Контрольная по статистике
Контрольная по статистике
Задача № 1
Имеются следующие выборочные данные (выборка 10 % - тная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб:
предприятия
Выпуск продукции
Прибыль
предприятия
Выпуск продукции
Прибыль
1
65
15.7
16
52
14,6
2
78
18
17
62
14,8
3
41
12.1
18
69
16,1
4
54
13.8
19
85
16,7
5
66
15.5
20
70
15,8
6
80
17.9
21
71
16,4
7
45
12.8
22
64
15
8
57
14.2
23
72
16,5
9
67
15.9
24
88
18,5
10
81
17.6
25
73
16,4
11
92
18.2
26
74
16
12
48
13
27
96
19,1
13
59
16.5
28
75
16,3
14
68
16.2
29
101
19,6
15
83
16.7
30
76
17,2
По исходным данным:
Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте график ряда распределения.
Рассчитайте характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.
С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие и границы, в которых будет находиться средняя сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.
С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для доли предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля.
Решение:
1. Сначала определяем длину интервала по формуле:
е= (х
max – x
min
) /k,
где
k – число выделенных интервалов.
е
= (19,6 – 12,1) /5=1,5
млн. руб
.
12,1-13,6; 13,6-15,1; 15,1-16,6; 16,6-18,1; 18,1-19,6.
Распределение предприятий по сумме прибыли.
группы
Группировка предприятий по сумме прибыли
предприятия
Прибыль
I
12,1-13,6
3
12,1
7
12,8
12
13
II
13,6-15,1
4
13,8
8
14,2
16
14,6
17
14,8
22
15
III
15,1-16,6
1
15,7
5
15,5
9
15,9
13
16,5
14
16,2
18
16,1
20
15,8
21
16,4
23
16,5
25
16,4
26
16
28
16,3
IV
16,6-18,1
2
18
6
17,9
10
17,6
15
16,7
19
16,7
30
17,2
V
18,1 -19,6
11
18,2
24
18,5
27
19,1
29
19,6
Рассчитываем характеристику ряда распределения предприятий по сумме прибыли, для этого составим расчетную таблицу:
Группы предприятий по сумме прибыли; млн. руб
Число предприятий
f
Середина интервала
Х
xf
X
2
f
12,1 – 13,6
3
12,9
38,7
499,23
13,6 – 15,1
5
14,4
72
1036,8
15,1 – 16,6
12
15,9
190,8
3033,72
16,6 – 18,1
6
17,4
104,4
1816,56
18,1 – 19,6
4
18,9
75,6
1428,84
е
30
------
481,5
7815,15
Средняя арифметическая: = е xf / е f получаем: = 481,5: 30 = 16,05 млн. руб.
Среднее квадратическое отклонение:
получаем:
Определяем среднее квадратическое отклонение для определения коэффициента вариации) Коэффициент вариации: u
х = (
d
х
* 100%) / x получаем: u
х =1,7 * 100%: 16,05 = 10,5% так как u
х = 10,5% < 33% то можно сделать вывод, что совокупность однородная, а средняя величина типичная ее характеристика.
Определяем ошибку выборки (выборка механическая) для средней суммы прибыли на одно предприятие по следующей формуле: если Р=0,954 то t=2 ошибка выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие Dх = 0,6
Средняя сумма прибыли будет находиться в границах которые мы находим по формуле: получаем: 15,45Ј X Ј16,65
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя сумма прибыли одного предприятия заключается в пределах:
Доля предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн. руб. находится в пределах:
Выборочная доля составит:
Ошибку выборки определяем по формуле:, где N – объем генеральной совокупности.
Также объем генеральной совокупности можно определить из условия задачи, так как выборка 10% -тная и в выборку вошло 30 предприятий: 30 предприятий – 10% Х – 100% 10х=3000 х=300 предприятий, следовательно N=300
подставляем данные в формулу: Следовательно с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля предприятий со средней прибылью > 16,6 млн. руб будет находиться в следующих пределах: 33% ± 16,3% или 16,7 Ј w Ј 49,3%
Задача № 2
по данным задачи №1
Методом аналитической группировки установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли на одно предприятие. (результаты оформите рабочей и аналитической таблицами.)
