Побудова економ чно модел на укр языке
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
КИЇВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТОРГОВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
РОБОТА
з економетрії
Студенток 1 групи 2 курсу ФЕМП
Заморіної Наталії
Знової Юлії
Капітоненко Людмили
Нечай Наталії
Киів-1998
Вступ.
Актуальність роботи.
В нинішній час економіка України наражається на важкі деформації, падає виробництво, росте безробіття, має місце інфляція. Для того, щоб виправити ситуацію ,що склалася на Україні необхідно побудова реальних моделей, за допомогою яких можна достатньо точно прогнозувати економічні процеси.
В нашій роботі ми вжили спробу побудови однієї з таких моделей.
Наукова новизна.
В нашій роботі ми використали засоби математичної статистики, теоретичного аналізу, теорії імовірності, системного аналізу, економетрії. Ми зробили першу спробу побудови економетричної моделі України.
Ми показали, як застосовуючи засоби економетрії можливо управляти економікою і розглянули відзнаки між регресійним аналізом і побудовою економетричної моделі.
Практична цінність.
В нашій моделі ми спробували відбити процеси, зв'язані з виробництвом, і побудували економетричну модель, показали, що можна прорахувати коефіціенти цієї моделі. Однак зараз склалася така ситуація, при якій не уміють цінувати інформацію, їй приділяється мало уваги, хоча за рубіжем вже давно навчилися її цінувати і до неї відносяться як до дуже дорогого товару. В зв'язку з цим у нас склалася ситуація інформаційного “голоду”. Тому нам не вистачало статистичних даних. Ми маємо надію, що в найближчий час на Україні будуть розвиватися комп'ютерні технології і програмні продукти, буде приділятися більше уваги побудові економетричних моделей і їхньому використанню.
Апробація роботи.
Апробація моделі була вироблена на реальних статистичних даних, отриманих і взятих з збірника народної господарства, статистичних збірників, а також періодичної преси.
Завдання 1.
На базі статистичних показників змінних X(i) та Y(i), n=17, побудувати графік емпіричних змінних, вибрати форму криволінійної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості a
=0,9. Перевірити фактор Y на автокореляцію, а також оцінити прогноз для таких значень X: X1(p1)=15, X2(p2)=17, X3(p3)=20.
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
X(i)
6,15
6
6,05
6,8
7,15
6,5
7,2
6,65
7,3
7,25
7,25
7
6,9
6,9
6,7
6,9
6,75
Y(i)
12
13,8
14
14,4
13,6
14,2
13,8
14,2
14,6
17
14,6
14,4
15,2
17,4
14,8
16
15,2
Рішення.
1-й крок:
взяти декартову систему координат на площині;
відкласти на ній точки (Xi; Yi), і=1,….., n;
обвести всі відкладені точки замкнутою кривою – отримати хмару розсіяння експерементальних даних;
на око провести криву, яка відповідає усередненим значенням.
У нашому випадку, по розташуванню крапок на графіку 1, можна припустити, що рівняння прямої будемо знаходити у вигляді
2-й крок:
2.1) визначити параметри моделі методом найменших квадратів (МНК) за формулами:
2.2)обчислити значення для кожного значення і занести в таблицю у якості додаткового стовбця;
2.3)побудувати графік регресійної функції
3-й крок:
3.1) обчислити залишкову дисперсію за формулою:
, де n – довжина вибірки, m – число факторів(m=1)
3.2) обчислити відносну похибку розрахункових значень регресії за формулою:
,
а середнє значення відносної похибки, як
,
4-й крок:
4.1) обчислити коефіцієнти еластичності за формулою:
, де
,
;
5-й крок:
5.1) обчислити центровані значення за формулою:
5.2) знайти коефіцієнт Стьюдента , де a
=1-p, k
=n-2( з таблиці, яку наведено звичайно у будь-якій книзі із статистики),
в нашому випадку =1.75
5.3) обчислити дисперсію:
5.4) обчислити за формулою:
5.5) з'єднати неперервною лінією на графіку всі значення і та отримані дані занести у таблицю (отримуємо надійну зону).
