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 • 
 • 
 • 
 • 





’ ˲Ͳ
в.


Ax=f T (1)
A - m*m, x = ( x1, x2 , ... ,xm ) - ,

f =(f1, f2, ... , fm) - .
,
, .
, (1)
*. m
, m! a . , , **, .
(1) :
-
;
-
.
( )
x (1) .

(1)
.
( ) , x (1)
n- . ,
.
______________________
* (1704-1752)-
.
**
(1777-1855)- , , , ,
.

Ġ .
(1) :
11x1+a12x2+...+a1mxm=f1 ,
a21x1+a22x2+...+a2mxm =f2 , (2)

......................................
am1x1+am2x2+...+ammxm =fm .


(2) x1, x2, ..., xm-1 .
, a110 .
a11,
x1+c12x2 +...+c1m xm =y1
, (3)

: c1j=a1j /a11 ; j=2,m ; y1=f1/a11 .
(2),

ai1x1+ai2x2+...+aimxm=fi ; i= 2,m
. (4)
(3) ai1 - (4), i=2,m.

:
x1+c12x2+...+c1jxj+...+c1mxm =y1 ,

(1) (1) (1) (1)
a22x2+... +a2jxj+...+a2mxm=f2 ,

............................................ (5)
(1) (1) (1) (1)
am2x2+...+amjxj+...+ammxm=fm .
T :
(1) (1)
aij=aij-c1jai1;
fi=fi -y1ai1; i,j=2,m . (6)
(5)
:
.

:

.
쳠 (5)
,
:
(1) (1) (1)
(1)
a22x2 +...+a2jxj +...+a2mxm =f2 ,
.............................................. (7)
(1) (1) (1) (1)
am2x2 +...+amjxj +...+ammxm =fm .

. , (7)
x2 , (2), :

(5)
.
3,
4 ,... ,x m-1 ,
:
x1 +c12x2 +...+c1,m-1xm-1+c1mxm =y1,
x2 +...+c2,m-1xm-1+c2mxm =y2 ,
................................

xm-1+cm-1,mxm=ym-1,
xm=ym ,
쳠 (2) .




.
. ,
, .

(8)
. i 1, ... ,m (8).
, , m, . ij, xm=ym,
x m-1 =ym-1 -cm-1,m x m i . .

:
m
xi =yi - å cijxj ;
i=m-1,1; xm =ym . (10)
j=i+1

̠
x1 ,x2 ,... ,xm.
,
(9),
.

.

-1 ,

x1 , x2,..., xk-1 .

:
x1+c12 x2 +...+c1,k-1xk-1+ c1kxk+....+c1mxm =y1 ,
x2 +...+c2,k-1xk-1+ c2kxk+....+c2mxm =y2 ,

..............................................
xk-1+ck-1,kxk+...+ck-1,mxm=yk-1 ,
(11)

(k-1) (k-1) (k-1)
akkxk+...+akmxm =fk ,

............................

(k-1) (k-1) (k-1)
amkxk+...+ammxm =fm .
-
:


(k-1) (k-1)
(k-1)
akkxk+...+akmxm=fk
,

, .
ࠠ ,

xk+ck,k+1xk+1+...+ckmxm=yk
, (12)
(k-1) (k-1) (k-1) (k-1)
ckj=akj / akk ; j=k+1,m ;
yk=fk /
akk .


(12)
i- (11).
(11) :

x k+ck,k+1xk+1 +...+ ckmxm=yk,

(k) (k) (k)
ak+1,k+1xk+1+...+ ak+1,mxm=fk+1,
.......................................

(k) (k) (k)
am,k+1xk+1+... + ammxm=fm ,

(k)
(k-1) (k-1) (k) (k-1) (k-1)
: aij =aij - aikckj ;
i,j=k+1,m ; fi= fi - aikyk ;
i=k+1,m .
,


(0)
akj =akj ;
k,j=1,m ;

(k-1) (k-1)
ckj=akj /akk ; j=k+1,m ; k=1,m ; (13)

(k) (k-1) (k-1)
aij =aij - aikckj ;
i,j=k+1,m ; k=1,m . (14)

(8) :
(0) (k-1) (k-1)
fk=fk ; yk = fk / akk ;
k=1,m ; (15)
(k)
(k-1) (k-1)
fi = fi
- aikyk ;
k=1,m .
(16)
cij
yi ;
i=1,m ; j=i+1,m

(10).
, , , .
- . , ,
, .
,
, (
- xk,
xj , ) .

, .