Измерьте тесноту корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли эмпирическим корреляционным отношением.
Сделайте выводы.
Решение:
Поскольку прибыль предприятия напрямую зависит от объема производимой продукции, то мы обозначим выпуск продукции независимой переменной Х, тогда прибыль зависимой переменной У. Поскольку в каждом отдельном случае рассматривается одно предприятие а на прибыль предприятия, кроме выпуска продукции, может влиять множество факторов в том числе и неучтенных, следовательно можно определенно сказать что связь в данном случае корреляционная. Ее можно выявить при помощи аналитической группировки. Для этого сгруппируем предприятия по выпуску продукции, интервал высчитываем по формуле:
Где
К – число выделенных интервалов.
Получаем:
В итоге у нас получаются следующие интервалы: 41 – 53; 53 – 65; 65 – 77; 77 – 89; 89 – 101 Строим рабочую таблицу.
группы
Группировка предприятий по объему продукции, млн. руб.
предприятия
Выпуск продукции
млн. руб
Х
Прибыль млн. руб.
У
У
2
I
41-53
3
41
12,1
146,41
7
45
12,8
163,84
12
48
13
169
16
52
14,6
213,16
S
4
186
52,5
692,41
В среднем на 1 предприятие
46,5
13,1
II
53-65
1
65
15.7
264.49
4
54
13.8
190,44
8
57
14.2
201,64
13
59
16.5
272,25
17
62
14.8
219,04
22
64
15
225
S
6
361
90
1372,86
В среднем на 1 предприятие
60,1
15
III
65-77
5
66
15,5
240,25
9
67
15,9
252,81
14
68
16,2
262,44
18
69
16,1
259,21
20
70
15,8
249,64
21
71
16,4
268,96
23
72
16,5
272,25
25
73
16,4
268,96
26
74
16
256
28
75
16,3
265,69
30
76
17,2
295,84
S
11
781
178,3
2892,05
В среднем на 1 предприятие
71
16,2
IV
77-89
2
78
18
324
6
80
17,9
320,41
10
81
17,6
309,76
15
83
16,7
278,89
19
85
16,7
278,89
24
88
18,5
342,25
S
6
495
105,4
1854,2
В среднем на 1 предприятие
82,5
17,6
V
89-101
11
92
18,2
331,24
27
96
19,1
364,81
29
101
19,6
384,16
S
3
289
56,9
1080,21
В среднем на 1 предприятие
96,3
18,9
S
ИТОГО
2112
483,1
В среднем
71,28
16,16 Теперь по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу:
Группы предприятий по объему продукции, млн. руб
Число пр-тий
Выпуск продукции, млн. руб.
Прибыль, млн. руб
Всего
В среднем на одно пр-тие
Всего
В среднем на одно пр-тие
41-53
4
186
46,5
52,5
13,1
53-65
6
361
60,1
90
15
65-77
11
781
71
178,3
16,2
77,89
6
495
82,5
105,4
17,6
89-101
3
289
96,3
56,9
18,9
S
30
2112
356,4
483,1
80,8
По данным аналитической таблицы мы видим, что с приростом объема продукции, средняя прибыль на одно предприятие возрастает. Значит, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.
Строим расчетную таблицу:
Группы предприятий по объему продукции, млн. руб
Число пр-тий
f
k
Прибыль, млн. руб
(у
k
-у)
2 f
k
у
2
Всего
В среднем на одно пр-тие
Y
k
41-53
4
52,5
13,1
36
692,41
53-65
6
90
15
7,3
1372,86
65-77
11
178,3
16,2
0,11
2892,05
77,89
6
105,4
17,6
13,5
1854,2
89-101
3
56,9
18,9
23,5
1080,21
S
30
483,1
80,8
80,41
7891,73
Вычисляем коэффициент детерминации по формуле:
Где - межгрупповая дисперсия находящаяся по формуле:
общая дисперсия результативного признака, находится по формуле:
Теперь находим
Для каждой группы предприятий рассчитаем значение и вносим в таблицу.
