Двойной интеграл в полярных координатах
Двойной интеграл в полярных
координатах
Пусть в двойном
интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f,
полагая
x
= r cos j, y = r sin
j. (2)
Область интегрирования S
разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных
линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
Drj = rj+1 - rj,
Dji = ji+1 - ji
Так как окружность
перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно
малых высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать
как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому
площадь каждой такой ячейки будет равна:
DSi = rj Dji Drj (3)
Что касается ячеек DSij неправильной формы,
примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на
значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной
суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к
слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка
малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'),
получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек
DSij и сумма распространена на все ячейки
указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины
ji и rj суть числа и их можно рассматривать как
прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной
суммой для функции
f(r cosj, r sinj)r,
соответствующая
прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4)
и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r dj dr
называется двумерным элементом
площади в полярных координатах. Итак, чтобы
в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо
элемента площади dS
подставить выражение (7).
Для вычисления
двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область
интегрирования S определяется неравенствами
Где r1(j), r1(j) -
однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис
2).
Имеем
(8)
Где
F(r,j) = rf(r cosj, r sinj)
Пример 1.
Переходя к полярным
координатам j и r,
вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга
радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу
(6),
получим
Область S определена
Неравенствами
Поэтому на основании
формулы (8) имеем
Пример 2.
В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область
интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис
4).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: j=0,
j=p/4, r cosj=1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
Отсюда на основании
формул
(6) и(8), учитывая, что
имеем
Краснодарский Колледж Электронного
Приборостроения
РЕФЕРАТ
Выполнил студент
группы
60-5ЭВТ
Немцев Михаил
Краснодар
1998г.
Двойной интеграл в полярных координатах примеры двойной интеграл в полярных координатах. Полярные координаты вычисление площади в полярных координатах в определенных интегралах. Расчитать при помощи двойного интеграла площадь фигуры в полярных координатах. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры. Математика методичка двойной интеграл в полярных координатах площадь фигуры. Как вычислить двойной интеграл в полярных координатах Москва Россия Москве. Повторный интеграл в полярных координатах для заданной области имеет вид. Переход в двойных интегралах от декартовой системы координат к полярной. Схема перехода в двойном интеграле от декартовых координат к полярным. Вычислить двойной интеграл с помощью перехода к полярным координатам. Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольных координатах. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных и полярных координатах. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПЛОЩАДЕЙ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ. Пример вычисления площади фигуры переходя к полярным координатам.
|
