Билеты по аналитической геометрии
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а1, а2,
а3,…,ал (1) одной размерности.
Определение: система векторов (1) называется
линейно-независимой, если равенство a1а1+a2а2+…+aлал=0 (2)
выполняется лишь в том случае, когда все числа a1, a2,…, aл=0 и ÎR
Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой,
если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном ai¹0 (i=1,…,k)
Свойства
1.
Если
система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
2.
Если
система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет
линейно-зависимой.
3.
Если
система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно
независимой.
4.
Если
система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией
других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.
Определение: два вектора называются коллинеарными, если они
лежат на параллельных прямых.
Определение: три вектора называются компланарными, если они
лежат в параллельных плоскостях.
Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а¹0 и эти векторы коллинеарны,
то найдется такое действительное число g, что b=ga.
Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы
необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.
Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=ga. Будем считать, что а,b¹0 (если нет, то система
линейно-зависима по 1 свойству). 1b-ga=0. Т.к. коэфф. При b¹0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и
b линейно-зависимы. aа+bb=0, a¹0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.
Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и
достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c – линейно-зависимы.
Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство:
т.к. векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g¹0. с= - a/g*а - b/g*b.
с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной
плоскости.
БАЗИС
СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Определение: пусть задана некоторая
система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность
линейно-независимых векторов системы.
В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.
В качестве базиса множества векторов на плоскости
можно взять произвольную пару.
В множестве векторов в трехмерном пространстве базис
состоит из трех некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная (декартова) система координат на
плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим
началом и одинаковой масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в
пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей
точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: скалярным произведением двух векторов называется
произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.
(а,b)=|a|
|b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е
=0; u>90, пр-е отриц.
Свойства:
1.
(а,b)= (b,а)
2.
(aа,b)= a (а,b)
3.
(а+b,с)=
(а,с)+ (b,с)
4.
(а,а)=|a|2 – скал.квадрат.
Определение: два вектора называются ортоганальными, когда
скалярное пр-е равно 0.
Определение: вектор называется нормированным, если его
скал.кв.равен 1.
Определение: базис множества векторов называется
ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор
нормирован.
Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в
ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений
соответствующих координат.
Найдем формулу угла между векторами по определению
скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым
[a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:
1. [a,b]= - [b,a]
2.
[aа,b]= a [а,b]
3.
[a+b,c]=[a,c]+[b,c]
4.
[a,a]=0
Теорема: Длина векторного произведения векторов равна
площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого
требования определения векторного произведения.
Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в
ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю
третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй –
координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.
Определение: ортой
вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с
вектором а. ea=a/|a|
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3.
Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6.
Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр.
8. Пучок пр. 9.Угол между пр.
1.
Ах+By+C=0 (1),
где A, B одновр.не равны нулю.
Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной
ур-ем (1).
Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1)
и получим Ах0+By0+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’)
получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A,B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном равенстве записано скалярное
произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т.о. n
ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным
вектором прямой.
Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0
и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же прямую, тогда
найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и т.д.
Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0,
то ур-е называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)
2. С=0, А=0, By=0, значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0
4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ
5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY
2.
x/a+y/b=1.
Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b
3.
x-x1/e=y-y1/m
Пусть на прямой задана точка и напр. вектор
прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой
произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)
4. x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2).
Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1;
y2-y1)
5.
y=kb+b.
u – угол наклона прямой. Tg угла
наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg
u
Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем
угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1)
при y1-kx1=b, y=kx+b
6.
xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным
напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть
М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ.
Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р.
2. ОМ*n=cosqx+sinqy.
Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения
определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее
ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0,
t-нормирующий
множитель.
7. Система: x=et+x1
и y=mt+y1
НОРМАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до
прямой.
1. xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным
напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть
М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ.
Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р.
2. ОМ*n=cosqx+sinqy.
Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения
определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее
ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0,
t-нормирующий
множитель.
2. Обозначим d – расстояние от точки до
прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по
разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по
одну сторону.
Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinq-P=0 и М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1
= x1cosq+y1sinq-P=0
Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cosq+y0sinq-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)
ГИПЕРБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых
до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная
Каноническое уравнение:
Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ
на одинаковом расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c, М – произвольная точка
гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до фокусов;
|r2-r1|=2a; a<c;
,
x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)
x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)
c2-a2=b2
x2b2-a2y2=a2b2
- каноническое ур-е гиперболы
ПАРАБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до
фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до
фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.
Каноническое уравнение:
Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а
директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на
одинаковом расстоянии от начала координат.
|DF|=p, М – произвольная точка
параболы; К – точка на директрисе; МF=r;
MK=d;
r=sqrt((x-p/2)2+y2);
d=p/2+x
Приравниваем и получаем:
y2=2px - каноническое уравнение параболы
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.
1. Определение: эксцентриситет – величина
равная отношению с к а.
е=с/а
е эллипсв <1 (т.к. а>c)
е гиперболы >1
(т.к. с>a)
Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0,
е=0.
Выразим эксцентриситеты через а и b:
е эллипса является мерой его «вытянутости»
е гиперболы характеризует угол раствора между
асимптотами
2. Директрисой D эллипса (гиперболы),
соответствующей фокусу F, называется прямая
расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на
расстоянии а/е>a (а/е<a)
D1: x= -
a/e
D2: x= a/e
р=а(1-е2)/е
для эллипса
р=а(е2-1)/е
для гиперболы
ТЕОРЕМА
ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса
(гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина
постоянная равная е эллипса (гиперболы).