,
.
,
, .
1. (13) :
(m-k)=1+2+...+(m-1)= .
2. ⠠ (14)


(
).
, Ѡ
󺠠

.
3. yk (15) m
, (16)

. ,
(8)


.



.
4.
(10)

.
,

, . m


(2) m 100.
Š .


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,

. (),
.
() .
,
(, )




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,













(1)
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(2)
.
,


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(3)
.

(1)-(3) .

,

(1)-(3).


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1.
,

.


-


.

.
2.
1.,
,

(4)
2. ,
(5)
3. ,
(6) .

(4).

(7)

(7) ⠠

1



(6).
(5) (
).
(4)-(6)
.

(1)-(3) ,
(4)-(6):

, (1)
( ),
(2) (3)
( ). ,
(1)
( ), (2) (3) .


.
.
,
󠠠

(8)
,
(5), (6),
(9)
堠 - .
(2), (3) ( )
(5), (6), (8), (9)

:

(12)


(13)
- (2), (3) ꠠ
蠠 , (9),

(13).

.

, .. +,


, (1)

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-
m , -
- .

, (1) ,
, (2)
- . ,
ïîëó÷àåòñÿ m .



m- .



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(2) ( ) .
,

, ,
, ,

.
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. m
,
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, - ,
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, .
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, ,


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. -




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l - (k-1 )-
l- ( k-1)-
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..
, ..
, ý򠠠
, , .


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, 蠠
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,
,
,
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, åñòü .
,
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,
, .. ,
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. ,

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,

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S ,


, - ,


Íàéäåì
ñîáñòâåííûé

,
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,




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..

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, 
Â
ñîîòâåòñòâèè
ñ òåîðåìîé
ñîáñòâåííûì
âåêòîðîì
ìàòðèöû
, .
ÍÀÁËÈÆÅÍÍß
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ֲ.

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,
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( ),
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,
(2)
,
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, n- .

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(3)

(4)
,
(4) ,

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³
,
³
,


,
.
,
,

(4).
,
(3) . .

,
(3).
.

(2).
,
, (3).
.

(5)
.
. .
n=1
(6)
, (6) ,
,
n=2

, n
(7)

(8)

(8) n. (7)

n . 

( ) (8) 蠠 .
,
(7)
( ) .

ֲ .


(9)
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. f ,
,
.
, - , -,

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(10)
.
,
,
(11)
(12)

.
.

(13)
,
,


(14)

(1), (9), (10), (13)




n . .
, (14),
,

,

, (13), (9) (11), (12).
(12)
:
(15)

:
(16)



.

.
- ,
- , -





, ,


,



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,
 


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,
, ,

, ( )

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, ,
,
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. ,

,
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ʲͲ IJͲ вֲ.
. - ,
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, n-

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1. ,
,
. (4)
. n=1

(1)

.
(2)

(5)
堠 .
,

(6)
堠 . (5), (6)


.

.
1.
-
- , , .

. 1, ,
(3), ,
, ,


.
,  , , , n+1 
.

. - () , .
.

(7)

(
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(8)

.

-
-

(9)


2.
-


.
.

򳠠 (8).
(9)


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2 , .


0 .
3. 
-
- :
. (12)
. =1 (12) (1),
(7).
. ,
(3)
,
(9)
(12).
4. - ,

.

. (13)
. ,
, (13) 1, 3.

. ³
-



,
, (13).
4. - - ,
.

.
.
.
- ,
.
1. -
,
(2)
. , (
), 󠠠 (1)
- .
(2) .
 ,
n=1 (2) .
(2) .
(2) .
(2)
.
(1)
.

,

.
, ,



.
. .
(1)
, .

.
.

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,


(1)



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,
,堠 ,
(4)

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(4)
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, , ࠠ
, .
- .

(1), ࠠ
,
,
䠠 , . , . ,
(1), , , , .

(3),
(4), .

, (3) ,
,

(4)

- , - ,
.
, , , , ,
(3)

, .
(4) .
.
1. .
,
Ax=f (1)
, -
.
, .
,
, ,
. ,
, .. . ,
,
.



(2)
, . . , (2)

(3)

(3) .

.
,
.

. , . (2)



. ,
,
.

,

.
2.
. ,


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,
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1.

,
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2.
,
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,



,
.
1) (
, )
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2)
- l-é
ñòðîê.
3)
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.


:
(4)

(1),
(5)


.

(6)

(6)
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..
(4)


,
(6) .
(7)


(7)
(8)


(9)

(9) .


(10)

, (10)
(9)

(11)



.
(12)

(12) (8) -


(11) .
(11)




(13)

(14)


(14)

(13)


,



(15)

(16)

.