6-й крок:
6.1) обчислити збурювальну змінну за формулою
, де =1, 2,…., n
6.2) визначити d- статистику за формулою
6.3) знайти верхню () і нижню () межу (із додатку в кінці будь-якої книги із статистики ) – d-статистика(Критерій Дарбіна-Уотсона); ;
6.4) зробити висновок про автокореляцію.
Так як , то ряд не містить автокореляцію.
7-й крок:
7.1) у рівняння підставити значення ;
Коли Xp=15, Yp=25,88365.
Коли Xp=17, Yp=28,61847.
Коли Xp=20, Yp=32,7207.
7.2) знайти межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень за формулою
Коли Xp=15, D
Yp=12,318.
Коли Xp=17, D
Yp=15,207.
Коли Xp=20, D
Yp=19,567.
7.3) записати межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень ( ; ).
(13,56565; 38,20165)
(13,41147; 43,82547)
(13,1537; 52,2877)
n
X(i)
Y(i)
Xi2
X(i)×
Y(i)
U(i)
Ui2
d
i
Ui – Ui-1
(Ui – Ui-1)2
1
6,15
12
37,8225
73,8
13,78207
-1,7820715
3,17577883
-14,8506
-0,64118
0,411107
1,112438
12,66963
14,89451
2
6
13,8
36
82,8
13,57696
0,22304
0,04974684
1,616232
-0,79118
0,625959
1,304358
12,2726
14,88132
2,005112
4,020472
3
6,05
14
36,6025
84,7
13,64533
0,3546695
0,12579045
2,533354
-0,74118
0,549342
1,239332
12,406
14,88466
0,131629
0,017326
4
6,8
14,4
46,24
97,92
14,67089
-0,270888
0,07338031
-1,88117
0,008824
7,79E-05
0,591756
14,07913
15,26264
-0,62556
0,391322
5
7,15
13,6
51,1225
97,24
15,14948
-1,5494815
2,40089292
-11,3932
0,358824
0,128755
0,792444
14,35704
15,94193
-1,27859
1,634801
6
6,5
14,2
42,25
92,3
14,26067
-0,060665
0,00368024
-0,42722
-0,29118
0,084783
0,730096
13,53057
14,99076
1,488817
2,216575
7
7,2
13,8
51,84
99,36
15,21785
-1,417852
2,01030429
-10,2743
0,408824
0,167137
0,843106
14,37475
16,06096
-1,35719
1,841957
8
6,65
14,2
44,2225
94,43
14,46578
-0,2657765
0,07063715
-1,87167
-0,14118
0,019931
0,626924
13,83885
15,0927
1,152076
1,327278
9
7,3
14,6
53,29
106,58
15,35459
-0,754593
0,5694106
-5,16845
0,508824
0,258902
0,95338
14,40121
16,30797
-0,48882
0,238942
10
7,25
17
52,5625
123,25
15,28622
1,7137775
2,93703332
10,08104
0,458824
0,210519
0,89693
14,38929
16,18315
2,468371
6,092853
11
7,25
14,6
52,5625
105,85
15,28622
-0,6862225
0,47090132
-4,70015
0,458824
0,210519
0,89693
14,38929
16,18315
-2,4
5,76
12
7
14,4
49
100,8
14,94437
-0,54437
0,2963387
-3,78035
0,208824
0,043607
0,666445
14,27793
15,61081
0,141853
0,020122
13
6,9
15,2
47,61
104,88
14,80763
0,392371
0,153955
2,581388
0,108824
0,011843
0,612841
14,19479
15,42047
0,936741
0,877484
14
6,9
17,4
47,61
120,06
14,80763
2,592371
6,7203874
14,89868
0,108824