Доказательство: для эллипса.
r1/d1=e
x£|a|, xe+a>0
r1=xe+a
d1 – расстояние от М(x,y) до
прямой D1
xcos180+ysin180-p=0
x=-p
x=-a/e
бм=-x-a/e
d1=-бм (минус,
т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)
Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых
до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная
и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1,
параболу, если =1.
ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь
гиперболы.
Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс
полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на
которой находится фокус.
r= r
d=p+rcosj
e=r/p+rcosj
- полярное уравнение эллипса,
параболы и правой ветви гиперболы.
КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем
уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит
справедливо:
у-у0=y’(x0)(x-x0)
Рассмотрим касательную к кривой следовательно
ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0
- уравнение касательной к
эллипсу.
- уравнение
касательной к гиперболе.
- уравнение
касательной к параболе.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА
ПЛОСКОСТИ.
Преобразование на плоскости есть применение
преобразований параллельного переноса и поворота.
Пусть две прямоугольные системы координат имеют
общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов
двумя способами:
(е1;е1’)=cos
u
(е1;е2’)=cos
(90+u)= -sin u
(е2;е1’)=cos
(90-u)=sin u
(е2;е2’)=cos
u
Базис рассматривается ортонормированный:
(е1;е1’)=(е1,
a11е1+a12е2)= a11
(е1;е2’)=
(е1, a21е1+a22е2)= a21
(е2;е1’)= a12
(е2;е2’)= a22
Приравниваем:
a11=cos u
a21= - sin u
a12=sin u
a22=cos u
Получаем:
x=a+x’cos u – y’sin u
y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.
------------
x=a+x’
y=b+y’ - формулы параллельного переноса
ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка
относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от
коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы
координат.
Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка
относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3
Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины
остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.
Определение:
I2>0 – элиптический тип
I2<0 – гиперболический тип
I2=0 – параболический тип
ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).
Параллельный перенос:
Параллельно перенесем систему XOY на
вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’
преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:
a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2)
точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0.
Получается система a11x0+a12y0+a13=0
и a12x0+a22y0+a23=0
Покажем, что новое
начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0,
f(-x’;-y’)= f(x’;y’)
Но точка О’ существует если знаменатели
у x0 и y0
отличны от
нуля.
Точка O’ – единственная точка.
Центр симметрии кривой существует если I2¹0 т.е.
центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа
Поворот:
Пусть система XOY повернута на угол u. В
новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0.
a12’= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0
(разделим на sin2u),
получим:
, после такого преобразования уравнение принимает вид
a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0
(3)
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2>0 и пусть I1>0 следовательно уравнение (1)
определяет: 1. I3<0 – эллипс; 2. I3=0 – точка; 3. I3>0 – ур-е (1) не определяет. Если
I3=0 говорят, что эллипс вырождается в
точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после
ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).
Доказательство:
1. пусть I2>0,
I1>0, I3<0, тогда
а11’’x’’2+a22’’
y’’2= -I3/I2
I2=a11’’a22’’
> 0
I1= a11’’+a22’’
> 0
a11’’ >
0; a22’’ > 0
Итак, под корнями стоят положительные числа,
следовательно, уравнение эллипса.
2. I3>0 в данном
случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не
определяет действительного геометрического образа.
3. I3=0 в
данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию
гиперболического типа. Т.е. I2<0, I3¹0 - ур-е
(1) определяет гиперболу; I3=0 – пару пересекающихся прямых.
Доказательство: I2<0; I2=
a11’’a22’’ < 0. Пусть a11’’>0;
a22’’<0
Пусть I3>0
В данном случае мы
имеем гиперболу с действительной осью ОХ.
Пусть I3<0
-(-а11’’)x’’2+a22’’
y’’2= -I3/I2
В этом случае мы имеем гиперболу с действительной
осью ОY
Пусть I3=0
а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть крива второго порядка задана уравнением (1).
Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)=
a11x2+2a12xy+a22y2
Определение: ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль
квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной
кривой.
(a, b) – вектор асимптотического направления.
a11a2+2a12ab+a22b2=0 (*)
Рассмотрим (a’, b’)
параллельный (a, b): следовательно . Дробь a/b характеризует вектор асимптотического направления.
Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют
кривые 2-го порядка.
Решение: положим, что b¹0 и поделим на b2, получим: a11(a/b)2+2a12a/b+a22=0 из этого квадратного уравнения найдем a/b.
т.к. у линий гиперболического и параболического типов I2£0, то
они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0
следовательно
таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).
Найдем асимптотические направления у гиперболы:
(a, b)1=(a,b)
(a, b)2=(-a,b)
Векторы асимптотического направления являются
направляющими векторами для асимптот.
Итак: гипербола имеет два асимптотических
направления, которые определяются асимптотами гиперболы.
Найдем асимптотические направления у параболы:
y2=2px
y2-2px=0
u(x,y)= y2+0,
y=0
(a, b)=(0,0)
Итак: вектор асимптотического направления параболы
лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления
пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет
одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
Пусть задано трехмерное пространство.
Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается
уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C¹0 одновреенно.
Справедлива и обратная теорема.
Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости,
задаваемой общим уравнением.
Вектор n – нормальный вектор
плоскости.
2. Уравнение плоскости в отрезках:
3. Уравнение плоскости, определенной нормальным
вектором и точкой.
Пусть n(A,B,C) и М(x0;y0;z0). Запишем ур-е пл-ти:
Ax+By+Cz+D=0
Ax0+By0+Cz0=-D
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
5.
Уравнение
плоскости ч/з 3 точки.
Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.
