Кинетические свойства
В.Кинетические Свойства
§ 6. Кинетическое уравнение
Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим “обычные” кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей.
Общий метод решения этой задачи основан на
кинетическом уравнении,
или
уравнении Болъцмана.
Мы рассматриваем функцию f
k
(r) — локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.
Посмотрим теперь, какими способами функция f
k
(r) может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов:
1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть v
k — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени
t
носители заряда в этом состоянии пройдут путь
t
v
k
. Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени
t
равно числу их в окрестности точки r –
t
v
k
в момент времени 0:
f
k
(r,
t
) = f
k
(r –
t
v
k
, 0). (35)
Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за
диффузии
есть
¶
f
k
/
¶
t
]
diff = – v
k
×
¶
f
k
/
¶
r = – v
k
×
Ñ
f
k
. (36)
2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству (37)
Величину можно рассматривать как “скорость” носителя заряда в k-пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем (38)
следовательно, под действием
полей
функция распределения меняется со скоростью (39)
(мы использовали здесь обозначение
¶
f
k
/
¶
k для градиента в k-пространстве — оператора
Ñ
k
).
3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция f
k меняется со скоростью
¶
f
k
/
¶
t
]
scatt = ∫{ f
k' (1 – f
k
) – f
k (l – f
k'
)}Q(k, k') dk'. (40)
Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению f
k
. Вероятность этого процесса зависит от величины f
k — числа носителей в состоянии k, и от разности (1 – f
k'
) — числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет к увеличению функции f
k
; он пропорционален величине f
k'
(1 – f
k
). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значений k и k' существует, однако, “собственная” вероятность перехода
Q
(k, k'), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k' вакантно. Согласно
принципу микроскопической обратимости,
та же функция дает и скорость перехода из k' в k, поэтому под интегралом появляется общий множитель.
Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции f
k
(r) равна нулю, т. е.
¶
f
k
/
¶
t
]
scatt +
¶
f
k
/
¶
t
]
field +
¶
f
k
/
¶
t
]
diff = 0. (41)
Отметим, что здесь рассматривается
стационарное,
но не обязательно
равновесное состояние.
Для последнего функция распределения обозначается через f
0
k
, оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.
Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного.
Положим
g
k = f
k – f
0
k
. (42)
где
f
0
k = 1/{exp[(
E
k –
z
)/kT] + 1} (43)
Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить функцию f
0
k в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T(r)
,
и положим
gk(r)=f
k
(r) – f
0
k
{3T(r)}. (44)
Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например
ò
g
k
(r)dk = 0. (45)
Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем
v
k
×
¶
f
k
/
¶
r – e
/ħ(E + 1/c[v
k
´ H])
×
¶
f
k
/
¶
k = –
¶
f
k
/
¶
t]
scatt , (46)
или
v
k
×
¶
f
k
/
¶
T
Ñ
T – e
/ħ(E + 1/c[v
k
´ H])
×
¶ f
0
k
/
¶
k = –
¶
f
k
/
¶
t]
scatt + v
k
×
¶
g
k
/
¶
r + e
/ħ(E + 1/c[v
k
´ H])
×
¶
g
k
/
¶
k. (47)
С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде
(
¶
f
0
/
¶
E
)v
k
×
{( E
(k) –
z
)
/
T
×
Ñ
T + e
(E – 1/e
×
Ñ
z
)} = –
¶
f
k
/
¶
t]
scatt + v
k
×
¶
g
k
/
¶
r + e
/ħc[v
k
´ H]
×
¶
g
k
/
¶
k. (48)
Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (E
×
¶
g
k
/
¶
k) порядка E
2
, соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член v
k [v
k
´ H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит.
Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно “добавки” g
k
(r) к функции распределения. Функция g
k
(r) определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры, входящими
в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения сложности.
§ 7. Электропроводность
Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в “бесконечной” среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40) получаем
(–
¶
f
0
/
¶
E
)v
k
×
eE = – (
¶
f
0
/
¶
t)]
scatt =
ò
(f
k
f
k
¢
)Q(k,k
¢
)dk
¢
=
ò
(g
k
g
k
¢
)Q(k,k
¢
)dk
¢ (49)
Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции g
k
.
Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение:
¶
f
k
/
¶
t]
scatt = g
k
/
t (50)
Тем самым мы вводим
время релаксации
t
. При выключении поля любое отклонение g
k от равновесного распределения будет затухать по закону
¶
g
k
/
¶
t = g
k
/
t
, (51)
или
g
k
(t) = g
k
(0)e – t /
t . (52)
Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим
g
k = (–
¶
f
0
/
¶
E
)
t
v
k
×
eE (53)
Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока (54)
Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что
ò
f
0
k
ev
k
(r)dk
º 0,
использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k-пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии.
В металле функция (–
¶
f
0
/
¶
E
) ведет себя как
d
-функция от (
E –
z
), поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким образом, (55)
Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой
J =
s
×
E, (56)
где
s – тензор. Получим (57)
Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом
тензор электропроводности
сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J направлены по оси
х,
подынтегральное выражение в (55) есть
(v
k
v
k
× E) = v
2
x
E, (58)
что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v
2
E
.
Поэтому (59)
где мы ввели
длину свободного пробега
L =
t
v. (60)
Это есть основная формула для электропроводности.
Интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядит функция распределения f
k
, заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция g
k велика только вблизи поверхности Ферми.
Фиг.97. а – смещенная поверхность Ферми; б – смещенное распределение Ферми.
Небольшая добавка появляется с той стороны, где v
k
×
eE>0, т. е. там, где электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с противоположной стороны.
Фактически по теореме Тейлора можно написать (61)
Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k-пpoстранстве на величину (e
t
/ħ)E. Это несколько неверная интерпретация. В действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в глубине сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения электронам в таких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются примесью.
Отметим, однако, что электропроводность не зависит от температуры (если не считать возможной температурной зависимости
t
). Эта же формула справедлива при
T = 0,
когда распределение Ферми имеет совершенно четкую границу. Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение
жесткой поверхности Ферми.
Заметим также, что выражение (61) можно представить в виде
f
k = f
0
(
E
k + e
t
v
k
E), (62)
как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась величина
d
E
k = e
t
v
k
E. (63)
Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы место, если бы электрон со скоростью v
k двигался в поле E в течение интервала времени
t
. Это замечание лежит в основе
кинетического метода
решения подобных задач. Добавочная энергия, приобретаемая в промежутках между столкновениями с примесями, соответствует наличию
дрейфовой скорости
d
v в направлении поля; именно
d
v(
¶
E
/
¶
v) = evE
t
, (64)
или для классической частицы массы m
d
v(
¶
E
/
¶
v) = evE
t /
mv. (65)
Пусть концентрация частиц есть n, тогда полная плотность тока равна
J = ne
d
v, (66)
и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим
s = ne
2
t
/m. (7.33)
Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (67) и (59) эквивалентны; в металле последняя формула принципиально значительно лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств электронов на уровне Ферми, а не от полной концентрации их. Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием небольшой группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми, а не высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость.
Основная формула (59) показывает также, что происходит, когда площадь свободной поверхности Ферми уменьшается в результате взаимодействия с границами зоны, и учитывает влияние решетки, ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхности Ферми. Такие эффекты действительно можно наблюдать в металлах типа Bi.
С другой стороны, формула кинетической теории (67) удобна для полупроводников. При этом под
п
следует понимать концентрацию свободных носителей заряда. Обычно пишут
s = n|е|
m (68)
где
m = |e|
t
/m (69)
есть
подвижность
носителей. В более общем случае считают, что электроны и дырки вносят независимые вклады в полный ток и определяют их подвижности равенством
s = n
h |е|
m
h + n
e |е|
m
e . (70)
Нетрудно вывести формулу (68), скажем, из (54), принимая в качестве f° классическую функцию распределения. При этом мы допускаем, что время релаксации
t может зависеть от энергии; в формулу (69) надо подставить его среднее значение (71)
где N(
E
) есть плотность состояний в рассматриваемой зоне. Таким образом,
m
e
= |e|
t
e /m
e (7.38)
где
т
е —
эффективная масса электронов. Аналогичная формула справедлива и для дырок. Из этих формул видно, что подвижность может зависеть от температуры. С ростом
T
распределение размазывается и среднее время релаксации изменяется. В случае металла то обстоятельство, что т зависит от энергии, не играет большой роли, ибо существенно только значение
t
(
E
F
)
.
|