0,011843
0,612841
14,19479
15,42047
2,2
4,84
15
6,7
14,8
44,89
99,16
14,53415
0,265853
0,07067782
1,796304
-0,09118
0,008313
0,606592
13,92756
15,14074
-2,32652
5,412686
16
6,9
16
47,61
110,4
14,80763
1,192371
1,4217486
7,452319
0,108824
0,011843
0,612841
14,19479
15,42047
0,926518
0,858436
17
6,75
15,2
45,5625
102,6
14,60252
0,5974825
0,35698534
3,930806
-0,04118
0,001695
0,5947
14,00782
15,19722
-0,59489
0,353892
Сума
115,5
249,2
786,7975
1696,13
249,2
1,55E-05
20,9076491
-9,457
8E-06
2,756176
13,69395
235,506
262,8939
2,379554
35,90415
Таблиця 2
Завдання 2. На базі статистичних даних показників змінних x (t) за n=18 місяців побудувати графік тренду зміни x (t), вибрати форму однофакторної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості a
=0.9.Перевірити показник Х на автокореляцію, а також оцінити для наступних трьох місяців прогноз значення x (tр):
t
X (t)
1
9,51
2
11,62
3
11,22
4
15,22
5
13,99
6
15,18
7
14,98
8
17,88
9
16,78
10
18,94
11
20,98
12
15,71
13
20,74
14
24,7
15
20,78
16
20,74
17
19,75
18
23,92
k кор.
0,899208
Рішення: Побудуємо графік тренду зміни Х(t)
Введемо гіпотезу про те, що зміну Х(t) розподілено за законом X(t)=btα.Визначимо параметри цієї регресії: 18 18
α=( Σ t 1 x 1 (t)-18 t 1 x 1 (t) )/(Σ x 1 2 (t)-18 x 1 2 ) =0.3081 t=1 t=1 b 1=x 1(t)-α t 1=2.2002.
Де х 1 (t)=ln x(t), t 1 =ln t ,α 1 = α ,b 1= ln b.Звідки a=0.3081,b=9.0268.
Дисперсію визначаємо за формулою: n
S2= Σ(x 1-x)2/( n-p-1)=1.9044 i=1
Вибірковий коефіцієнт детермінації : n n
R=(1-(S
(xi-xi)2/S
(xi-x)2))1/2= 0.9095 i=1 i=1
Для оцінки надійності рівняння регресії і значущості індексу кореляції обчислимо значення Fp-критерію Фішера: Fp=d
x2/S2=5.445, n
де d
x2= Σ(x 1-x)2/(n-1).Оскільки Fрозр>Fтабл=1,95,то прийнята i=1
модель адекватна експерементальним даним.
Для оцінки меж надійних інтервалів лінії регресії спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі, D
x1i=ta,kS/n1/2(1+(x1i-x1)2/d
x12)1/2
а потім виконаємо зворотній перехід за формулами : Yi±
D
Yi=exp(Y1i±
D
Y1i).
Складемо таблицю1.
Визначимо автокореляцію за формулою: n n d= Σ(lt-lt-1)2/Σlt2=2.425. t=2 t=1
Визначимо границі d-статистики: d1=1.16,dn=1.39.Оскільки виконується нерівність dn<d<4-dn ,то враховується гіпотеза про відсутність атокореляції.
Для оцінки меж надійних інтервалів прогнозу спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі, D
X1p=ta,kS/n1/2(1+n+(X1i-X1)2/d
x12)
а потім виконаємо зворотній перехід за формулами: Yp±
D
Yp=exp(Y1p±
D
Y1p)
Складемо таблицю 2.
