
f с приближениями и дифференциальными свойствами её производных
f
(r)
?
Теорема 10.
Зададим натуральное число
r,
и пусть
(6.16)
где
(6.17)
Тогда
f имеет непрерывную производную
f
(r) и
(6.18)
С.Н.Бернштейн [3] доказал такую теорему: если ряд
сходится, то функция
f имеет непрерывную производную
f
(r)
. Рассмотрение этого доказательства С.Н.Бернштейна показывает, что на самом деле им установлено следующее, более общее предложение: пусть выполнены условия (6.16) и (6.17). Тогда функция
f имеет непрерывную производную
f
(r) и
равномерно относительно
x
. В ходе доказательства теоремы 10 мы вновь установим это предложение.
Доказательство.
при
. Поэтому
равномерно относительно
x
. Отсюда следует, что если {
n
k
} (
k
=0,1,2,...) есть возрастающая последовательность номеров, то
Зафиксируем натуральное число
n и положим
Тогда будем иметь
(6.19)
где
Докажем, что формулу (6.19) можно продифференцировать почленно
r
раз, т.е.
(6.20)
Для этого достаточно установить, что ряд справа равномерно сходится. Прежде всего, оценим
. Имеем
откуда
Оценим теперь
. По неравенству С.Н.Бернштейна,
Пользуясь этой оценкой, получаем:
Но
Поэтому
(6.21)
Итак, доказана сходимость ряда
, а вместе с этим установлена и формула (6.20). Из (6.20) и (6.21) вытекает, что
и теорема доказана.
В некоторых случаях оценка (6.18) может быть упрощена. Пусть, например,
(6.22)
Тогда
Поэтому при выполнении условия (6.22) вместо (6.18) можно написать
Следствие 10.1. Пусть
r
-натуральное число и сходится ряд
Тогда
(6.23)
Теорема 11. Пусть
r
-натуральное число и для функции
f
сходится ряд
Тогда для любого натурального
k и любого
(6.24)
Доказательство. Имеем
Отсюда, по лемме 10,
Далее, согласно теореме 10,
Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем
Заметим, что
Таким образом, если
, то
и теорема доказана.
§7. Основная теорема.
Обратимся теперь к рассмотрению следующего вопроса: каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы
где
-заданная невозрастающая функция?
Насколько нам известно, эта задача не была до сих пор решена даже для случая
. Мы решим её для функций сравнения
.
Лемма 11.
Пусть
и для некоторого натурального
(7.1)
Тогда существует такая константа
с
>0, что
(7.2)
Доказательство. Согласно (7.1), найдутся две такие константы
С
60
>0 и
C
61
>0, что
(7.3)
Последнее из этих неравенств, теорема 1 и теорема 3 влекут неравенство
(7.4)
В силу (2.1) и (2.2), имеем
Отсюда
Пользуясь (7.3) и (7.4), находим, далее
(7.5)
Вспомним теперь, что
. Это даёт нам для
Подставляя эту оценку в (7.5), получаем
(7.6)
Мы можем без ограничения общности считать, что здесь
. Положим в (7.6)
Тогда получим окончательно
и лемма доказана.
Основная теорема. Пусть
. Для того чтобы
(7.7)
необходимо, чтобы для всех натуральных
, и достаточно, чтобы для некоторого натурального
. (7.8)
Доказательство. Пусть имеет место (7.7), т.е. найдутся две положительные константы
С
67 и
С
68
, для которых
(7.9)
Тогда, по теореме 1 и в силу первой половины неравенства (7.9), для любого
k
имеем
т.е.
Отсюда, в силу
,
и если
, то, ввиду монотонности
и
,
Далее, из второй половины неравенства (7.9) и теоремы 9 вытекает существование константы
С
72 такой, что для любого
Этим заканчивается доказательство необходимости условия (7.8).
Пусть имеет место (7.8):
(7.10)
с
С
73
>0. Тогда по теореме 1 и в силу второй половины неравенства (6.10),
а по лемме 11,
где
С
77
>0.
Таким образом, установлена достаточность условия (7.8), и основная теорема полностью доказана.
Приведём в заключение обобщение леммы 11 на тот случай, когда оценки
сверху и снизу имеют разные порядки.
Теорема 12. Пусть
и
(7.11)
Тогда
(7.12)
Доказательство. Имеем, как при доказательстве леммы 11,
Положим здесь
Тогда получим, что
Теорема доказана.
§8. Решение задач.
Пример 1. Пусть
Тогда при каждом
Пример 2. Пусть график функции
f
(
x
) имеет вид, изображённый на рис.8.1. Тогда график функции
показан на рис.8.2.
Рис. 8.1. Рис. 8.2.
Пример 3.
Пусть при
и пусть
- периодическое продолжение функции
на всю ось.
Рис. 8.3.
Рис. 8.4.
Тогда если функцию
рассматривать на сегменте
длины
так, что (рис. 8.3)
то (рис. 8.4)
т.е. модуль непрерывности функции
в точке
не достигает своего наибольшего значения и, следовательно, отличается от модуля непрерывности этой функции на всей оси.
Пример 4. При
функция
является модулем непрерывности.
Пример 5
. При
функция
является модулем непрерывности.
Пример 6. При
имеем
так что при всех
будет
.
Литература.
Бернштейн С.Н. О свойствах однородных функциональных классов // Доклады Ак. Наук СССР,-1947.-№57.-с.111-114.
Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Доклады Ак. Наук СССР,-1949.-№65.-с.135-137.
Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени // Сообщ. Харьк. Матем. о-ва (2), -1912.-№13.-с.49-144.
Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Часть I,-М.-Л.,-1937.
Никольский С. Обобщение одного неравенства С.Н.Бернштейна // Доклады Ак. Наук СССР,-1948.-№65.-с.135-137.
Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций.-М.-Л.,-1934.
Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. -М.: Наука.-1977.-с.512.
Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Доклады Ак. Наук СССР,-1949.-№65.-с.135-137.
Тиман А.Ф. Теория приближения функций функций действительного переменного. -М.:ГИФМЛ,-1960.-с. 624.
Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимаций.-М.:ГИТТЛ,-1947.-324.
Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Математические заметки,-т.22.-1977.-№2.-с.231-243.
Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР-Математика,-1931.-№15.-с.219-242.
|