М1(x1;y1;z1);
М2(x2;y2;z2); М3(x3;y3;z3)
Пусть М(x;y;z)
произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы
компланарны.
М1М x-x1 y-y1 z-z1
М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0
М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1
6.
Параметрическое
ур-е плоскости.
Пусть плоскость определена точкой и парой
некомпланарных векторов. V(V1;V2;V3);
U(U1;U2;U3); M0(x0;y0;z0),
тогда плостость
имеет вид: система: x=x0+V1t+U1s и y=y0+V2t+U2s и z=z0+V3t+U3s
РАССТОЯНИЕ
ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.
Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0)
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости:
A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0, поэтому n1(A1;B1;C1);
n2(A2;B2;C2). Отыскание угла между плоскостями
сводится к отысканию его между нормальными векторами.
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а1, а2,
а3,…,ал (1) одной размерности.
Определение: система векторов (1) называется
линейно-независимой, если равенство a1а1+a2а2+…+aлал=0 (2)
выполняется лишь в том случае, когда все числа a1, a2,…, aл=0 и ÎR
Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой,
если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном ai¹0 (i=1,…,k)
Свойства
1.
Если
система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
2.
Если
система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет
линейно-зависимой.
3.
Если
система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно
независимой.
4.
Если
система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией
других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.
Определение: два вектора называются коллинеарными, если они
лежат на параллельных прямых.
Определение: три вектора называются компланарными, если они
лежат в параллельных плоскостях.
Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а¹0 и эти векторы коллинеарны,
то найдется такое действительное число g, что b=ga.
Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы
необходимо и достаточно, что бы они были коллинеарны.
Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то
b=ga. Будем считать, что а,b¹0 (если нет, то система
линейно-зависима по 1 свойству). 1b-ga=0. Т.к. коэфф. При b¹0, то система линейно
зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. aа+bb=0, a¹0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по
определению умножения вектора на число.
Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы
необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c
компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g¹0. с= - a/g*а - b/g*b. с-диагональ
параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.
БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Определение: пусть задана некоторая система
векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых
векторов системы.
В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.
В качестве базиса множества векторов на плоскости
можно взять произвольную пару.
В множестве векторов в трехмерном пространстве базис
состоит из трех некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная (декартова) система координат на
плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим
началом и одинаковой масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в
пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей
точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: скалярным произведением двух векторов называется
произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.
(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.
Свойства:
1.
(а,b)=
(b,а)
2.
(aа,b)= a (а,b)
3.
(а+b,с)=
(а,с)+ (b,с)
4.
(а,а)=|a|2
скал.квадрат.
Определение: два вектора называются ортоганальными, когда
скалярное пр-е равно 0.
Определение: вектор называется нормированным, если его
скал.кв.равен 1.
Определение: базис множества векторов называется
ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор
нормирован.
Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в
ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений
соответствующих координат.
Найдем формулу угла между векторами по определению
скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: векторным произведением двух векторов a и b
обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1.
|c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:
1.
[a,b]=
- [b,a]
2.
[aа,b]= a [а,b]
3.
[a+b,c]=[a,c]+[b,c]
4.
[a,a]=0
Теорема: Длина векторного произведения векторов равна
площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого
требования определения векторного произведения.
Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в
ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю
третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй –
координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.
Определение: ортой
вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с
вектором а. ea=a/|a|
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3.
Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6.
Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр.
8. Пучок пр. 9.Угол между пр.
1.
Ах+By+C=0
(1), где A, B одновр.не равны нулю.
Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).
Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и
получим Ах0+By0+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0,
n(A,B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном
равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M
ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным
вектором прямой.
Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0
и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же прямую,
тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и
т.д.
Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0,
то ур-е называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0
проходит ч/з (0,0)
2. С=0, А=0, By=0,
значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0,
значит х=0
4. А=0, By+C=0,
паралл. ОХ
5. B=0, Ах+C=0,
паралл. OY
2.
x/a+y/b=1.
Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b
3.
x-x1/e=y-y1/m
Пусть на прямой задана точка и напр. вектор
прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой
произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)
4.
x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1)
и М2(x2;y2). Т.к. на прямой заданы две точки,
то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1)
5.
y=kb+b.
u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется
угловым коэффициентом прямой k=tg u
Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем
угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e.
y-y1=k(x-x1) при y1-kx1=b, y=kx+b
6.
xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным
напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1,
n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) –
произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их
скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ.
коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t=
- sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее
ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1
НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.
1. xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным
напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1,
n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) –
произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их
скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ.
коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t=
- sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее
ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а
ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные
стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.
Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinq-P=0 и М1(x1;y1),
тогда отклонение точки М1 = x1cosq+y1sinq-P=0
Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0)
до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cosq+y0sinq-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)
ГИПЕРБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от
которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная
Каноническое уравнение:
Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ
на одинаковом расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c,
М – произвольная точка гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до
фокусов;
|r2-r1|=2a; a<c;
,
x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)
x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)
c2-a2=b2
x2b2-a2y2=a2b2
- каноническое ур-е
гиперболы
ПАРАБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до
фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до
фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.
Каноническое уравнение:
Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а
директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на
одинаковом расстоянии от начала координат.
|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка
на директрисе; МF=r; MK=d;
r=sqrt((x-p/2)2+y2); d=p/2+x
Приравниваем и получаем:
y2=2px -
каноническое уравнение параболы
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.
1. Определение: эксцентриситет – величина
равная отношению с к а.
е=с/а
е эллипсв <1 (т.к. а>c)
е гиперболы >1 (т.к. с>a)
Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.