Находим межгрупповую дисперсию: Для нахождения общей дисперсии, нужно рассчитать:
где
p
- количество предприятий и получаем:
Рассчитываем общую дисперсию:
получаем:
Вычисляем коэффициент детерминации:
получаем:, или 70,3 % Следовательно, на 70,3 % вариация прибыли предприятия зависит от вариации выпуска продукции и на 29,7 % зависит от неучтенных факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение составляет: Это говорит о том, что корреляционная связь играет существенную роль между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли.
Задача № 3
Динамика капитальных вложений характеризуется следующими данными, в сопоставимых ценах, млрд. руб.:
Год.
Показатель.
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
Капитальные вложения всего:
В том числе
136,95
112,05
84,66
74,7
62,3
производственного назначения
97,35
79,65
60,18
53,10
41,40
непроизводственного назначения
39,6
32,4
24,48
21,6
20,9
Для изучения интенсивности изменения объема капитальных вложений вычислите:
Абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные) общего объема капитальных вложений. Результаты представьте в таблице.
Для общего объема капитальных вложений, в том числе производственного и непроизводственного назначения:
а) средний уровень ряда динамики; б) среднегодовой темп роста и прироста.
Осуществите прогноз капитальных вложений на ближайший год с помощью среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.
Определите основную тенденцию развития общего объема капитальных вложений методом аналитического выравнивания, осуществите прогноз на ближайший год.
Изобразите динамику капитальных вложений на графике. Сделайте выводы.
Решение:
Поскольку в данном нам динамическом ряду каждый уровень характеризует явление за определенный отрезок времени, то этот ряд будет интервальным.
Для расчета абсолютного прироста цепной используем формулу:
Для расчета базисного прироста используем формулу:
Для расчета темпа роста цепной используем формулу:
Для расчета темпа роста базисной используем формулу:
Для расчета темпа прироста цепной используем формулу:
Для расчета темпа прироста базисной используем формулу:
Теперь представим в таблице выше рассчитанные показатели: Абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные) общего объема капитальных вложений.
Показатели
Год
Dу
ц
млрд. руб
Dу
б
млрд. руб
Т
ц
млрд. руб
Т
б
млрд. руб
DТ
ц
%
DТ
б
%
1-й
-----
-----
-----
1
-----
-----
2-й
-24,9
-24,9
0,81
0,81
-19%
-19%
3-й
-27,39
-52,29
0,75
0,62
-25%
-38%
4-й
-9,96
-62,25
0,88
0,54
-12%
-46%
5-й
-12,4
-74,65
0,83
0,45
-17%
-55%
По данным таблицы можно сделать вывод, что общий объем капитальных вложений имеет тенденцию к снижению.
а) Поскольку ряд динамический и интервальный, то для расчета среднего уровня ряда динамики мы будем использовать следующую формулу:
Для общего объема капитальных вложений: Производственного назначения: Непроизводственного назначения:
б) Рассчитываем среднегодовые темп роста и темп прироста по формулам:
Среднегодовой темп роста:
для общего объема капитальных вложений:
производственного назначения: непроизводственного назначения: Среднегодовой темп прироста:
для общего объема капитальных вложений: (следовательно в среднем общий объем капитальных вложений за 5 лет снизился на 18%.)
производственного назначения: (следовательно в среднем объем капитальных вложений производственного назначения снизился на 20%)
непроизводственного назначения: (следовательно в среднем объем капитальных вложений непроизводственного назначения снизился на 15%)
Для расчета прогноза капитальных вложений с помощью среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста мы будем использовать следующие формулы:
Подставив соответствующие значения получим: Следовательно в ближайший год в среднем общий объем капитальных вложений сократится на 18,66 млрд. руб. и составит сумму от43,6 млрд. руб. до 51 млрд. руб.
4. А теперь мы при помощи метода аналитического выравнивания заменим эмпирический динамический ряд условным теоретическим динамическим рядом, так как он наиболее подходяще выглядит к формулам на основе прямой.
Показатель теоретического ряда рассчитывается при помощи метода наименьших квадратов.
