Русская гимназия
КОНСПЕКТ
на тему:
Функция
Выполнил
ученик
10«Ф» класса Бурмистров
Сергей
Руководитель
учитель
Математики
Юлина
О.А.
Нижний Новгород
1997 год
Функция и её свойства
Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у,
соответствующее заданному значению х.
Область определения
функции- все значения, которые
принимает независимая переменная.
Область значений
функции (множество значений)-
все значения, которые принимает функция.
Функция является
четной- если для любого х из области определения функции
выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является
нечетной- если для любого х из области определения функции
выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая
функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2)
Убывающая функция- если для любых х1 и
х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)
Способы задания функции
·
Чтобы задать функцию, нужно
указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти
соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ
задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)-некоторое
выражение с переменной х.
В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
·
На практике часто
используется табличный способ
задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения
функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного
задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
Виды функций и их свойства
1)Постоянная
функция- функция, заданная формулой
у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая
через точку (0;b)
на оси ординат
2)Прямая
пропорциональность- функция, заданная
формулой у=kx, где к№0. Число k называется коэффициентом
пропорциональности.
Cвойства
функции y=kx:
1. Область определения функции- множество всех
действительных чисел
2. y=kx - нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Линейная
функция- функция, которая задана формулой y=kx+b,
где k
и
b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.
Свойства функции y=kx+b:
1. Область определения- множество всех действительных
чисел
2. Функция y=kx+b
общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0 функция
возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком
функции является прямая.
4)Обратная
пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k№0 Число
k называют коэффициентом
обратной пропорциональности.
Свойства функции y=k/x:
1. Область определения- множество всех действительных
чисел кроме нуля
2. y=k/x- нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+Ґ) и на промежутке (-Ґ;0).
Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-Ґ;0) и на промежутке (0;+Ґ).
Графиком
функции является гипербола.
5)Функция y=x2 Свойства
функции y=x2:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x2 - четная функция
3. На промежутке [0;+Ґ)
функция возрастает
4. На промежутке (-Ґ;0] функция убывает
Графиком
функции является парабола.
6)Функция y=x3
Свойства функции y=x3:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x3 -нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком
функции является кубическая парабола
7)Степенная
функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1
получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2;
y=x3. Их свойства рассмотрены
выше.
Пусть n-
произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1
тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются» к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В
этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная
функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1
получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае
функция y=x-n
обладает в основном теми же свойствами,
что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x-2:
1. Функция определена при всех x№0
2. y=x-2 - четная функция
3. Функция убывает на (0;+Ґ)
и возрастает на (-Ґ;0).
Теми же
свойствами обладают любые функции при четном n,
большем двух.
9)Функция y=Цх Свойства
функции y=Цх:
1. Область определения - луч [0;+Ґ).
2. Функция y=Цх - общего вида
3. Функция возрастает на луче [0;+Ґ).
10)Функция y=3Цх
Свойства функции y=3Цх:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. Функция y=3Цх нечетна.
3. Функция возрастает на всей числовой прямой.
11)Функция y=nЦх
При
четном n функция обладает теми же свойствами, что и
функция y=Цх. При нечетном n функция y=nЦх обладает теми же свойствами, что и функция y=3Цх.
12)Степенная
функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=xr:
1. Область определения- луч [0;+Ґ).
2. Функция общего вида
3. Функция возрастает на [0;+Ґ).
На
рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен между графиками функций y=x2
и y=x3,
заданных на промежутке [0;+Ґ).Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr, где r>1.
На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=xr , где 0<r<1
13)Степенная функция с
отрицательным дробным показателем-функция,
заданная формулой y=x-r,
где r- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=x-r:
1. Обл. определения -промежуток (0;+Ґ)
2. Функция общего вида
3. Функция убывает на (0;+Ґ)
14)Обратная функция
Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение f(x)=yo имеет относительно х
единственный корень, то говорят, что функция f обратима.
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и
областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная
функция определена и возрастает(убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график
функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой
y=x.
15)Сложная
функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.
Возьмем, к примеру, функцию y=x+4.
Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6.
Это и будет являться сложной функцией.
Дайте определения степенной функции опишите ее свойства изобразите график Докажите одно. Методическая разработка урока по теме Свойства числовых функций Способы задания функций. Конспект урока на тему Функция Область определения и область значений функции в классе. Открытый урок Функция Числовая функция область определения область значения класс. Конспект урока класс мордкович определение числовой функции Способы её задания. Область определения и область значения функции математика класс конспект урока. Презентация уроков алгебры класс по теме числовая функция и способы ее задания. Конспект урока алгебры класс определение числовой функции и способы ее задания. Функция Область определения область измерения функции способы задания функции. Конспект урока на тему функция область определения и область значений функции. Определение числовой функции и способы ее задания область определения функции. Функция область определения функции область значений способы задания функции. Функция одной переменной основные свойства характеристики и способы задания. Шпаргалки по математике определение числовой функции и способы её задания. Функция прямая пропорциональность область определения и область значения.