Таблиця 1.
t
x(t)
t1
x1 (t)
x1r
xr
D
x1
xmin
xvf[
1
9,51
0
2,2523
2,2002
9,0268
2,6461
0,6402
127,267
2
11,62
0,6931
2,4527
2,4137
11,1757
1,8811
1,7034
73,3196
3
11,22
1,0986
2,4177
2,5338
12,6626
1,4754
2,8958
55,371
4
15,22
1,3863
2,7226
2,6273
13,8362
1,228
4,0522
47,2427
5
13,99
1,6094
2,6383
2,696
14,8202
1,0767
5,0498
43,4978
6
15,18
1,7918
2,72
2,7522
15,6771
0,9922
5,8123
42,2844
7
14,98
1,9459
2,7067
2,7997
16,4396
0,9561
6,3193
42,7674
8
17,88
2,0794
2,8837
2,8408
17,13
0,9541
6,5974
44,4772
9
16,78
2,1972
2,8202
2,8771
17,763
0,9753
6,6978
47,1082
10
18,94
2,3026
2,9413
2,9096
18,349
1,0114
6,6738
50,4487
11
20,98
2,3979
3,0436
2,9389
18,8958
1,0568
6,5695
54,3499
12
15,71
2,4849
2,7543
2,9657
19,4092
1,1068
6,4169
58,7071
13
20,74
2,5649
3,0321
2,9904
19,8937
1,1598
6,2377
63,446
14
24,7
2,6391
3,2068
3.0132
20,3532
1,2138
6,0463
68,5134
15
20,78
2,7081
3,034
3,0345
20,7904
1,2678
5,8514
73,8702
16
20,74
2,7726
3,0321
3,0544
21,2079
1,3212
5,6585
79,4872
17
19,75
2,8332
2,9832
3,0731
21,6077
1,3736
5,4709
85,342
Таблиця 2.
t
xlp(t)
xp(t)
D
xlp
xpmin
xpmax
19
3.1073
22.3610
7.1463
0.0176
28385.4
20
3.1231
22.7172
7.1565
0.0177
29131.4
21
3.1382
23.0612
7.1666
0.0178
29874.0
Відповідь.
З надійністю р=0,1 можна вважати, що експерементальним даним відповідає така математична модель:Yr=9.0268X0.3081.
Для tp=19 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,36.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0176;2838,4).
Для tp=20 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,72.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0177;29131,4).
Для tp=21 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,36.З надійністю p=0,1 прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0178;29874,0).
Завдання 3.
Визначити параметри лінійної моделі залежності витрат на споживання С від рівня доходів D,збережень S та заробітної плати L.Оцінить коефіцієнти детермінації,автокореляції та перевірте показники на мультиколінеарність між факторами.Обчислення виконати на базі 13 статистичних даних певного регіону (C,D,S,L подані у тис $).
Дано:
І
С(і)
D(i)
S(i)
L(i)
1
9,08
10,11
12,29
9
2
10,92
12,72
11,51
8,03
3
12,42
11,78
11,46
9,66
4
10,9
14,87
11,55
11,34
5
11,52
15,32
14
10,99
6
14,88
16,63
11,77
13,23
7
15,2
16,39
13,71
14,02
8
14,08
17,93
13,4
12,78
9
14,48
19,6
14,01
14,14
10
14,7
18,64
1625
14,67
11
18,34
18,92
16,72
15,36
12
17,22
21,22
14,4
15,69
13
19,42
21,84
18,19
17,5
Рішення: Припустимо, що між показником Ŷ і чинниками Х1 Х2 Х3 існує лінійна залежність Ŷ=А1Х1+А2Х2+А3Х3 . Знайдемо оцінки параметрів,використовуючи матричні операції. Запишеио систему нормальних рівнянь у матричній формі: [X]T[X]ā=[X]TY. Якщо помножити матричне рівняння зліва на матрицю [[X]T[X]]-1, то для оцінки параметрів вектора ā отримаємо формулу: ā=[[X]T[X]]-1[X]Ty, звідки а1 =0,0603; а 2=0,151;а3=0,859.