Показатели
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
е
Кап. вложения
136,95
112,05
84,66
74,7
62,3
470,66
t
-2
-1
0
1
2
0
y*t
-273,9
-112,05
0
74,7
124,6
-186,65
t
2
4
1
0
1
4
10
Уравнение прямой имеет вид: y (t) =a+bt, а = 470,66: 5 = 94,1 b = -186,65: 10 = -18,7
уравнение имеет вид: y (t) = 94,1 – 18,7 t
По данным графика можно сделать вывод, что общий объем капиталовложений имеет тенденцию к снижению.
Расчет прогноза проведен с помощью следующих этапов:
значение верхней границы подсчитан по формуле среднего темпа роста.
значение нижней границы выявлено следующим образом: в уравнение прямой y (t) = 94,1 - 18,7t подставили значение t =3 потому что прогноз выполнялся на год вперед, значит t
усл
= 3
прогнозируемое значение рассчитали по формуле среднего абсолютного прироста.
Задача № 4
Имеются следующие данные по двум предприятиям отрасли:
Предприятие
Реализовано продукции
тыс. руб.
Среднесписочная численность рабочих, чел.
1 квартал
2 квартал
1 квартал
2 квартал
I
540
544
100
80
II
450
672
100
120
Определите:
Уровни и динамику производительности труда рабочих каждого предприятия.
Для двух предприятий вместе:
индекс производительности труда переменного состава; индекс производительности труда фиксированного состава; индекс влияния структурных изменений в численности рабочих на динамику средней производительности труда; абсолютное и относительное изменение объема реализации продукции во 2 квартале (на одном из предприятий) в результате изменения:
численности рабочих;
уровня производительности труда;
двух факторов вместе.
Покажите взаимосвязь между исчисленными показателями.
Решение:
1. Построим расчетную таблицу, где реализованную продукцию в первом квартале обозначим V
0
, а во втором как V
1 и среднесписочную численность как S
0 и S
1
.
Предприятие
V0=W0*S0
Тыс. руб.
V1=W1*S1
Тыс. руб.
S0
Чел.
S1
Чел.
W0=V0: S0
Руб.
W1=V1: S1
Руб.
Iw=W1: Wo
Руб.
W0S0
D0=S0: еT0
Чел
D1=S1: еT1
Чел
W0D0
W1D1
W0D1
I
540
544
100
80
5,4
6,8
1,3
432
0,5
0,4
2,7
2,72
2,16
II
450
672
100
120
4,5
5,6
1,2
540
0,5
0,6
2,25
3,36
2,7
е
990
1216
200
200
972
1
1
4,95
6,08
4,86
2. (а) Для расчета индекса производительности труда переменного состава
используем следующую формулу: получаем:
J
w
=6,08: 4,95=1,22
Индекс показывает изменение среднего уровня производительности труда в однородной совокупности под влиянием двух факторов:
изменение качественного показателя W (производительности труда) у отдельных предприятий;
изменение доли, с которой каждое значение W входит в общий объем совокупности.
(б) Для расчета индекса производительности труда фиксированного состава используем следующую формулу:
получаем: Индекс показывает изменение среднего уровня только под влиянием изменения индивидуальных значений качественного показателя в постоянной структуре.
(в) Для расчета индекса влияния структурных изменений в численности рабочих на динамику средней производительности труда используем следующую формулу: получаем:
J
w (d)
=4,86: 4,95 = 0,98
Рассчитанные выше показатели взаимосвязаны между собой количественно, это определяется формулой: получаем:
J
w
=6,08: 4,95=1,22
(г) Произошедшее абсолютное и относительное изменение объема продукции во 2-м квартале зависело от следующих факторов:
численность рабочих:
Dq (S) = (S
1
-S
0
) W
0
получаем:
Dq (S) = (80 – 100) * 5,4 = -108
уровень производительности труда:
Dq (W) = (W
1
-W
0
) S
1
получаем:
Dq (W) = (6,8 – 5,4) * 80 = 112
обоих факторов вместе:
Dq = Dq (S) + Dq (W)
получаем:
Dq = -108 + 112 =4
Вывод: Поскольку индекс производительности труда переменного состава равен 1,22 или 122%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям возросла на 22%. Индекс производительности труда фиксированного состава равен 1,25 или 125%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям возросла на 25%. Индекс структурных сдвигов равен 0,98 или 98%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям снизилась на 2% за счет изменения структуры.