Выразим эксцентриситеты через а и b:
е эллипса является мерой его «вытянутости»
е гиперболы характеризует угол раствора между
асимптотами
2. Директрисой D эллипса (гиперболы),
соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси
эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)
D1: x= - a/e
D2: x= a/e
р=а(1-е2)/е – для эллипса
р=а(е2-1)/е – для гиперболы
ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса
(гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть
величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).
Доказательство: для эллипса.
r1/d1=e
x£|a|, xe+a>0
r1=xe+a
d1 – расстояние от М(x,y) до прямой D1
xcos180+ysin180-p=0
x=-p
x=-a/e
бм=-x-a/e
d1=-бм (минус, т.к. прямая и
точка по одну стороно о начала коорд.)
Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых
до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная
и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если
=1.
ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь
гиперболы.
Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс
полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на
которой находится фокус.
r= r
d=p+rcosj
e=r/p+rcosj
- полярное уравнение
эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.
КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем
уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0)
точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:
у-у0=y’(x0)(x-x0)
Рассмотрим касательную к кривой следовательно
ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0
- уравнение
касательной к эллипсу.
- уравнение
касательной к гиперболе.
- уравнение
касательной к параболе.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА
ПЛОСКОСТИ.
Преобразование на плоскости есть применение
преобразований параллельного переноса и поворота.
Пусть две прямоугольные системы координат имеют
общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов
двумя способами:
(е1;е1’)=cos u
(е1;е2’)=cos (90+u)= -sin u
(е2;е1’)=cos (90-u)=sin u
(е2;е2’)=cos u
Базис рассматривается ортонормированный:
(е1;е1’)=(е1, a11е1+a12е2)= a11
(е1;е2’)= (е1, a21е1+a22е2)= a21
(е2;е1’)= a12
(е2;е2’)= a22
Приравниваем:
a11=cos u
a21= - sin u
a12=sin u
a22=cos u
Получаем:
x=a+x’cos u – y’sin u
y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.
------------
x=a+x’
y=b+y’ -
формулы параллельного переноса
ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка
относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от
коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы
координат.
Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка
относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1;
I2; I3
Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины
остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.
Определение:
I2>0 – элиптический тип
I2<0 – гиперболический тип
I2=0 – параболический тип
ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).
Параллельный перенос:
Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о.
что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой
оказались равными нулю. После этого:
a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2)
точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0.
Получается система a11x0+a12y0+a13=0
и a12x0+a22y0+a23=0
Покажем, что новое начало координат (если система
разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)
Но точка О’ существует если знаменатели у x0
и y0 отличны от нуля.
Точка O’ – единственная точка.
Центр симметрии кривой существует если I2¹0 т.е. центр симметрии имеют
линии элиптического и гиперболического типа
Поворот:
Пусть система XOY повернута на угол u. В новой
системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0.
a12’= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0
(разделим на sin2u), получим:
, после такого преобразования уравнение принимает вид
a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0
(3)
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2>0
и пусть I1>0 следовательно уравнение (1) определяет:
1. I3<0 – эллипс; 2. I3=0 – точка; 3. I3>0
ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается
в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть
после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).
Доказательство:
1. пусть I2>0, I1>0, I3<0,
тогда
а11’’x’’2+a22’’ y’’2=
-I3/I2
I2=a11’’a22’’ >
0
I1= a11’’+a22’’
> 0
a11’’ > 0; a22’’ > 0
Итак, под корнями стоят положительные числа,
следовательно, уравнение эллипса.
2. I3>0 в данном случае под корнем
стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет
действительного геометрического образа.
3. I3=0 в данном случае т(0,0) – случай
вырождения эллипса.
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию
гиперболического типа. Т.е. I2<0, I3¹0 - ур-е (1) определяет
гиперболу; I3=0 – пару пересекающихся прямых.
Доказательство: I2<0; I2= a11’’a22’’
< 0. Пусть a11’’>0; a22’’<0
Пусть I3>0
В данном случае мы имеем гиперболу с действительной
осью ОХ.
Пусть I3<0
-(-а11’’)x’’2+a22’’
y’’2= -I3/I2
В этом случае мы имеем гиперболу с действительной
осью ОY
Пусть I3=0
а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть крива второго порядка задана уравнением (1).
Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a11x2+2a12xy+a22y2
Определение: ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль
квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной
кривой.
(a, b) – вектор асимптотического направления.
a11a2+2a12ab+a22b2=0 (*)
Рассмотрим (a’, b’) параллельный (a, b): следовательно . Дробь a/b характеризует вектор асимптотического направления.
Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют
кривые 2-го порядка.
Решение: положим, что b¹0 и поделим на b2, получим: a11(a/b)2+2a12a/b+a22=0 из этого
квадратного уравнения найдем a/b.
т.к. у линий гиперболического и параболического типов I2£0, то они имеют
асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0 следовательно
таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).
Найдем асимптотические направления у гиперболы:
(a, b)1=(a,b)
(a, b)2=(-a,b)
Векторы асимптотического направления являются
направляющими векторами для асимптот.
Итак: гипербола имеет два асимптотических
направления, которые определяются асимптотами гиперболы.
Найдем асимптотические направления у параболы:
y2=2px
y2-2px=0
u(x,y)= y2+0, y=0
(a, b)=(0,0)
Итак: вектор асимптотического направления параболы
лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления
пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет
одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
Пусть задано трехмерное пространство.
Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается
уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C¹0 одновреенно. Справедлива и
обратная теорема.
Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой
общим уравнением.
Вектор n – нормальный вектор плоскости.
2. Уравнение плоскости в отрезках:
3. Уравнение плоскости, определенной нормальным
вектором и точкой.
