Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos j , y = r sin j . (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки D S
i с помощью координатных линий r = r
i (окружности) и j = j
i (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
D r
j = r
j+1 - r
j
,
D j
i = j
i+1 - j
i
Так как окружность перпендикулярна
(ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки D S
i
с точностью до бесконечно малых
высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями r
jD j i и D r
j
; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
D S
i = r
j D j i D
r
j (3)
Что касается ячеек D S
ij
неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки M
ij $ S
ij для простоты выберем вершину ячейки D S
ij с полярными координатами r
j и j
i
. Тогда декартовые координаты точки M
ij равны:
x
ij = r
j cos j
i
, y
ij = r
j sin j
i
.
И следовательно,
f(x
ij
,y
ij
) = f(r
j cos j
i
, r
j sin j
i
) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'),
получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек D S
ij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины j
i и r
j суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Oj
r
. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cosj , r sinj )r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами D j
i и D r
i
. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r dj dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
Где r
1
(j ), r
1
(j ) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a ,b ]. (рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,j ) = rf(r cosj , r sinj )
Пример 1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6),
получим
Область S определена
Неравенствами
Поэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.
В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: j =0, j =p /4, r cosj =1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями заданными уравнениями в полярных координатах. Пример нахождения с помощью двойных интегралов площадь плоской фигуры ограниченной линиями. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь плоской фигуры. Вычислить площадь фигуры ограниченнойлиниями заданныи вполярной системе координат. Вычисление площади фигуры расположенной в первой четверти ограниченной линиями. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры. Вычисление площади фигуры ограниченной линиями в полярной системе координат. Вычисление площади фигуры ограниченной линиями с помощью двойного интеграла. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями с помощью двойного интеграла. Вычислить с помощью двойного интеграла площадьобласти ограниченной линиями. С помощью двойных интегралов площадь плоской фигуры ограниченной линиями. Нахождение площади с помощью двойного интеграла в полярных координатах. Решение вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах. Вычисление площад с помощью двойного интеграла в полярных координатах. Вычислить площадь фигуры ограниченной линией в полярных координатах.