При условии, что произошедшие изменения производительности труда не сопровождались бы структурными перераспределениями среднесписочной численности рабочих в 1-м и 2-м квартале, то средняя производительность труда по двум предприятиям возросла бы на 25%. Изменение численности рабочих привело к снижению производительности труда на 2%. Но одновременное воздействие двух факторов увеличило среднюю производительность труда по двум
предприятиям на 22%.
Задача № 5
Средние запасы материала на предприятии, составившие в первом квартале 200 м
2
, сократились во втором на 30%. При этом, если ранее расход материала в среднем за сутки составлял 40 м
2
, то теперь он снизился до 32 м
2
.
Определите:
За каждый квартал:
а) коэффициенты оборачиваемости производственных запасов; б) продолжительность одного оборота в днях; в) относительные уровни запасов (коэффициенты закрепления)
За второй квартал в сравнении с первым:
а) ускорение (замедление) оборачиваемости запасов в днях; б) величину среднего запаса высвободившегося (осевшего, закрепившегося) в результате ускорения (замедления) его оборачиваемости.
Решение:
(а) Для расчета коэффициента оборачиваемости производственных запасов
используем формулу: Для нахождения средних запасов во втором квартале мы воспользуемся данными задачи: СЗ
0
= 200 i
сз
=1 - 0,3 = 0,7 СЗ
1
=?
СЗ
1
= i
сз
* СЗ
0
=0,7 * 200 = 140 кв. м.
Коэффициент оборачиваемости за I квартал: 40*90=3600 кв. м. – квартальный расход материалов.
К
обор
= 3600: 200 = 18 оборотов.
Коэффициент оборачиваемости за II квартал: 32*90=2880 кв. м. – квартальный расход материалов.
= 2880: 140 = 20,6 оборотов.
(б) Для расчета продолжительности одного оборота в днях используем формулу:
Д = Период: К
обор
В 1-ом квартале: Д = 90: 18 = 5 дней.
Во 2-ом квартале: Д = 90: 20,6 = 4,37 дней.
(в) Для расчета относительных уровней запасов (коэффициент закрепления) воспользуемся формулой:
К
закреп
= Средние запасы за период: Расход материала за период.
В 1-ом квартале: К
закреп
= 200: 3600=0,055 кв. м. запасов на 1 руб расход. матер.
Во 2-ом квартале: К
закреп
= 140: 2880=0,0486 кв. м. запасов на 1 руб расход. матер.
2. (а) Для расчета ускорения (замедления) оборачиваемости запасов в днях используем формулу:
Д
отч.
- Д
баз.
=если знак “-”
то произошло ускорение оборачиваемости. “+”
то произошло замедление оборачиваемости.
Произведем вычисления: 4,37 – 5 = -0,63 дня, следовательно произошло ускорение оборачиваемости.
(б) Для расчета величины среднего запаса высвободившегося (осевшего, закрепившегося) в результате ускорения (замедления) его оборачиваемости используем следующие формулы:
Произведем вычисления: Аналитическая таблица.
Средние запасы материала на предпр.
Расход матер. в среднем за сутки.
Коэф. оборач запасов.
Продолж. одного оборота в днях.
Коэф. закр.
запасов
Ускор. Или замедл обор вдня
Величина среднего запаса.
I кв.
200
40
18
5
0,055
-0,63
-20 кв. м.
II кв.
140
32
20,6
4,37
0,0486
Вывод: При условии что оборачиваемость производственных запасов не изменится, то во 2-ом квартале расход материалов составит 2880 кв. м., но в следствие того, что оборачиваемость возросла (20,6: 18 = 1,144) на 14,4% то производственных запасов понадобилось на 20 кв. м. меньше.
Список использованной литературы.
Общая теория статистики” Учебник М. Р. Ефимова, Е. В. Петрова, В. Н. Румянцев. Москва “Инфра-М” 1998г.
Теория статистики” В. М. Гусаров. Москва “Аудит” “ЮНИТИ” 1998г.
Теория статистики” Учебник под редакцией профессора Р. А. Шамойловой. Москва “Финансы и статистика” 1998г.
Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли образовав пять групп. Теснота корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли.
|