Пусть n(A,B,C) и М(x0;y0;z0).
Запишем ур-е пл-ти:
Ax+By+Cz+D=0
Ax0+By0+Cz0=-D
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
5.
Уравнение
плоскости ч/з 3 точки.
Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.
М1(x1;y1;z1);
М2(x2;y2;z2); М3(x3;y3;z3)
Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к.
точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.
М1М x-x1 y-y1 z-z1
М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0
М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1
6.
Параметрическое
ур-е плоскости.
Пусть плоскость определена точкой и парой
некомпланарных векторов. V(V1;V2;V3); U(U1;U2;U3);
M0(x0;y0;z0), тогда плостость имеет
вид: система: x=x0+V1t+U1s и y=y0+V2t+U2s
и z=z0+V3t+U3s
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.
Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0)
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости:
A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2=0,
поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2).
Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными
векторами.
Пучки и связки плоскостей.
Определение: пучком плоскостей называется совокупность
плоскостей, проходящих ч/з одну и ту же прямую.
Что бы задать пучок плоскостей д.б. определены две
плоскости
Теорема: Пусть две плоскости пучка заданы уравнениями: A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0, тогда любая
другая плоскость пучка задана уравнением: a(A1x+B1y+C1z+D1)+b(A2x+B2y+C2z+D2),
где a и b принадлежат R и не равны
нулю одновременно.
Определение: связкой плоскостей называется совокупность
плоскостей, роходящих ч/з одну точку. Эта точка называется центром связки.
Условия для плоскостей:
1. n1 параллелен n2 - параллельности.
2. A1A2+B1B2+C1C2=0
перпендикулярности.
3. пересечения трех плоскостей в одной точке:
Пусть заданы три плоскости: система: A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0; A3x+B3y+C3z+D3=0
Данная система должна иметь единственное решение, а
поэтому ее определитель составленный из коэфф. при каждом не равен 0.
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а1, а2,
а3,…,ал (1) одной размерности.
Определение: система векторов (1) называется
линейно-независимой, если равенство a1а1+a2а2+…+aлал=0 (2)
выполняется лишь в том случае, когда все числа a1, a2,…, aл=0 и ÎR
Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой,
если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном ai¹0 (i=1,…,k)
Свойства
1.
Если
система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
2.
Если
система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет
линейно-зависимой.
3.
Если
система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно
независимой.
4.
Если
система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией
других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.
Определение: два вектора называются коллинеарными, если они
лежат на параллельных прямых.
Определение: три вектора называются компланарными, если они
лежат в параллельных плоскостях.
Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а¹0 и эти векторы коллинеарны,
то найдется такое действительное число g, что b=ga.
Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы
необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.
Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=ga. Будем считать, что а,b¹0 (если нет, то система
линейно-зависима по 1 свойству). 1b-ga=0. Т.к. коэфф. При b¹0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и
b линейно-зависимы. aа+bb=0, a¹0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.
Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и
достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c – линейно-зависимы.
Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство:
т.к. векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g¹0. с= - a/g*а - b/g*b.
с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной
плоскости.
БАЗИС
СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Определение: пусть задана некоторая
система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность
линейно-независимых векторов системы.
В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.
В качестве базиса множества векторов на плоскости
можно взять произвольную пару.
В множестве векторов в трехмерном пространстве базис
состоит из трех некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная (декартова) система координат на
плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим
началом и одинаковой масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в
пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей
точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: скалярным произведением двух векторов называется
произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.
(а,b)=|a|
|b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е
=0; u>90, пр-е отриц.
Свойства:
1.
(а,b)= (b,а)
2.
(aа,b)= a (а,b)
3.
(а+b,с)=
(а,с)+ (b,с)
4.
(а,а)=|a|2 – скал.квадрат.
Определение: два вектора называются ортоганальными, когда
скалярное пр-е равно 0.
Определение: вектор называется нормированным, если его
скал.кв.равен 1.
Определение: базис множества векторов называется
ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор
нормирован.
Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в
ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений
соответствующих координат.
Найдем формулу угла между векторами по определению
скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым
[a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:
1. [a,b]= - [b,a]
2.
[aа,b]= a [а,b]
3.
[a+b,c]=[a,c]+[b,c]
4.
[a,a]=0
Теорема: Длина векторного произведения векторов равна
площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого
требования определения векторного произведения.
Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в
ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю
третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй –
координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.
Определение: ортой
вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с
вектором а. ea=a/|a|
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3.
Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6.
Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр.
8. Пучок пр. 9.Угол между пр.
1.
Ах+By+C=0 (1),
где A, B одновр.не равны нулю.
Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной
ур-ем (1).
Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1)
и получим Ах0+By0+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’)
получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A,B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном равенстве записано скалярное
произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т.о. n
ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным
вектором прямой.
Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0
и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же прямую, тогда
найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и т.д.
Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0,
то ур-е называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)
2. С=0, А=0, By=0, значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0
4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ
5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY
2.
x/a+y/b=1.
Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b
3.
x-x1/e=y-y1/m
Пусть на прямой задана точка и напр. вектор
прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой
произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)
4. x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2).
Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1;
y2-y1)
5.
y=kb+b.
u – угол наклона прямой. Tg угла
наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg
u
Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем
угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1)
при y1-kx1=b, y=kx+b
6.
xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным
напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть
М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ.
Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р.
2. ОМ*n=cosqx+sinqy.
Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения
определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее
ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0,
t-нормирующий
множитель.
7. Система: x=et+x1
и y=mt+y1
НОРМАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до
прямой.
1. xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным
напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть
М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ.
Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р.
2. ОМ*n=cosqx+sinqy.
Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения
определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее
ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0,
t-нормирующий
множитель.
2. Обозначим d – расстояние от точки до
прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по
разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по
одну сторону.
Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinq-P=0 и М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1
= x1cosq+y1sinq-P=0
Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cosq+y0sinq-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)
ГИПЕРБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от
которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная
Каноническое уравнение:
Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ
на одинаковом расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c, М – произвольная точка
гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до фокусов;
|r2-r1|=2a; a<c;
,
x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)
x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)
c2-a2=b2
x2b2-a2y2=a2b2
- каноническое ур-е гиперболы
ПАРАБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до
фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до
фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.
Каноническое уравнение:
Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а
директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на
одинаковом расстоянии от начала координат.
|DF|=p, М – произвольная точка
параболы; К – точка на директрисе; МF=r;
MK=d;
r=sqrt((x-p/2)2+y2);
d=p/2+x
Приравниваем и получаем:
y2=2px - каноническое уравнение параболы
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.
1. Определение: эксцентриситет – величина
равная отношению с к а.
е=с/а
е эллипсв <1 (т.к. а>c)
е гиперболы >1
(т.к. с>a)
Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0,
е=0.
Выразим эксцентриситеты через а и b:
е эллипса является мерой его «вытянутости»
е гиперболы характеризует угол раствора между
асимптотами
2. Директрисой D эллипса (гиперболы),
соответствующей фокусу F, называется прямая
расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на
расстоянии а/е>a (а/е<a)
D1: x= -
a/e
D2: x= a/e
р=а(1-е2)/е
для эллипса
р=а(е2-1)/е
для гиперболы
ТЕОРЕМА
ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса
(гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть
величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).
Доказательство: для эллипса.
r1/d1=e
x£|a|, xe+a>0
r1=xe+a
d1 – расстояние от М(x,y) до
прямой D1
xcos180+ysin180-p=0
x=-p
x=-a/e
бм=-x-a/e
d1=-бм (минус,
т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)
Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых
до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная
и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1,
параболу, если =1.
ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь
гиперболы.
Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс
полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой
находится фокус.
r= r
d=p+rcosj
e=r/p+rcosj
- полярное уравнение эллипса,
параболы и правой ветви гиперболы.
КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем
уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит
справедливо:
у-у0=y’(x0)(x-x0)
Рассмотрим касательную к кривой следовательно
ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0
- уравнение касательной к
эллипсу.
- уравнение
касательной к гиперболе.
- уравнение
касательной к параболе.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА
ПЛОСКОСТИ.
Преобразование на плоскости есть применение
преобразований параллельного переноса и поворота.
Пусть две прямоугольные системы координат имеют
общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов
двумя способами:
(е1;е1’)=cos
u
(е1;е2’)=cos
(90+u)= -sin u
(е2;е1’)=cos
(90-u)=sin u
(е2;е2’)=cos
u
Базис рассматривается ортонормированный:
(е1;е1’)=(е1,
a11е1+a12е2)= a11
(е1;е2’)=
(е1, a21е1+a22е2)= a21
(е2;е1’)= a12
(е2;е2’)= a22
Приравниваем:
a11=cos u
a21= - sin u
a12=sin u
a22=cos u
Получаем:
x=a+x’cos u – y’sin u
y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.
------------
x=a+x’
y=b+y’ - формулы параллельного переноса
ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка
относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от
коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы
координат.
Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка
относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3
Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины
остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.
Определение:
I2>0 – элиптический тип
I2<0 – гиперболический тип
I2=0 – параболический тип
ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).
Параллельный перенос:
Параллельно перенесем систему XOY на
вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’
преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:
a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2)
точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0.
Получается система a11x0+a12y0+a13=0
и a12x0+a22y0+a23=0
Покажем, что новое
начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0,
f(-x’;-y’)= f(x’;y’)
Но точка О’ существует если знаменатели
у x0 и y0
отличны от
нуля.
Точка O’ – единственная точка.
Центр симметрии кривой существует если I2¹0 т.е.
центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа
Поворот:
Пусть система XOY повернута на угол u. В
новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0.
a12’= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0
(разделим на sin2u),
получим:
, после такого преобразования уравнение принимает вид
a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0
(3)
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а1, а2,
а3,…,ал (1) одной размерности.
Определение: система векторов (1) называется
линейно-независимой, если равенство a1а1+a2а2+…+aлал=0 (2)
выполняется лишь в том случае, когда все числа a1, a2,…, aл=0 и ÎR
Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой,
если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном ai¹0 (i=1,…,k)
Свойства
1.
Если
система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
2.
Если
система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет
линейно-зависимой.
3.
Если
система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно
независимой.
4.
Если
система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией
других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.
Определение: два вектора называются коллинеарными, если они
лежат на параллельных прямых.
Определение: три вектора называются компланарными, если они
лежат в параллельных плоскостях.
Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а¹0 и эти векторы коллинеарны,
то найдется такое действительное число g, что b=ga.
Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы
необходимо и достаточно, что бы они были коллинеарны.
Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то
b=ga. Будем считать, что а,b¹0 (если нет, то система
линейно-зависима по 1 свойству). 1b-ga=0. Т.к. коэфф. При b¹0, то система линейно
зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. aа+bb=0, a¹0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по
определению умножения вектора на число.
Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы
необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c
компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g¹0. с= - a/g*а - b/g*b. с-диагональ
параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.
БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Определение: пусть задана некоторая
система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность
линейно-независимых векторов системы.
