Министерство
Образования, Молодежи и Спорта
Республики
Молдова
Государственный
университет Молдовы Физический факультет Кафедра теоретической физики
Курсовая Работа
Тема: Электрон в слое. Руководитель работы: Климин С.Н. Работу выполнил студент 3-го курса: Радченко Андрей
Кишинёв 1997 г.
Микрочастица (электрон) в слое.
Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена,
во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения
некоторых упрощений.
Она состоит в следующем :
Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :
ì -ћ2/(2m)׶2/¶x2 + U0 , x < -a
Ù ï
H = í -ћ2/(2m0)׶2/¶x2 , -a < x < a
ï
î -ћ2/(2m)׶2/¶x2 + U0 , x > a
Где m - эффективная масса электрона в
областях I , III ;
m0 - эффективная масса электрона в
области II.
Запишем
уравнение Шрёдингера для каждой области :
ì ¶2YI/¶x2 + 2m/ћ2×(E - U0)YI = 0 ,
x £ -a
ï
í ¶2YII/¶x2 + 2m0/ћ2×E×YI
= 0 , -a £ x £ a
ï
î ¶2YIII/¶x2 + 2m/ћ2×(E - U0)×YI
= 0 , x ³ a
Область I :
Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области
записывается сразу :
YI(x) =
A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).
Используя свойство ограниченности волновой функции, мы
придём к тому что B = 0. Значит,
YI(x) =
A×exp(n×x).
Волновая
функция для второй области тоже элементарно определяется :
YII(x) =
C×exp(i×k×x) + D×exp(-i×k×x).
Функция
состояния для третьей области выглядит так :
YIII(x) =
F×exp(-n×x).
Где
k =
(2m0×E/ћ2)1/2
n = (2m×(U0-E)/ћ2)1/2.
Стратегия наших дальнейших
действий будет состоять в следующем :
¨ Напишем
систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению
функциями граничным условиям.
¨ В
этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные
коэффициенты A,C,D и F. Мы
составим линейную однородную систему относительно них.
¨ Ясно,
что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда
детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма
полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни
энергии.
Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания
волновых функций :
YI(x=-a) = YII(x=-a)
YII(x=a)
= YIII(x=a)
YI¢(x=-a)/m = YII¢(x=-a)/m0
YII¢(x=a)/m0
= YIII¢(x=a)/m
А в
наших определениях этих функций это выглядит так :
A×exp(-n×a) = C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a)
m-1×A× n×exp(-n×a) = i×k×/m0×(C×exp(-i×k×a) - D×exp(i×k×a))
C×exp(i×k×a) + D×exp(-i×k×a) = F×exp(-n×a)
i×k×/m0×(C×exp(i×k×a) - D×exp(-i×k×a)) = - n/m×F×exp(-n×a).
Теперь
составим определитель :
|exp(-n×a) -exp(-i×k×a) -exp(i×k×a) 0 |
|m-1×n×exp(-n×a) -1/m0×i×k×exp(-i×k×a) 1/m0×i×k×exp(i×k×a) 0 |
|0 exp(i×k×a) exp(-i×k×a) -exp(-n×a) |
|0 1/m0×i×k×exp(i×k×a) -1/m0×i×k×exp(-i×k×a) 1/m×n×exp(-n×a)|
Если теперь
раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы
получим следующее уравнение для уровней энергии:
((n/m)2
- (k/m0)2)×Sin(2×k×a) + 2×k×n/(m×m0)×Cos(2×k×a) = 0.
Это уравнение
решается численным методом, а именно,
методом Ньютона.
Найдём
неизвестные коэффициенты A, C,
D, F для более полного описания волновой функции. Для этого
воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из
условий сшивания и условия нормировки.
C = F×exp(-n×a)×{exp(i×k×a) + exp(-3×i×k×a) ×( i×k/m0 - n/m)/(n/m + i×k/m0)}
D = C×exp(-2×i×k×a)×( i×k/m0 - n/m)/(n/m + i×k/m0)
A = exp(n×a)×(C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a)) .
Поскольку A, C и
D
линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :
A = RA×F
C = RC×F
D = RD×F.
RA, RC, RD - известные
постоянные.
Таким образом,
если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные
константы A, C, D. А сделаем мы это
с помощью условия нормировки.