, (16)
.

, (16)

PA=LU,
(17)
L - ,
, P -
.


(18)

2) ,


3)

.. - , .
(18),
,
(19)
(16) ,


. -
L- , (17) .
,
, , .. ,
.
3.
. , ,
(1).
,

(20)
- ,
- .
,
, (19), ,
,
PAx=Pf, (21)
-
.


.

1. -
,
-
.

.4.
. -
,

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L-
U- .
(1)
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4.
1. m - .
m=2,
..


=, -
. , , ..

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m-1.
, . m.
m





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.




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, . .. , m-1
,
- . ,
,
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l m, , m-1


(23) . ,
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. , ,

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,
-, , , -, .
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, .
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. (4)

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, ,
,

, 젠
..
,

(4) . ,
:
,
. (5)-
(7) ,

(7) :

.



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(8)
, (5)

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(9)
(9)
. ,
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, ,
, )-) ,

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(2) .

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. ,
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, .. ,
, ,

.
, .. (3) .

(4)



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- ,


, (3),
- (5)


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(6)
.

(7)
..
,
.
, .. (7).
- (4),
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(8)
(9)
(8)
(10)
(9)
(10), ,

,

.
*

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,

, ,




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(11) , (12) ,
(13) .
,


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(14)

. ,
,
,




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,
(15)
- (4).




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..
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(16) 1 , ,
(17)
.
, (16), (17)

(18) ..

.
(3),
(7) (15) .

.
,
(1) ,
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, .
.

,
- .
.




(3)
(19)

. (6)
(20) .

(19)
:
(21)

(20) ,
-
, :
(22) àíàëîãè÷íî
,
(7), (14)
(23)


(24)
.
, ,
(15)
:



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,  , :
(26)



(27)

(28)



(29)
(30)


, , .
(22), (24), (26) ,
(29)
, .. , (30)
(
). (29) ( ,
),

.
, (29).

(1) (22), (26)
(31)
(32)
.
.
, ,
(22), :
(33)
.

.



(31)-(33)



. , ,
(29)
(1), (22), (24)
.


..

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,
(2)
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, (3)
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, .

(3)
, (4)
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,
,
, ,
, a . ϳ (2),


. (5)
(5)
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, -
.
.
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.
(6)
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, (6)- (7)- . ,
A=BC
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,

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,
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, ,
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L-
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.
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,


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, .

. ,
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- ,

. (9)
, (10)
- .

(10) , (9),

; (11)
; (12)
; (13)

;. (11) (12)
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,,
(13)
.

,- . (10) ,
.

, , .
.

, . ,
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i . (14)

(14) , -
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( ) ,
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; , (8) . .
,
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,
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, (15)
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, (16)
.
, (16)



(17)
, . (16)
.
(17)
, .

(16)
,
, (18)
.

,
.


,
, (19)
.

, (18) (19)
(18)
. (20)

,
, (21)

(17),
(20).
,
(21)


, (22)


.
, , A=LU, -
.

, -
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, .³,
; ; ;
.

.
(22)
.

(2).


, (23)
-
.

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1. .
,
Ax=f (1)
, -
.
, .

, , ,
. ,
, .. . ,
,
.



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(3)

(3) .

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,
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. , . (2)



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,
.

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2.
. ,


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1.

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2.
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,



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1) (
, )
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2)
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3)
- l-
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(5)


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(6)

(6)
(7)
..
(4)


,
(6) .
(7)


(7)
(8)


(9)

(9) .


(10)

, (10)
(9)

(11)



.
(12)

(12) (8) -


(11) .
(11)




(13)

(14)


(14)

(13)


,



(15)


(16)

.

, (16)
.

, (16)

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(17)
L - ,
, P -
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(18)

2) ,
3)
.. - , .
(18),
,
(19)
(16) ,


. -
L- , (17) .
,
, , .. ,
.
3.
. , ,
(1).
,

(20)
- ,
- .
,
, (19), ,
,
PAx=Pf, (21)
-
.


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1. -
,
-
.

.4.
. -
,

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L-
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4.
1. m - .
m=2,
..


=, -
. , , ..

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, . m.
m





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m-1 ,
.




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, . .. , m-1
,
- . ,
,
.

l m, , m-1


(23) . ,
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,
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(2) :

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(3)
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, (7)


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-
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(8)




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. (1)


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ֲͲ Ƞ
’ߠ
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(4);
(5);

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,
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: (2) .
(3) (2)

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(1) (2). (1)
, (7)


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,
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(n+1)- , - n- :


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