Элементарные конформные отображения
ЕЛЕЦ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.
КУРСОВАЯ
РАБОТА
ПО
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Тема: «Элементарные конфортные
отображения»
Выполнила: студентка группы М-31
физико-математического факультета
Е.Г. Петренко
Научный руководитель:
О.А. Саввина
1998 г.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая
справка.
Пусть имеются два множества комплексных точек и . Если задан закон , ставящий в соответствие каждому точку (или точки) , то говорят, что на множестве задана функция комплексной переменной со значениями в множестве . Обозначают это следующим образом: . (Часто говорят также, что отображает множество в множество .)
Задание функции эквивалентно заданию
двух действительных функций и тогда , где , . Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной
переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые
из них.
1. - линейная функция.
Определена при всех . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость . Функция и обратная ей - однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный , растягивает (сжимает)
ее в раз и после этого
осуществляет параллельный сдвиг на величину . Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2. . Определена на всей комплексной плоскости, причем , . Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в
точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса,
переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3. - показательная
функция. По определению , т.е. , , . Из определения вытекают формулы Эйлера:
; ; ;
Определена
на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. периодична с периодом . Отображает каждую полосу, параллельную оси , шириной в плоскости в полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие: ,
4. - логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению: . Выражение называется
главным значением , так что . Определен для всех комплексных чисел, кроме . - бесконечно-значная
функция, обратная к . ,
5. - общая показательная функция. По определению, . Определена для всех , ее главное значение , бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции ;;; По определению, ; ;
;
7.
Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями
действительной переменной, а именно:
,
Определены и непрерывны на всей комплексной
плоскости.
Задачи с
решением.
1)
Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: , , , ,
Решение. По определению,
,, ; если , то очевидно, , ,
, ,
, , ,
, , ,
Найти суммы:
1)
2)
Решение. Пусть: , а
. Умножим вторую строчку на , сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера,
получим:
;
Преобразуя, получим:
,
3. Доказать, что:
1) 2)
3) 4)
Доказательство:
1) По определению,
2)
3) ;
Выразить
через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента
действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ;
Решение: и, учитывая результаты
предыдущего примера, получим:
, , ,
Напомним,
что
2)
, ,
3)
, ,
, .
Найти действительные и мнимые части следующих
значений функций: ; ;
Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
; ; ; ;
;
Вычислить:
1) ; 3) ; 5) ;
2) ; 4) ; 6) ;
Решение. По определению, ,
1), , ,
2) , , ,
3) , , ,
4), , ,
5), , ,
6), , ,
Найти все значения следующих степеней:
1) ; 2) ; 3) ; 4);
Решение. Выражение для любых комплексных
и определяются формулой
1)
2)
3)
4) .
8.
Доказать следующие равенства:
1) ;
2) ;
3)
Доказательство: 1) , если , или , откуда , или .
Решив
это уравнение, получим , т.е. и
2) , если , откуда , или , следовательно,
,
3) , если , откуда , или
.
Отсюда , следовательно,
Конформное отображение Функция Жуковского Характер отображения с помощью функций и Примеры. Фенхель введение в практику конформных отображений связанные с элементарными функциями. Элементарные функции комплексного переменного и даваемые ими конформные отображения. Отображение множества курсовая с графическим отображением Отображение множества. Конформное отображение осуществляемое показательной функцией и его свойства. Свойства логарифмической функции комплексного переменного и её отображение. Введение к курсовой работе элементарные функции комплексного переменного. Аналитическую функцию осуществляющую конформное отображение единичного. Конформные отображения элементарных функций комплексного переменного. Конформные отображения осуществляемые элементарными функциями. Решение задач Конформные отображения элементарными функциями. Конформное отображение корень конформное отображение корень. Конформное отображение тригонометрических функций привалов. Конформные отображения примеры тригонометрические функции. Конформное отображение даваемые элементарными функциями.
|