Складемо таблицю:
І D(i) S(i) L(i) C(i) Cроз (i)
1
1
10,11
12,29
9
9,08
10,1954
1,1154
2
12,72
11,51
8,03
10,92
9,4018
-1,5182
3
11,78
11,46
9,66
12,42
10,7376
-1,6824
4
14,87
11,55
11,34
10,9
12,3803
1,4803
5
15,32
14
10,99
11,52
12,4768
0,9568
6
16,63
11,77
13,23
14,88
14,1429
-0,7371
7
16,39
13,71
14,02
15,2
15,1
-0,1
8
17,93
13,4
12,78
14,08
14,0809
0,0009
9
19,6
14,01
14,14
14,48
15,4418
0,9618
10
18,64
16,25
14,67
14,7
16,1774
1,4774
11
18,92
16,72
15,36
18,34
16,8579
-1,4821
12
21,22
14,4
15,69
17,22
16,9296
-0,2904
13
21,84
18,19
17,5
19,42
19,0939
-0,3261
Коефіцієнт множинної детермінації: 13 13
R2=1-Σ(yi-ŷi)2/Σ(y-ỳ)2=0.863 I=1 i=1
Визначимо автокореляцію за формулою: 13 13
d=Σ(lt–lt-1 )2/Σlt2=2.0531. t=2 t=1
Оскільки значення d-статистики близьке до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.Для визначення мультиколінеарності використаємо критерій Х2 . Розрахункове значення Х2 знаходимо за формулою: Х2р=[n-1-1/6(2m+5)]ln│[X]T [X]│=3.1025
Для довірчої ймовірності р=0.95 і числа ступенів волі 1/2m(m-1)=3 X2=7.8.Оскільки розрахункове значення менше критичного,то можна вважати,що загальноі мультиколінеарності не існує.
Відповідь:
Коефіцієнт детермінації R2=0.863,автокореляція та загальна мультиколінеарність відсутні.
Завдання 4. Проаналізуйте модель виробничої функції типу Кобба-Дугласа,що описує залежність між продуктивністю праці y=y/l та фондоозброєністю x=k/l з урахуванням впливу технічного прогресу у виробництво регіону.Оцініть параметри моделі,коефіцієнти детермінації та автокореляції за такими статистичними показниками Y ,k та L за 12 років.
T
Y(t)
k(t)
L(t)
1
54,24
4,41
11,89
2
49,56
4,97
11,04
3
52,32
6,63
11,46
4
73,92
7,39
15,56
5
67,2
7,44
15,67
6
64,44
8,31
17,44
7
80,04
8,9
15,71
8
93,12
12,12
19,91
9
95,4
14,77
16,52
10
90,54
15,06
21,54
11
116,94
14,21
17,9
Рішення: Виробничою функцією називають функцію,яка описує кількісну залежність причинно-наслідкових відносин між результатом економічного процесу і умовами його одержання,хоча б частина з яких керована.В загальному випадку функція Кобба-Дугласа має вигляд:ŷ=b0x1b1x2b2…xmbm,де ŷ -продуктивність ; x1, x2,…, xm –впливові фактори ;b0 -нормований множник ; b1, b2, bm -коефіціенти еластичності. Припустимо ,що між показником у – продуктивність праці і фактором х- фондоозброєність існує стохастична залежність : ŷ=bx2 (виробнича регресія Кобба-Дугласа).для оцінки параметрів виробничої регресії приводимо її до лінійної форми. Після логарифмування і заміни величин Y1=Ln(y), X1=Ln(x) та b1=lnb отримаємо приведену лінійну регресію Y1= b1+a X1 . Оцінки параметрів і для цієї регресії визначаються за формулами: n n n n n a=(nΣX1i Y1i - Σ X1i Σ Y1i)/(n Σ X 21i - (Σ X1i)2 ) =0.3695 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 - -
b1=Υ1-aΧ1=1.7655,b=exp(b1)=5.8444.