В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.
В качестве базиса множества векторов на плоскости
можно взять произвольную пару.
В множестве векторов в трехмерном пространстве базис
состоит из трех некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная (декартова) система координат на
плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим
началом и одинаковой масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в
пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей
точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: скалярным произведением двух векторов называется
произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.
(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.
Свойства:
1.
(а,b)=
(b,а)
2.
(aа,b)= a (а,b)
3.
(а+b,с)=
(а,с)+ (b,с)
4.
(а,а)=|a|2
скал.квадрат.
Определение: два вектора называются ортоганальными, когда
скалярное пр-е равно 0.
Определение: вектор называется нормированным, если его
скал.кв.равен 1.
Определение: базис множества векторов называется
ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор
нормирован.
Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в
ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений
соответствующих координат.
Найдем формулу угла между векторами по определению
скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: векторным произведением двух векторов a и b
обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1.
|c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:
1.
[a,b]=
- [b,a]
2.
[aа,b]= a [а,b]
3.
[a+b,c]=[a,c]+[b,c]
4.
[a,a]=0
Теорема: Длина векторного произведения векторов равна
площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого
требования определения векторного произведения.
Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в
ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю
третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй –
координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.
Определение: ортой
вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с
вектором а. ea=a/|a|
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3.
Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6.
Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр.
8. Пучок пр. 9.Угол между пр.
1.
Ах+By+C=0
(1), где A, B одновр.не равны нулю.
Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).
Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1)
и получим Ах0+By0+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0,
n(A,B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном
равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M
ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным
вектором прямой.
Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0
и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же прямую,
тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и
т.д.
Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0,
то ур-е называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0
проходит ч/з (0,0)
2. С=0, А=0, By=0,
значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0,
значит х=0
4. А=0, By+C=0,
паралл. ОХ
5. B=0, Ах+C=0,
паралл. OY
2.
x/a+y/b=1.
Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b
3.
x-x1/e=y-y1/m
Пусть на прямой задана точка и напр. вектор
прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой
произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)
4.
x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1)
и М2(x2;y2). Т.к. на прямой заданы две точки,
то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1)
5.
y=kb+b.
u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется
угловым коэффициентом прямой k=tg u
Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем
угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e.
y-y1=k(x-x1) при y1-kx1=b, y=kx+b
6.
xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным
напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1,
n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) –
произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их
скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ.
коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t=
- sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее
ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1
НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.
1. xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным
напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1,
n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) –
произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их
скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ.
коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t=
- sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее
ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а
ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные
стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.
Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinq-P=0 и М1(x1;y1),
тогда отклонение точки М1 = x1cosq+y1sinq-P=0
Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0)
до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cosq+y0sinq-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)
ГИПЕРБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых
до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная
Каноническое уравнение:
Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ
на одинаковом расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c,
М – произвольная точка гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до
фокусов;
|r2-r1|=2a; a<c;
,
x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)
x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)
c2-a2=b2
x2b2-a2y2=a2b2
- каноническое ур-е
гиперболы
ПАРАБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до
фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до
фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.
Каноническое уравнение:
Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а
директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на
одинаковом расстоянии от начала координат.
|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка
на директрисе; МF=r; MK=d;
r=sqrt((x-p/2)2+y2); d=p/2+x
Приравниваем и получаем:
y2=2px -
каноническое уравнение параболы
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.
1. Определение: эксцентриситет – величина
равная отношению с к а.
е=с/а
е эллипсв <1 (т.к. а>c)
е гиперболы >1 (т.к. с>a)
Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.
Выразим эксцентриситеты через а и b:
е эллипса является мерой его «вытянутости»
е гиперболы характеризует угол раствора между
асимптотами
2. Директрисой D эллипса (гиперболы),
соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси
эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)
D1: x= - a/e
D2: x= a/e
р=а(1-е2)/е – для эллипса
р=а(е2-1)/е – для гиперболы
ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса
(гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина
постоянная равная е эллипса (гиперболы).
Доказательство: для эллипса.
r1/d1=e
x£|a|, xe+a>0
r1=xe+a
d1 – расстояние от М(x,y) до прямой D1
xcos180+ysin180-p=0
x=-p
x=-a/e
бм=-x-a/e
d1=-бм (минус, т.к. прямая и
точка по одну стороно о начала коорд.)
Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых
до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная
и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если
=1.
ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь
гиперболы.
Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс
полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на
которой находится фокус.
r= r
d=p+rcosj
e=r/p+rcosj
- полярное уравнение
эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.
КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем
уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0)
точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:
у-у0=y’(x0)(x-x0)
Рассмотрим касательную к кривой следовательно
ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0
- уравнение
касательной к эллипсу.
- уравнение
касательной к гиперболе.
- уравнение
касательной к параболе.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА
ПЛОСКОСТИ.
Преобразование на плоскости есть применение
преобразований параллельного переноса и поворота.
Пусть две прямоугольные системы координат имеют
общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов
двумя способами:
(е1;е1’)=cos u
(е1;е2’)=cos (90+u)= -sin u
(е2;е1’)=cos (90-u)=sin u
(е2;е2’)=cos u
Базис рассматривается ортонормированный:
(е1;е1’)=(е1, a11е1+a12е2)= a11
(е1;е2’)= (е1, a21е1+a22е2)= a21
(е2;е1’)= a12
(е2;е2’)= a22
Приравниваем:
a11=cos u
a21= - sin u
a12=sin u
a22=cos u
Получаем:
x=a+x’cos u – y’sin u
y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.