Действительно
:
YI(x) =
F×RA×exp(n×x)
YII(x) =
F×( RC×exp(i×k×x) + RD×exp(-i×k×x)).
YIII(x) =
F×exp(-n×x).
I1 + I2 + I3 = 1
Где
I1 = |F|2×|RA|2×òQexp(2×n×x)×dx = |F|2×|RA|2×(2×n)-1×exp(2×n×x) =
= |F|2×|RA|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a)
I2 = |F|2×RC = |F|2×+ i×((exp(-2×i×k×a) - exp(2×i×k×a))×RC*×RD/(2×k)
I3 = |F|2×òWexp(-2×n×x)×dx = |F|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a)
|F|2 = ((exp(2×i×k×a) - exp(-2×i×k×a))×RC×RD*/(2×i×k) + -1.
Теперь, когда
мы знаем F,
нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую
состояние электрона.
Электрон в слоях
Задача, которая сейчас будет
описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной
периодичностью. Схематически это изображается так.
То есть, это ни что иное как
одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно
изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных
ступенек.
Аналитически условие
периодичности потенциала записывается весьма просто:
U(x)=U(x+2a) (1)
Соотношение (1)
записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине
всякого потенциального барьера.
Ясно, что волновые функции,
соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению
Шредингера:
¶2Y/¶x2 + 2m/ћ2×(E - U0)Y = 0
следовательно эти функции отличаются только постоянным
множителем, который называется фазовым множителем.
Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим
образом:
r =
exp(i 2ak)
Тогда Y(x+2ma) = Y(x)×rm , где
m=0, ±1,
±2,... (2)
Оказывается, что достаточным для
определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай
когда E<U0) и волновой функции является рассмотрение
областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2),
мы определим волновую функцию на всей действительной оси.
Рассмотрим область I:
Уравнение Шредингера для нее
записывается в виде:
¶2YI/¶x2 + 2m2/ћ2×(E - U0)YI = 0
, 0 > x > -a
его
решение выглядит просто:
YI(x) =
A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).
Где n = (2m2
(U0-E)
/ћ2)1/2
Рассмотрим область II:
Уравнение Шредингера для нее
записывается в виде:
¶2YII/¶x2 + 2m1/ћ2×E YII = 0 , a ³ x ³ 0
его
решение выглядит просто:
YII(x) =
C×exp(i×p×x) + D×exp(-i×p×x).
Где p = (2m1E/ћ2)1/2
Рассмотрим область III:
¶2YIII/¶x2 + 2m2/ћ2×(E - U0)YIII = 0
, 2a > x > a
его
решение выглядит просто:
YIII(x) = r (A×exp(n×x) + B×exp(-n×x)).
Запишем граничные условия:
YI(x=0) = YII(x=0)
YII(x=a)
= YIII(x=a)
YI¢(x=0)/m = YII¢(x=0)/m0
YII¢(x=a)/m0
= YIII¢(x=a)/m
Подставляя
волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между
коэффициентами A, B, C, D:
A+B=C+D
C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A
exp(n a)+B exp(-n a))
(A-B)
n/m2 = (C-D) i p / m1
(C
exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2
a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))
Следуя приведённым выше
соображениям, мы составим определитель :
|1 1 -1 -1 |
|exp(i×k×2a+n×a) exp(i×k×2a-n×a) -exp(i×p×a) -exp(-i×p×a) |
|n/m2 -n/m2 -i×p/m1 i×p/m1 |
|n/m2exp(i×k×2a+n×a) -n/m2×exp(i×k×2a-n×a) -
i×p/m1×exp(i×p×a) i×p/m1×exp(-i×p×a) |
и приравняем его к нулю.
Результатом раскрытия
определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве
неизвестного энергию электрона.
Рассчитанные уровни энергии для
различных эффективных масс приведены ниже.
a=10; U=10; m1=4; m2=1
0.1135703312666857 0.6186359585387896 0.2019199605676639 0.3155348518478819 0.05047267055441365 1.263391478912778 0.4544326758658974 2.137353840637548 0.808172718170137 2.479933076698526 0.4544326758658974 6.168062551132728 5.611693924351967 1.820461802850339 1.529165865668653 1.023077302091622
