Геометрическая прогрессия
Ставропольский Государственный Университет
РЕФЕРАТ
по теме:
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
работу
выполнил:
студент
Ставропольского
Государственного Университета
IV
курса, Физ-Мат Факультета,
отделения МИИТ,
гр. ”Б”
Неботов
Виталий Дмитриевич
Ставрополь 1997 г.
СОДЕРЖАНИЕ :
Стр.
1. Вступительное слово....................................................................................3
2. Определение геометрической
прогрессии..................................................3
3. Свойства геометрической
прогрессии.........................................................3
4. Сумма геометрической
прогрессии.............................................................4
5.
Заключение....................................................................................................5
6. Список использованной литературы............................................................6
Геометрическая прогрессия
играет большую и важную роль не только
в школьном курсе алгебры, но и (как я мог убедится) в дальнейшем
обучении в высших учебных заведениях. Важность этого на первый взгляд
небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких
областях применения, в частности он часто применяется в теории рядов,
рассматриваемой на II-III курсах университета. Поэтому мне кажется крайне
важным дать здесь полное описание этого курса, дабы внимательный читатель мог
повторить уже известный ему (надеюсь - прим. автора) из школьного
курса материал, или даже почерпнуть много нового и интересного.
Прежде всего необходимо дать
определение геометрической прогрессии, ибо не определившись о предмете
разговора невозможно продолжать сам разговор. Итак: числовая последовательность,
первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен
предшествующему члену, умноженному на одно и тоже не равное нулю число,
называется геометрической прогрессией.
Внесу некоторую ясность в
данное выше определение: во-первых, мы требуем от первого члена неравенства
нулю для того, что при умножении его на любое число мы в результате снова
получим ноль, для третьего члена опять ноль, и так далее. Получается
последовательность нулей, которая не попадает под данное выше определение
геометрической прогрессии и не будет являться предметом нашего дальнейшего
рассмотрения.
Во-вторых, число на которое
умножаются члены прогрессии опять же не должно быть равно нулю, по
вышеизложенным причинам.
В-третьих, предоставляю
возможность вдумчивому читателю самому найти ответ на вопрос, почему мы
умножаем все члены прогрессии на одно и тоже число, а не, скажем, на разные.
Ответ не так прост, как может показаться вначале.
Далее, из определения
геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к
предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1
= b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn
= ... . Это
число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается
буквой q.
Несколько слов необходимо
сказать и о способах задания геометрической прогрессии. Для того чтобы задать
геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый
член b1 и знаменатель q. Например, условиями b1 = 2, q = -5 (q < 0) задается геометрическая
прогрессия 2, -10, 50, -250, ... . Эта прогрессия не является ни возрастающей
ни убывающей последовательностью.
Следует заметить, что: последовательность
называется возрастающей (убывающей) если каждый последующий член
последовательности больше (меньше) предыдущего.
Таким образом, если q > 0 (q1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть,
например, b1 = -3, q = 4, тогда геометрическая
прогрессия -3, -12, -48, -192, ... есть монотонно убывающая последовательность.
Однако, если q = 1,
то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является
постоянной последовательностью.
Любая геометрическая
прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство
является следствием самого правила задания геометрической прогрессии:
последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и
только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее
геометрическое соседних с ним членов, т. е.
.
Пользуясь этим свойством можно находить любой член
геометрической прогрессии если известны два рядом стоящие.
Для нахождения n-ного
члена геометрической прогрессии есть еще одна формула. Для того чтобы найти любой
член геометрической прогрессии необходимо, чтобы она была задана, т. е. были
известны значения b1 и q:
.
Так как геометрическая
прогрессия это числовая последовательность, то мы можем найти ее сумму. Для
нахождения суммы геометрической прогрессии применяют следующую формулу:
Если в данную формулу подставить вместо bn его выражение в виде b1qn-1, то получим еще одну
формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии:
У геометрической прогрессии
есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической
прогрессии следует, что b1bn =
b2bn-1 = ..., т. е. произведение членов, равно отстоящих от
концов прогрессии, есть величина постоянная.
Наконец,
нельзя не коснуться такого важного с научной точки зрения понятия, как
бесконечной геометрической прогрессии при . Здесь наиболее важным понятием является понятие суммы
бесконечной геометрической прогрессии: пусть (xn)
- геометрическая
прогрессия со знаменателем q, где Суммой бесконечной
геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при .
Найти эту сумму можно по
следующей формуле:
Заканчивая описание
геометрической прогрессии хочется лишний раз повторить, что за видимой
простотой геометрической прогрессии скрывается большой прикладной потенциал
этого раздела алгебры.
Список
использованной литературы:
1. В. С.
Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс
алгебры и
начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г.
2. С. А.
Теляковский, Алгебра, учебник для 8 класса средней школы,
Москва,
Просвещение, 1987 г.
3. Личные заметки и наблюдения автора.
Понятие геометрической прогрессии прогрессии формула её общего члена и суммы. Неоконченная геометрическая прогрессия и ее сумма Москва Россия Москве. Практические задачи по математике на тему арифметическая прогрессия. Арифметическая и геометрическая последовательность в нашей жизни. Формулы для вычисления знаменателя геометрической прогрессии. Алгебра найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии. Практическое применение формулы геометрической прогрессии. Может ли в геометрической прогресии быть отрицательным. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Знаменатель возрастающей геометрической прогрессии. Задачи на возрастающую геометрическую прогрессию. Значение геометрической прогрессии в математике. Геометрическая прогрессия формула числа членов. Формулы ного члена геометрической прогрессии. Как знаменатель в геометрической прогрессии.
|