------------
x=a+x’
y=b+y’ -
формулы параллельного переноса
ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка
относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от
коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы
координат.
Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка
относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1;
I2; I3
Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины
остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.
Определение:
I2>0 – элиптический тип
I2<0 – гиперболический тип
I2=0 – параболический тип
ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).
Параллельный перенос:
Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о.
что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой
оказались равными нулю. После этого:
a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2)
точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0.
Получается система a11x0+a12y0+a13=0
и a12x0+a22y0+a23=0
Покажем, что новое начало координат (если система
разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)
Но точка О’ существует если знаменатели у x0
и y0 отличны от нуля.
Точка O’ – единственная точка.
Центр симметрии кривой существует если I2¹0 т.е. центр симметрии имеют
линии элиптического и гиперболического типа
Поворот:
Пусть система XOY повернута на угол u. В новой
системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0.
a12’= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0
(разделим на sin2u), получим:
, после такого преобразования уравнение принимает вид
a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0
(3)
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2>0
и пусть I1>0 следовательно уравнение (1) определяет:
1. I3<0 – эллипс; 2. I3=0 – точка; 3. I3>0
ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается
в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть
после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).
Доказательство:
1. пусть I2>0, I1>0, I3<0,
тогда
а11’’x’’2+a22’’ y’’2=
-I3/I2
I2=a11’’a22’’ >
0
I1= a11’’+a22’’
> 0
a11’’ > 0; a22’’ > 0
Итак, под корнями стоят положительные числа,
следовательно, уравнение эллипса.
2. I3>0 в данном случае под корнем
стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет
действительного геометрического образа.
3. I3=0 в данном случае т(0,0) – случай
вырождения эллипса.
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию
гиперболического типа. Т.е. I2<0, I3¹0 - ур-е (1) определяет
гиперболу; I3=0 – пару пересекающихся прямых.
Доказательство: I2<0; I2= a11’’a22’’
< 0. Пусть a11’’>0; a22’’<0
Пусть I3>0
В данном случае мы имеем гиперболу с действительной
осью ОХ.
Пусть I3<0
-(-а11’’)x’’2+a22’’
y’’2= -I3/I2
В этом случае мы имеем гиперболу с действительной
осью ОY
Пусть I3=0
а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть крива второго порядка задана уравнением (1).
Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a11x2+2a12xy+a22y2
Определение: ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль
квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной
кривой.
(a, b) – вектор асимптотического направления.
a11a2+2a12ab+a22b2=0 (*)
Рассмотрим (a’, b’) параллельный (a, b): следовательно . Дробь a/b характеризует вектор асимптотического направления.
Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют
кривые 2-го порядка.
Решение: положим, что b¹0 и поделим на b2, получим: a11(a/b)2+2a12a/b+a22=0 из этого
квадратного уравнения найдем a/b.
т.к. у линий гиперболического и параболического типов I2£0, то они имеют
асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0 следовательно
таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).
Найдем асимптотические направления у гиперболы:
(a, b)1=(a,b)
(a, b)2=(-a,b)
Векторы асимптотического направления являются
направляющими векторами для асимптот.
Итак: гипербола имеет два асимптотических
направления, которые определяются асимптотами гиперболы.
Найдем асимптотические направления у параболы:
y2=2px
y2-2px=0
u(x,y)= y2+0, y=0
(a, b)=(0,0)
Итак: вектор асимптотического направления параболы
лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления
пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет
одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
Пусть задано трехмерное пространство.
Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается
уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C¹0 одновреенно. Справедлива и
обратная теорема.
Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой
общим уравнением.
Вектор n – нормальный вектор плоскости.
2. Уравнение плоскости в отрезках:
3. Уравнение плоскости, определенной нормальным
вектором и точкой.
Пусть n(A,B,C) и М(x0;y0;z0).
Запишем ур-е пл-ти:
Ax+By+Cz+D=0
Ax0+By0+Cz0=-D
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
5.
Уравнение
плоскости ч/з 3 точки.
Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.
М1(x1;y1;z1);
М2(x2;y2;z2); М3(x3;y3;z3)
Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к.
точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.
М1М x-x1 y-y1 z-z1
М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0
М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1
6.
Параметрическое
ур-е плоскости.
Пусть плоскость определена точкой и парой
некомпланарных векторов. V(V1;V2;V3); U(U1;U2;U3);
M0(x0;y0;z0), тогда плостость имеет
вид: система: x=x0+V1t+U1s и y=y0+V2t+U2s
и z=z0+V3t+U3s
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.
Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0)
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости:
A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2=0,
поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2).
Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными
векторами.
Пучки и связки плоскостей.
Определение: пучком плоскостей называется совокупность
плоскостей, проходящих ч/з одну и ту же прямую.
Что бы задать пучок плоскостей д.б. определены две
плоскости
Теорема: Пусть две плоскости пучка заданы уравнениями: A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0, тогда любая
другая плоскость пучка задана уравнением: a(A1x+B1y+C1z+D1)+b(A2x+B2y+C2z+D2),
где a и b принадлежат R и не равны
нулю одновременно.
Определение: связкой плоскостей называется совокупность
плоскостей, роходящих ч/з одну точку. Эта точка называется центром связки.
Условия для плоскостей:
1. n1 параллелен n2 - параллельности.
2. A1A2+B1B2+C1C2=0
перпендикулярности.
3. пересечения трех плоскостей в одной точке:
Пусть заданы три плоскости: система: A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0; A3x+B3y+C3z+D3=0
Данная система должна иметь единственное решение, а
поэтому ее определитель составленный из коэфф. при каждом не равен 0.
|