Складемо таблицю:
t
Y(t)
k(t)
L(t)
x=k/l
x
y
y
y
1
54.24
4,41
11,89
0,3709
-0,9918
1,5177
1,39896
4,0651
2
49.56
4,97
11,04
0,4502
-0,7981
1,5017
1,470543
4,3516
3
52.32
6,93
11,46
0,6047
-0,503
1,5185
1,579598
4,853
4
73.92
7,39
15,56
0,4749
-0,7446
1,5583
1,490325
4,4385
5
67.20
7,44
15,67
0,4748
-0,7449
1,4559
1,490214
4,438
6
64.44
8,31
17,44
0,4765
-0,7413
1,307
1,491533
4,4439
7
80.04
8,90
15,71
0,5665
0,5682
1,6282
1,555488
4,7374
8
93.12
12,12
19,91
0,6087
-0,4964
1,5427
1,582051
4,8649
9
95.40
14,77
16,52
0,8941
-0,112
1,7535
1,724102
5,6075
10
90.64
15,06
21,54
0,6992
-0,3579
1,4359
1,633232
5,1204
11
116.94
14,21
17,9
0,7939
-0,2309
1,8769
1,68017
5,3665
Коефіцієнт множинної детермінації 11 11
R2=1-Σ(y1i-ŷ1i)2/Σ (yl1-э1)2 =0,4370. t=1 t=1
Визначемо наявність автокореляції обчисливши d-статистику за формулою: 11 11 d = Σ(lt- lt-1 )2/Σ lt2 = 2,4496. t=2 t=1
Оскільки значення d-статистики наближене до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.
Відповідь: Статистичним показникам відповідає класична модель Кобба-Дугласа з параметрами: Y=5.8444*X0.3695
Коефіцієнт множинної детермінації R =0.437, при цьому автокореляцію можна вважвти відсутньою.
Завдання 5.
Визначить параметри найпростішої мультиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону на підставі статистики за 12 років:
,
,
де e(t) – стохастичне відхилення, похибка; C(t) – споживання; Y(t) – національний дохід; I(t) – інвестиції (всі дані у тис.$).
Дано:
t
C(t)
Y(t)
I(t)
1
58,8
7,3
9,22
2
67,4
9,56
13,82
3
68,9
11,1
15,02
4
80,1
12,04
17,08
5
70,45
13,34
18,94
6
84,35
13,26
20,36
7
77,25
15,4
21,56
8
81,4
13,98
22,2
9
73,35
16,86
27,56
10
77,95
15,88
30,36
11
77,65
18,98
28,14
12
82,35
17,18
31,46
Рішення.
Введемо гіпотезу про те, що змінну C(t) розподілено за законом лінійної парної регресії, тобто . Визначимо параметри цієї регресії: .
Складемо таблицю:
T
C(t)
Y(t)
I(t)
C(t)Y(t)
Y2
Cr(t)
e(t)
1
58,8
7,3
9,22
429,24
53,29
65,43599
-6,63599
2
67,4
9,56
13,82
644,344
91,3936
68,79084
-1,39084
3
68,9
11,1
15,02
764,79
123,21
71,07689
-2,17689
4
80,1
12,04
17,08
964,404
144,9616
72,47227
7,627726
5
70,45
13,34
18,94
939,803
177,9556
74,40206
-3,95206
6
84,35
13,26
20,36
1118,481
175,8276
74,2833
10,0667
7
77,25
15,4
21,56
1189,65
237,16
77,46002
-0,21002
8
81,4
13,98
22,2
1137,972
195,4404
75,3521
6,047897
9
73,35
16,86
27,56
1236,681
284,2596
79,62731
-6,27731
10
77,95
15,88
30,36
1237,846
252,1744
78,17255
-0,22255
11
77,65
18,98
28,14
1473,797
360,2404
82,77434
-5,12434
12
82,35
17,18
31,46
1414,773
295,1524
80,10234
2,247663
Сумма
899,95
164,88
255,72
12551,78
2391,066
899,95
-2,6E-05
Відповідь:
Параметри найпростішої мультиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону:
C(t)=54,59952+1,484448Y(t)+e(t)
Y(t)=C(t)+I(t)
|
