Цилинд и конус
Цилиндр
Цилиндром называется
тело, которое состоит из 2 кругов,
совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, сое-
диняющих соотв. точки этих кругов. Круги называются осно-
ванием цилиндра, а отрезки - образующими цилиндра. Также,
как и для призмы доказывается, что основания циллиндра
равны и лежат в параллельных плоскостях, образующие пара-
ллельны и равны.
Цилиндр называется
прямым, если его образующие перпенди-
кулярны плоскостям оснований. Радиусом ц. называется рад-
иус его основания. Высота - расстояние между плоскостями
оснований. Ось - прямая, проходящая через центры основан.
Сечение ц. плоскостью, проходящей через ось ц. - осевое
сечение.
Теорема 19.1.
Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра,
пересекает его боковую поверхность по окружности, равной
окружности основания.
Докозательство.
Пусть б - плоскость, перпендикулярная
оси цилиндра. Эта плоскость || основаиям. Параллельный
перенос в направлении оси ц., совмещающий плоскость б с
плоскостью основания ц., совмещает сечение б.п плоскостью
б с окружностью основания. Ч.Т.Д.
Призмой, вписанной в
цилиндр, называется такая п., осно-
вания которой - равные многоугольники, вписанные в основа-
ние ц. Призма называется описанной около ц., если ее осно-
вания - равные многоугольники, описанные около основания
ц.
Конус
К. называется тело, которое состоит из круга - основания
к., точки не лежащей в плоскости этого круга, -
вершины
конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точ-
ками основания. Отрезки, соединяющие вершину к. с точками
окружности основания,
называются образующими конуса.
К.
называется прямым,
если прямая соеденяющая вершину к.
с
центром основания,
перпендикулярна плоскости
основания.
Высотой к.
называется перпендикуляр,
опущенный из его
вершины на плоскость основания. Осью прямого конуса назы-
вается прямая,
содержащая его высоту. Сечение
к. плос-
костью, проходящей через его ось, называется осевым сече-
нием. Плоскость, проходящая через образующую к. и перпен-
дикулярная осевому сечению,
проведенному через эту обра-
зующую, называется касательной плоскостью конуса.
Теорема 19.2. Плоскость, перпендикулярная оси конуса,
пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по ок-
ружности, с центром на оси конуса.
Док-во. Пусть б -
плоскость, перпендикулярная оси конуса
и пересекающая
к. Преобразование гомотетии
относительно
вершины к.,
совмещающее плоскость б с плоскостью основа-
ния, совмещает сечение к. плоскостью б с основанием к.
Следовательно, сечение к. плоскостью есть круг, а сечение
б.п. - окружность с центром на оси конуса.
Плоскость,
перпендикулярная оси конуса, отсекает он него
меньший к. Оставшаяся часть называется усеченным к. Ч.Т.Д
Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида,
основание которой есть многоугольник, вписанный в окруж-
ность основания конуса, а вершиной является вершина кону-
са. Пирамида
называется описанной около конуса,
если ее
основанием является многоугольник, описанный около осно-
вания к., а вершина совпадает с вершиной к.
|
